Seriell modul

I abstrakt algebra är en uniserial modul M en modul över en ring R , vars submoduler är helt ordnade genom inkludering . Detta betyder helt enkelt att för två undermoduler N ₁ och N ₂ av M , antingen $N_{1}\subseteq N_{2}$ eller $N_{2}\ subseteq N_{1}$ . En modul kallas en seriell modul om den är en direkt summa av unseriella moduler. En ring R kallas en höger seriell ring om den är en seriell som en höger modul över sig själv, och på samma sätt kallas en höger seriell ring om den är en höger seriell modul över sig själv. Vänster unseriella och vänstra seriella ringar definieras på ett analogt sätt och är i allmänhet skilda från sina högra motsvarigheter.

Ett enkelt motiverande exempel är kvotringen $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ för vilket heltal som helst $n>1$ . Den här ringen är alltid seriell och är unseriell när n är en primpotens .

Termen uniserial har använts annorlunda än definitionen ovan: för förtydligande se nedan .

En partiell alfabetisk lista över viktiga bidragsgivare till teorin om serieringar inkluderar matematikerna Keizo Asano, IS Cohen, PM Cohn , Yu. Drozd, D. Eisenbud , A. Facchini, AW Goldie , Phillip Griffith, I. Kaplansky , VV Kirichenko, G. Köthe , H. Kuppisch, I. Murase, T. Nakayama , P. Příhoda, G. Puninski och R. Warfield. Referenser för varje författare finns i ( Puninski 2001 ) och ( Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004 ).

Enligt den gemensamma ringteoretiska konventionen, om ett vänster/högerberoende villkor ges utan att nämna en sida (till exempel uniserial, seriell, Artinian , Noetherian ) antas det att villkoret gäller både till vänster och höger. Om inget annat anges är varje ring i den här artikeln en ring med enhet , och varje modul är enhetlig .

Egenskaper för unseriella och seriella ringar och moduler

Det är omedelbart att i en unseriell R -modul M är alla submoduler utom M och 0 samtidigt väsentliga och överflödiga . Om M har en maximal submodul så är M en lokal modul. M är också helt klart en enhetlig modul och är därmed direkt oupplöslig. Det är också lätt att se att varje ändligt genererad submodul av M kan genereras av ett enda element, och så är M en Bézout-modul .

Det är känt att endomorfismringen End _R ( M ) är en semilokal ring som ligger mycket nära en lokal ring i den meningen att End _R ( M ) har högst två maximala högra ideal . Om M antas vara Artinian eller Noetherian, så är End _R ( M ) en lokal ring.

Eftersom ringar med enhet alltid har ett maximalt rätt ideal, är en rätt uniserial ring nödvändigtvis lokal. Som nämnts tidigare kan ett ändligt genererat rätt ideal genereras av ett enda element, och så högra uniserialringar är rätta Bézout- ringar. En höger seriell ring R faktoriserar nödvändigtvis i formen $R=\oplus _{i=1}^{n}e_{i}R$ där varje e _i är en idempotent element och e _i R är en lokal uniserial modul. Detta indikerar att R också är en semiperfekt ring , vilket är ett starkare tillstånd än att vara en semilokal ring.

Köthe visade att modulerna för Artinian principiella idealringar (som är ett specialfall av seriella ringar) är direkta summor av cykliska submoduler . Senare fastställde Cohen och Kaplansky att en kommutativ ring R har denna egenskap för sina moduler om och endast om R är en artinisk principiell idealring. Nakayama visade att Artinian seriella ringar har denna egenskap på sina moduler, och att det omvända inte är sant

Det mest generella resultatet, kanske, på modulerna i en seriell ring tillskrivs Drozd och Warfield: det säger att varje ändligt presenterad modul över en seriell ring är en direkt summa av cykliska unseriella submoduler (och därmed är seriell). Om ringen dessutom antas vara Noetherian, sammanfaller de ändligt presenterade och ändligt genererade modulerna, och därför är alla ändligt genererade moduler seriella.

Att vara rätt seriell bevaras under direkta produkter av ringar och moduler, och bevaras under kvoter av ringar . Att vara uniserial bevaras för kvoter av ringar och moduler, men aldrig för produkter. En direkt summa av en seriell modul är inte nödvändigtvis seriell, vilket bevisades av Puninski, men direkta summeringar av ändliga direkta summor av unseriella moduler är seriella moduler ( Příhoda 2004 ).

Det har verifierats att Jacobsons gissningar gäller Noetherian serieringar. ( Chatters & Hajarnavis 1980 )

Exempel

Varje enkel modul är trivialt unseriell, och likaså är semisenkla moduler seriella moduler.

Många exempel på seriella ringar kan hämtas från struktursektionerna ovan. Varje värderingsring är en uniserial ring, och alla Artinian principiella idealringar är seriella ringar, vilket illustreras av halvenkla ringar .

