Jacobson radikal

Inom matematiken , mer specifikt ringteori , är Jacobson-radikalen i en ring R {\displaystyle R} den ideala som består av $element$ i R $\displaystyle R}$ som förstör alla enkla högra $R$ -moduler . Det händer att ersätta "vänster" i stället för "höger" i definitionen ger samma ideal, och så är begreppet vänster-höger symmetriskt. Jacobson-radikalen i en ring betecknas ofta med $J(R)$ eller $\operatorname {rad} (R)$ ; den tidigare notationen kommer att föredras i den här artikeln, eftersom den undviker förväxling med andra radikaler i en ring . Jacobson-radikalen är uppkallad efter Nathan Jacobson , som var den första att studera den för godtyckliga ringar i ( Jacobson 1945) .

Jacobson-radikalen av en ring har många interna karaktäriseringar, inklusive några definitioner som framgångsrikt utökar begreppet till ringar utan enhet . Radikalen i en modul utökar definitionen av Jacobson-radikalen till att omfatta moduler. Jacobson-radikalen spelar en framträdande roll i många ring- och modulteoretiska resultat, såsom Nakayamas lemma .

Definitioner

Det finns flera ekvivalenta definitioner och karakteriseringar av Jacobson-radikalen, men det är användbart att överväga definitionerna baserat på om ringen är kommutativ eller inte.

Kommutativt kasus

definieras Jacobson-radikalen för en kommutativ ring ${\displaystyle R} som$ skärningspunkten mellan alla maximala ideal ${\mathfrak {m}}$ . Om vi ​​betecknar $\operatorname {Specm} R$ som mängden av alla maximala ideal i $R$ så

$J(R)=\bigcap _{{\mathfrak {m}}\,\in \,\operatörsnamn {Specm} R}{\mathfrak {m} }$

Denna definition kan användas för explicita beräkningar i ett antal enkla fall, som för lokala ringar ${\displaystyle (R,{\mathfrak {p}})} ,$ som har ett unikt maximalt ideal, Artin-ringar och produkter därav. Se exempelavsnittet för explicita beräkningar.

Icke-kommutativt/allmänt fall

För en allmän ring med enhet $R$ definieras Jacobson-radikalen ${\displaystyle J(R)} som idealet för alla element$$r\in R$ så att $rM=0$ när $M$ är en enkel $R$ -modul. Det är,

$$J(R)=\{r\in R\mid rM=0{\text{ där }}M{\text{ är enkel}}\}.$$

Detta motsvarar definitionen i det kommutativa fallet för en kommutativ ring $R$ eftersom de enkla modulerna över en kommutativ ring är av formen $R/{\mathfrak {m}}$ för vissa maximal ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Specm} R} ,$ och de enda förintarna av $R/{\mathfrak {m}}$ i $R$ är i ${\mathfrak {m}}$ , dvs ${\text{Ann}}_{R}(R/{\mathfrak {m}})={\mathfrak {m}}$ .

Motivering

Att förstå Jacobson-radikalen ligger i några olika fall: nämligen dess tillämpningar och de resulterande geometriska tolkningarna, och dess algebraiska tolkningar.

Geometriska tillämpningar

Se även: Nakayamas lemma § Geometrisk tolkning

Även om Jacobson ursprungligen introducerade sin radikal som en teknik för att bygga en teori om radikaler för godtyckliga ringar, är en av de motiverande anledningarna till varför Jacobson-radikalen betraktas i det kommutativa fallet på grund av Nakayamas lemma . Det är ett tekniskt verktyg för att studera ändligt genererade moduler över kommutativa ringar som har en enkel geometrisk tolkning: Om vi ​​har en vektorbunt $E\to X$ över ett topologiskt utrymme $X$ , och välj en punkt $p\in X$ , sedan valfri bas för $E|_{p}$ kan utökas till en bas av sektioner av $E|_{U}\to U$ för vissa områden $p\in U\subset X$ .

En annan tillämpning är i fallet med ändligt genererade kommutativa ringar, vilket betyder att $R$ har formen

$$R={\frac {k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{I}}$$

för någon basring $k$ (som ett fält , eller ringen av heltal ). I det här fallet nilradikalen och Jacobsonradikalen. Detta betyder att vi skulle kunna tolka Jacobson-radikalen som ett mått på hur långt det ideala $I$ som definierar ringen $R$ är från att definiera ringen av funktioner på en algebraisk variant på grund av Hilbert Nullstellensatz- satsen. Detta beror på att algebraiska varianter inte kan ha en ring av funktioner med infinitesimals: detta är en struktur som endast beaktas i schemateorin .

