Idempotent (ringteori)

I ringteorin är en gren av abstrakt algebra , ett idempotent element eller helt enkelt idempotent av en ring ett element a så att a ² = a . Det vill säga, elementet är idempotent under ringens multiplikation. Induktivt kan man då också dra slutsatsen att a = a ² = a ³ = a ⁴ = ... = a ⁿ för ett positivt heltal n . Till exempel är ett idempotent element i en matrisring just en idempotent matris .

För allmänna ringar är element som är idempotenta under multiplikation involverade i sönderdelningar av moduler och kopplade till ringens homologiska egenskaper. I boolesk algebra är de huvudsakliga studieobjekten ringar där alla element är idempotenta under både addition och multiplikation.

Exempel

Kvotienter av Z

Man kan betrakta ringen av heltal modulo n där n är kvadratfritt . Enligt den kinesiska restsatsen räknas denna ring in i produkten av ringar av heltal modulo p där p är primtal . Nu är var och en av dessa faktorer ett fält , så det är klart att faktorernas enda idempotenta kommer att vara 0 och 1. Det vill säga att varje faktor har två idempotenter. Så om det finns m faktorer kommer det att finnas 2 ^m idempotenter.

Vi kan kontrollera detta för heltalen mod 6, R = Z /6 Z . Eftersom 6 har två primtalsfaktorer (2 och 3) bör den ha 2 ² idempotenter.

0 ² ≡ 0 ≡ 0 (mod 6)

1 ² ≡ 1 ≡ 1 (mod 6)

2 ² ≡ 4 ≡ 4 (mod 6)

3 ² ≡ 9 ≡ 3 (mod 6)

4 ² ≡ 4 ≡

5 ) ² ≡ 25 ≡ 1 (mod 6)

Från dessa beräkningar är 0, 1, 3 och 4 idempotenta för denna ring, medan 2 och 5 inte är det. Detta visar också nedbrytningsegenskaperna som beskrivs nedan: eftersom 3 + 4 = 1 (mod 6) finns en ringupplösning 3 Z /6 Z ⊕ 4 Z /6 Z . I 3 Z /6 Z är identiteten 3+6 Z och i 4 Z / 6 Z är identiteten 4+6 Z.

Kvotient av polynomring

Givet en ring $R$ och ett element $f\in R$ så att $f^{2}\neq 0$ , då kvotringen

$R/(f^{2}-f)$

har den idempotenta $f$ . Detta kan till exempel tillämpas på $x\in \mathbb {Z} [x]$ , eller vilket polynom som helst $f\ i k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ .

Idempotenter i split-quaternion-ringar

Det finns en katenoid av idempotenter i split-quaternion -ringen.

Typer av ringidempotenta

En ofullständig lista över viktiga typer av idempotenter inkluderar:

• Två idempotenta a och b kallas ortogonala om ab = ba = 0 . Om a är idempotent i ringen R (med enhet ), så är b = 1 − a ; dessutom a och b ortogonala.
• En idempotent a i R kallas en central idempotent om ax = xa för alla x i R , det vill säga om a är i mitten av R .
• En trivial idempotent hänvisar till något av elementen 0 och 1, som alltid är idempotent.
• En primitiv idempotent av en ring R är en icke-noll idempotent sådan att aR är oupplöslig som en höger R -modul; det vill säga så att aR inte är en direkt summa av två submoduler som inte är noll . På motsvarande sätt a en primitiv idempotent om den inte kan skrivas som a = e + f , där e och f är ortogonala idempotenter som inte är noll i R .
• En lokal idempotent är en idempotent sådan att aRa är en lokal ring . Detta innebär att aR är direkt oupplösligt, så lokala idempotenter är också primitiva.
• En rätt irreducibel idempotent är en idempotent a för vilken aR är en enkel modul . Enligt Schurs lemma är End _R ( aR ) = aRa en divisionsring , och är därmed en lokal ring, så höger (och vänster) irreducibla idempotenter är lokala .
• En centralt primitiv idempotent är en central idempotent a som inte kan skrivas som summan av två ortogonala centrala idempotenter som inte är noll.
• En idempotent a + I i kvotringen R / I sägs lyfta modulo I om det finns en idempotent b i R så att b + I = a + I .
• En idempotent a av R kallas en full idempotent om RaR = R .
• En separerbarhet idempotent ; se separerbar algebra .