Mer exotiska exempel inkluderar de övre triangulära matriserna över en divisionsring T _n ( D ) , och gruppringen $\mathbb {F} [G]$ för något ändligt fält av primkarakteristika p och grupp G som har en cyklisk normal p - Sylow undergrupp .

Strukturera

Detta avsnitt kommer huvudsakligen att behandla Noetherian seriella ringar och deras underklass, Artinian seriella ringar. I allmänhet bryts ringar först ner till oupplösliga ringar. När strukturen hos dessa ringar väl är känd är de nedbrytbara ringarna direkta produkter av de oupplösliga. Dessutom, för semiperfekta ringar som seriella ringar är grundringen Morita ekvivalent med originalringen. Om R är en seriell ring med grundläggande ring B och strukturen för B är känd, ger teorin om Morita-ekvivalens att $R\cong \mathrm {End} _{B }(P)$ där P är någon ändligt genererad progenerator B . Det är därför resultaten formuleras i termer av oupplösliga, grundläggande ringar.

År 1975 publicerade Kirichenko och Warfield oberoende och samtidigt analyser av strukturen hos Noetherian, icke-artinska serieringar. Resultaten var desamma men metoderna de använde skilde sig mycket från varandra. Studiet av ärftliga , Noetherian, primära ringar , såväl som koger definierade på seriella ringar var viktiga verktyg. Kärnresultatet anger att en rätt Noethersk, icke-artinisk, grundläggande, oupplöslig seriell ring kan beskrivas som en typ av matrisring över en Noethersk, uniserial domän V , vars Jacobson-radikal J( V ) är icke-noll. Denna matrisring är en subring av Mn ₍ V ) för vissa n , och består av matriser med ingångar från V på och ovanför diagonalen, och ingångar från J( V ) nedan.

Artinian seriell ringstruktur klassificeras i fall beroende på kogerstrukturen. Det visar sig att kogerstrukturen för en grundläggande, oupplöslig, artinisk seriell ring alltid är en cirkel eller en linje. När det gäller linjekogern är ringen isomorf till de övre triangulära matriserna över en divisionsring (notera likheten med strukturen hos noeteriska serieringar i föregående stycke). En fullständig beskrivning av strukturen i fallet med en cirkelkoger ligger utanför ramen för denna artikel, men kan hittas i ( Puninski 2001 ) . För att parafrasera resultatet som det ser ut där: En grundläggande artinisk seriell ring vars koger är en cirkel är en homomorfisk bild av en "uppblåsning" av en grundläggande, oupplöslig, seriell kvasi-Frobenius ring .

En sönderdelningsegenskap

Två moduler U och V sägs ha samma monogeniklass , betecknade ${\displaystyle [U]_{m}=[V]_{m}},$ om det finns en monomorfism $U\rightarrow V$ och en monomorfism $V\rightarrow U$ . Den dubbla begreppet kan definieras: modulerna sägs ha samma epigeniklass , betecknade ${\displaystyle [U]_{e}=[V]_{e}},$ om det finns existerar en epimorfism $U\rightarrow V$ och en epimorfism $V\rightarrow U$ .

Följande svaga form av Krull-Schmidt-satsen gäller. Låt U ₁ , ..., U _n , V ₁ , ..., V _t vara n + t icke-noll högermoduler över en ring R . Sedan summerar de direkta $U_{1}\oplus \dots \oplus U_{n}$ och $V_{1}\oplus \dots \oplus V_{t}$ är isomorfa R -moduler om och endast om n = t och det finns två permutationer $\sigma$ och $\tau$ av 1, 2, ..., n så att $[U_{i}]_{m}=[V_{\sigma (i)}]_{m}$ och $[U_{i}]_{e}=[V_{\tau (i)}]_{e}$ för varje i = 1, 2, ..., n .

Detta resultat, på grund av Facchini, har utökats till oändliga direkta summor av unseriella moduler av Příhoda 2006. Denna förlängning involverar de så kallade quasismall unseriella modulerna. Dessa moduler definierades av Nguyen Viet Dung och Facchini, och deras existens bevisades av Puninski. Den svaga formen av Krull-Schmidt-teorem gäller inte bara för uniseriala moduler, utan också för flera andra klasser av moduler (biuniforma moduler, cykliskt presenterade moduler över seriella ringar, kärnor av morfismer mellan oupplösliga injektivmoduler, couniformt presenterade moduler . )

Anmärkningar om alternativa, liknande och relaterade termer

Högra uniserialringar kan också benämnas högra kedjeringar ( Faith 1999) eller högra värderingsringar . Denna senare term anspelar på värderingsringar , som per definition är kommutativa, uniseriala domäner . På samma sätt har uniserialmoduler kallats kedjemoduler och seriella moduler semichain-moduler . Begreppet en kontaktledningsring har "kedja" som sin namne, men det är i allmänhet inte relaterat till kedjeringar.