Likvärdiga karakteriseringar

Jacobson-radikalen i en ring har olika inre och yttre karaktäriseringar. Följande ekvivalenser förekommer i många icke-kommutativa algebratexter som ( Anderson 1992 , §15) , ( Isaacs 1994 , §13B) och ( Lam 2001 , kap 2).

Följande är likvärdiga karaktäriseringar av Jacobson-radikalen i ringar med enhet (karakteriseringar för ringar utan enhet ges omedelbart efteråt):

• $J(R)$ är lika med skärningspunkten för ringens alla maximala högra ideal . Ekvivalensen kommer från det faktum att för alla maximala rätta ideal är M , R / M en enkel höger R -modul, och att i själva verket alla enkla högra R -moduler är isomorfa till en av denna typ via kartan från R till S given med r ↦ xr för valfri generator x av S . Det är också sant att $J(R)$ är lika med skärningspunkten för alla maximala vänsterideal inom ringen. Dessa karakteriseringar är interna i ringen, eftersom man bara behöver hitta de maximala rätta idealen för ringen. Till exempel, om en ring är lokal och har ett unikt maximalt rätt ideal , då är detta unika maximala rätt ideal exakt $J(R)$ . Maximala ideal är på sätt och vis lättare att leta efter än förintare av moduler. Denna karakterisering är dock bristfällig eftersom den inte visar sig användbar när man arbetar beräkningsmässigt med $J(R)$ . Vänster-högersymmetrin i dessa två definitioner är anmärkningsvärd och har olika intressanta konsekvenser. Denna symmetri står i motsats till bristen på symmetri i socles av R , för det kan hända att soc( R _R ) inte är lika med soc( _R R ). Om R är en icke-kommutativ ring , är $J(R)$ inte nödvändigtvis lika med skärningspunkten för alla maximala tvåsidiga ideal för R . Till exempel, om V är en räknebar direkt summa av kopior av ett fält k och R = End( V ) (ringen av endomorfismer av V som en k -modul), då $J(R) =0$ eftersom $R$ är känd för att vara von Neumann regular , men det finns exakt ett maximalt dubbelsidigt ideal i R som består av endomorfismer med finitdimensionell bild . ( Lam 2001 , s. 46, Ex. 3.15)
• $J(R)$ är lika med summan av alla överflödiga högerideal (eller symmetriskt summan av alla överflödiga vänsterideal) av R . Jämför man detta med den tidigare definitionen, är summan av överflödiga rättsideal lika med skärningspunkten mellan maximala rättsideal. Detta fenomen återspeglas dubbelt för den högra soklen av R ; soc( RR ₎ är både summan av minimala rättsideal och skärningspunkten mellan väsentliga rättsideal . Faktum är att dessa två relationer gäller för radikalerna och socles av moduler i allmänhet.
• Som definierats i inledningen är $J(R)$ lika med skärningspunkten mellan alla annihilatorer av enkla högra R -moduler, men det är också sant att det är skärningspunkten mellan annihilatorer av enkla vänstermoduler. Ett ideal som är tillintetgöraren av en enkel modul är känt som ett primitivt ideal , och därför säger en omformulering av detta att Jacobson-radikalen är skärningspunkten mellan alla primitiva ideal. Denna karaktärisering är användbar när du studerar moduler över ringar. Till exempel, om U är en höger R -modul, och V är en maximal submodul av U , ingår U · J( R ) i V , där U · J( R ) betecknar alla produkter av element i J( R ) ( "skalärerna") med element i U , till höger. Detta följer av det faktum att kvotmodulen U / V är enkel och därmed utplånad av J( R ).
• J( R ) är det unika högeridealet för R maximal med egenskapen att varje element är höger kvasiregelbundet (eller motsvarande vänster kvasiregelbundet). Denna karaktärisering av Jacobson-radikalen är användbar både beräkningsmässigt och för att hjälpa intuitionen. Dessutom är denna karakterisering användbar för att studera moduler över en ring. Nakayamas lemma är kanske det mest kända exemplet på detta. Även om varje element i J( R ) nödvändigtvis är kvasireguljärt , är inte varje kvasiregulärt element nödvändigtvis en medlem av J( R ).
• Även om inte alla kvasiregulära element är i ${\displaystyle J(R)} ,$ kan det visas att y är i $J(R)$ om och endast om xy lämnas kvasireguljär för alla x i R. _ ( Lam 2001 , s. 50)
• $J(R)$ är mängden av element x i R så att varje element av 1 + RxR är en enhet: $\operatörsnamn {J} (R)=\{x\in R\mid 1+RxR\subset R^{\times }\}$ . Faktum är $y\in R$ är i Jacobson-radikalen om och endast om 1 + xy är inverterbar för alla $x\in R$ , om och endast om 1 + yx är inverterbar för alla $x\in R$ . Detta betyder att xy och yx beter sig på samma sätt som ett nilpotent element z med z ^{n +1} = 0 och $(1+z)^{- 1}=1-z+z^{2}-\cdots \pm z^{n}$ .