Alla icke-triviala idempotenta a är en nolldelare (eftersom ab = 0 där varken a eller b är noll, där b = 1 − a ). Detta visar att integrala domäner och divisionsringar inte har sådana idempotenter. Lokala ringar har inte heller sådana idempotenter, men av en annan anledning. Den enda idempotent som finns i Jacobson-radikalen i en ring är 0.

Ringar som kännetecknas av idempotenta

• En ring där alla element är idempotenta kallas en boolesk ring . Vissa författare använder termen "idempotent ring" för denna typ av ring. I en sådan ring är multiplikation kommutativ och varje element är sin egen additiv invers .
• En ring är halvenkel om och bara om varje höger (eller varje vänster) ideal genereras av en idempotent.
• En ring är von Neumann regelbunden om och endast om varje ändligt genererat höger (eller varje ändligt genererat vänster) ideal genereras av en idempotent.
• En ring för vilken annihilatorn r .Ann( S ) varje delmängd S av R genereras av en idempotent kallas en Baer-ring . Om villkoret bara gäller för alla singleton- delmängder av R , så är ringen en höger Rickart-ring . Båda dessa typer av ringar är intressanta även när de saknar en multiplikativ identitet .
• En ring där alla idempotenter är centrala kallas en abelisk ring . Sådana ringar behöver inte vara kommutativa.
• En ring är direkt irreducerbar om och endast om 0 och 1 är de enda centrala idempotenterna.
• En ring R kan skrivas som e ₁ R ⊕ e ₂ R ⊕ ... ⊕ e _n R med varje e _i en lokal idempotent om och endast om R är en semiperfekt ring .
• En ring kallas en SBI-ring eller Lift/rad -ring om alla idempotenter av R lyfter Jacobson-radikalen modulo .
• En ring uppfyller det stigande kedjevillkoret på höger direkta summeringar om och endast om ringen uppfyller det fallande kedjevillkoret på vänster direkta summander om och endast om varje uppsättning parvisa ortogonala idempotenter är finita.
• Om a är idempotent i ringen R så är aRa återigen en ring, med multiplikativ identitet a . Ringen aRa kallas ofta för en hörnring av R . Hörnringen uppstår naturligt eftersom ringen av endomorfismer End _R ( aR ) ≅ aRa .

Roll i nedbrytningar

Idempotenterna av R har en viktig koppling till nedbrytning av R - moduler . Om M är en R - modul och E = End _R ( M ) är dess ring av endomorfismer , då A ⊕ B = M om och endast om det finns ett unikt idempotent e i E så att A = e ( M ) och B = (1- e )( M ) . Det är klart att M är direkt oupplöslig om och endast om 0 och 1 är de enda idempotenta i E .

I fallet när M = R är endomorfismen End _R ( R ) = R , där varje endomorfism uppstår som vänstermultiplikation med ett fixerat ringelement. Med denna modifiering av notation, A ⊕ B = R som högra moduler om och endast om det finns en unik idempotent e så att eR = A och (1 − e ) R = B . Således genereras varje direkt summa av R av en idempotent.

Om a är en central idempotent, så är hörnringen aRa = Ra en ring med multiplikativ identitet a . Precis som idempotenter bestämmer de direkta nedbrytningarna av R som en modul, bestämmer de centrala idempotenterna av R nedbrytningarna av R som en direkt summa av ringar. Om R är den direkta summan av ringarna R ₁ ,..., R _n , så är identitetselementen för ringarna R _i centrala idempotenter i R , parvis ortogonala, och deras summa är 1. Omvänt, givna centrala idempotenter a ₁ ,..., a _n i R som är parvis ortogonala och har summan 1, då är R den direkta summan av ringarna Ra ₁ ,..., Ra _n . Så i synnerhet ger varje central idempotent a i R upphov till en nedbrytning av R som en direkt summa av hörnringarna aRa och (1 − a ) R (1 − a ) . Som ett resultat är en ring R direkt oupplöslig som en ring om och endast om identiteten 1 är centralt primitiv.

Genom att arbeta induktivt kan man försöka dekomponera 1 till en summa av centralt primitiva element. Om 1 är centralt primitiv är vi klara. Om inte, är det en summa av centrala ortogonala idempotenter, som i sin tur är primitiva eller summor av mer centrala idempotenter, och så vidare. Problemet som kan uppstå är att detta kan fortsätta utan slut, vilket ger en oändlig familj av centrala ortogonala idempotenter. Villkoret " R innehåller inte oändliga uppsättningar av centrala ortogonala idempotenter" är en typ av ändlighetstillstånd på ringen. Det kan uppnås på många sätt, som att kräva att ringen är rätt Noetherian . Om en sönderdelning R = c ₁ R ⊕ c ₂ R ⊕ ... ⊕ c _n R existerar med varje c _i en centralt primitiv idempotent, så är R en direkt summa av hörnringarna c _i Rc _i , som var och en är ring oreducerbar.