På 1930-talet introducerade Gottfried Köthe och Keizo Asano termen Einreihig (bokstavligen "enserie") under undersökningar av ringar över vilka alla moduler är direkta summor av cykliska submoduler ( Köthe 1935 ). Av denna anledning användes uniserial för att betyda "Artinian principal ideal ring" även så sent som på 1970-talet. Köthes papper krävde också en uniserial ring för att ha en unik kompositionsserie , som inte bara tvingar höger- och vänsterideal att ordnas linjärt, utan också kräver att det bara finns ändligt många ideal i kedjorna av vänster- och högerideal. På grund av detta historiska prejudikat inkluderar vissa författare det artinska villkoret eller villkoret för ändlig kompositionslängd i sina definitioner av uniseriala moduler och ringar.

Utvidgad på Köthes arbete använde Tadashi Nakayama termen generaliserad uniserial ring ( Nakayama 1941 ) för att referera till en artinisk seriell ring. Nakayama visade att alla moduler över sådana ringar är seriella. Artiniska seriella ringar kallas ibland Nakayama-algebras , och de har en välutvecklad modulteori.

Warfield använde termen homogent seriell modul för en seriell modul med den ytterligare egenskapen att för två ändligt genererade submoduler A och B , $A/J(A)\cong B/J(B)$ där J (−) betecknar modulens Jacobson-radikal ( Warfield 1975 ). I en modul med ändlig sammansättningslängd har detta effekten att tvinga sammansättningsfaktorerna att vara isomorfa, därav det "homogena" adjektivet. Det visar sig att en seriering R är en ändlig direkt summa av homogent seriella rättsideal om och endast om R är isomorf till en full n × n matrisring över en lokal seriell ring. Sådana ringar är också kända som primära nedbrytbara seriella ringar ( Faith 1976 )( Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004) .

Läroböcker

Frank W. Anderson; Kent R. Fuller (1992), Rings and Categories of Modules , Springer, s. 347–349, ISBN 0-387-97845-3
Chatters, AW; Hajarnavis, CR (1980), Rings with chain conditions , Research Notes in Mathematics, vol. 44, Pitman, ISBN 978-0-273-08446-4
Facchini, Alberto (1998), Endomorfismringar och direkta summanedbrytningar i vissa klasser av moduler , Birkhäuser Verlag, ISBN 3-7643-5908-0
Faith, Carl (1976), Algebra. II. Ringteori. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, nr 191. Springer-Verlag
Faith, Carl (1999), Rings and things and a fine array of twentieth century associative algebra , Mathematical Surveys and Monographs, 65. American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0993-8
Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2004), Algebror, ringar och moduler. Vol. 1. , Kluwer Academic Publishers, ISBN 1-4020-2690-0
Puninski, Gennadi (2001a), seriella ringar , Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-7187-9

Primära källor

Eisenbud, David; Griffith, Phillip (1971), "The structure of serial rings", Pacific J. Math. , 36 : 109–121, doi : 10.2140/pjm.1971.36.109
Facchini, Alberto (1996), "Krull-Schmidt misslyckas för seriella moduler", Trans. Amer. Matematik. Soc. , 348 (11): 4561–4575, doi : 10.1090/s0002-9947-96-01740-0
Köthe, Gottfried (1935), "Verallgemeinerte Abelsche Gruppen mit hyperkomplexem Operatorenring. (Tyska)", Math. Z. , 39 : 31–44, doi : 10.1007/bf01201343
Nakayama, Tadasi (1941), "On Frobeniusean algebras. II.", Annals of Mathematics , Second Series, 42 ( 1): 1–21, doi : 10.2307/1968984 , hdl : 10338.dmlcz/140509 8 STOR419
Příhoda, Pavel (2004), "Svag Krull-Schmidt-sats och direkta summauppdelningar av seriella moduler med finit Goldie-dimension", J. Algebra , 281 : 332–341, doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.06.027
Příhoda, Pavel (2006), "En version av den svaga Krull-Schmidt-satsen för oändliga direkta summor av uniseriala moduler", Comm. Algebra , 34 (4): 1479–1487, doi : 10.1080/00927870500455049
Puninski, GT (2002), "Artinian and Noetherian serial rings.", J. Math. Sci. (New York) , 110 : 2330–2347, doi : 10.1023/A:1014906008243
Puninski, Gennadi (2001b), "Någon modellteori över en nästan enkel uniserial domän och upplösningar av seriella moduler", J. Pure Appl. Algebra , 163 (3): 319–337, doi : 10.1016/s0022-4049(00)00140-7
Puninski, Gennadi (2001c), "Some model theory over an exceptional uniserial ring and decompositions of serial modules", Journal of the London Mathematical Society , 64 (2): 311–326, doi : 10.1112/s0024610701002344
Warfield, Robert B. Jr. (1975), "Serial rings and finitely presentation modules.", J. Algebra , 37 (2): 187–222, doi : 10.1016/0021-8693(75)90074-5