För associativa algebror eller Jordanalgebror över ett fält är Peirce-nedbrytningen en nedbrytning av en algebra som summan av egenrum för pendlande idempotenta element.

Förhållande med involutioner

Om a är en idempotent av endomorfismringen End _R ( M ), så är endomorfismen f = 1 − 2 a en R - modulinvolution av M . Det vill säga, ^f är en R - modulhomomorfism så att f2 är identitetsendomorfismen för M.

Ett idempotent element a av R och dess tillhörande involution f ger upphov till två varv av modulen R , beroende på att betrakta R som en vänster eller höger modul. Om r representerar ett godtyckligt element av R , kan f ses som en höger R -modul homomorfism r ↦ fr så att ffr = r , eller f kan också ses som en vänster R -modul homomorfism r ↦ rf , där rff = r .

Denna process kan vändas om 2 är ett inverterbart element av R : om b är en involution är 2 ⁻¹ (1 − b ) och 2 ⁻¹ (1 + b ) ortogonala idempotenter, motsvarande a och 1 − a . Således för en ring där 2 är inverterbar, motsvarar de idempotenta elementen involutioner på ett ett-till-ett sätt.

Kategori av R -moduler

Att lyfta idempotenter har också stora konsekvenser för kategorin R -moduler . Alla idempotenter lyfter modulo I om och endast om varje R direkt summering av R / I har ett projektivt skydd som en R -modul. Idempotenter lyfter alltid modulo noll ideal och ringar för vilka R är I -adiskt komplett .

Lyft är viktigast när I = J( R ) , Jacobson- radikalen för R. Ytterligare en annan karaktäristik av semiperfekta ringar är att de är semilokala ringar vars idempotenter lyfter modulo J( R ).

Gitter av idempotenta

Man kan definiera en partiell ordning på idempotenterna i en ring enligt följande: om a och b är idempotenta, skriver vi a ≤ b om och endast om ab = ba = a . Med avseende på denna ordning är 0 den minsta och 1 den största idempotenta. För ortogonala idempotenter a och b är a + b också idempotenta , och vi har a ≤ a + b och b ≤ a + b . Atomerna i denna partiella ordning är just de primitiva idempotenterna . ( Lam 2001 , s. 323)

När ovanstående partiella ordning är begränsad till de centrala idempotenterna av R , kan en gitterstruktur eller till och med en boolesk algebrastruktur ges. För två centrala idempotenter e och f ges komplementet ¬ e = 1 − e och join and meet av

e ∨ f = e + f − ef

och

e ∧ f = ef .

Beställningen blir nu helt enkelt e ≤ f om och endast om eR ⊆ f R , och sammanfogningen och mötet uppfyller ( e ∨ f ) R = eR + f R och ( e ∧ f ) R = eR ∩ f R = ( eR ) ( fR ) . Det visas i ( Goodearl 1991 , s. 99) att om R är von Neumann reguljär och rätt självinjektiv , så är gittret ett komplett gitter .

Anteckningar

Idempotent och nilpotent introducerades av Benjamin Peirce 1870.

• " idempotent " på FOLDOC
•    Goodearl, KR (1991), von Neumann vanliga ringar (2 uppl.), Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., s. xviii+412, ISBN 0-89464-632-X , MR 1150975
•    Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2004), Algebror, ringar och moduler. Vol. 1 , Mathematics and its Applications, vol. 575, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, s. xii+380, ISBN 1-4020-2690-0 , MR 2106764
•    Lam, TY (2001), En första kurs i icke-kommutativa ringar , Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2 uppl.), New York: Springer-Verlag, s. xx+385, doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0 , ISBN 0-387-95183-0 , MR 1838439
•    Lang, Serge (1993), Algebra (tredje upplagan), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0 , Zbl 0848.13001 sid. 443
• Peirce, Benjamin.. Linjär associativ algebra 1870.
•    Polcino Milies, César; Sehgal, Sudarshan K. (2002), En introduktion till gruppringar , Algebras and Applications, vol. 1, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, s. xii+371, doi : 10.1007/978-94-010-0405-3 , ISBN 1-4020-0238-6 , MR 1896125