För ringar utan enhet är det möjligt för R = J( R ); dock gäller fortfarande ekvationen J( R /J( R )) = {0}. Följande är ekvivalenta karakteriseringar av J( R ) för ringar utan enhet ( Lam 2001, s. 63):

• Begreppet vänster kvasiregularitet kan generaliseras på följande sätt. Kalla ett element a i R vänstergeneraliserat kvasiregulärt om det finns c i R så att c + a − ca = 0. Då består J( R ) av varje element a för vilket ra lämnas generaliserat kvasiregulärt för alla r i R . Det kan kontrolleras att denna definition sammanfaller med den tidigare kvasireguljära definitionen för ringar med enhet.
• ändras definitionen av en vänster enkel modul M genom att lägga till villkoret att R • M ≠ 0. Med denna förståelse kan J( R ) definieras som skärningspunkten mellan alla förintare av enkla vänster R -moduler, eller bara R om det inte finns några enkla vänster R -moduler. Ringar utan enhet utan enkla moduler existerar, i vilket fall R = J( R ), och ringen kallas en radikalring . Genom att använda den generaliserade kvasireguljära karakteriseringen av radikalen är det tydligt att om man hittar en ring med J( R ) som inte är noll, så är J( R ) en radikalring när den betraktas som en ring utan enhet.

Exempel

Kommutativa exempel

• För ringen av heltal $\mathbb {Z}$ är dess Jacobson-radikal nollidealet , så ${\displaystyle J(\mathbb {Z} )=(0)} ,$ eftersom det ges av skärningspunkten mellan varje ideal som genereras av ett primtal $(p)$ . Eftersom $(p_{1})\cap (p_{2})=(p_{1}\cdot p_{2})$ , och vi tar en oändlig skärningspunkt utan några gemensamma element förutom $0$ mellan alla maximala ideal, vi har beräkningen.
• För en lokal ring $(R,{\mathfrak {p}})$ är Jacobson-radikalen helt enkelt $J(R)={\mathfrak {p}}$ . Detta är ett viktigt fall på grund av dess användning för att tillämpa Nakayamas lemma. I synnerhet antyder det om vi har en algebraisk vektorbunt $E\to X$ över ett schema eller algebraisk variant $X$ , och vi fixar en bas för $E|_{p}$ för någon punkt $p\in X$ , då lyfts denna bas till en uppsättning generatorer för alla sektioner $E|_{U}\to U$ för någon stadsdel $U$ av $p$ .
• Om $k$ är ett fält och $R=k[[X_{1},\dots ,X_{n}]]$ är en ring av formell potensserie , då består $J(R)$ av de potensserier vars konstantled är noll, dvs potensserien i idealet ( $\displaystyle ( X_{1},\ldots ,X_{n})}$ .
• I fallet med en Artin-ring , såsom ${\displaystyle \mathbb {C} [t_{1},t_ {2}]/(t_{1}^{4},t_{1}^{2}t_{2}^{2},t_{2}^{9})} ,$ Jacobson-radikalen är $(t_{1},t_{2})$ .
• Det föregående exemplet skulle kunna utökas till ringen ${\displaystyle R=\mathbb {C} [t_{2},t_ {3},\ldots ]/(t_{2}^{2},t_{3}^{3},\ldots )} , vilket$ ger $J(R)=(t_{2},t_{3},\ldots )$ .
• Jacobson-radikalen i ringen Z /12 Z är 6 Z /12 Z , vilket är skärningspunkten mellan de maximala idealen 2 Z /12 Z och 3 Z / 12 Z.
• Betrakta ringen $\mathbb {C} [t]\otimes _{\mathbb {C} }\mathbb { C} [x_{1},x_{2}]_{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1}$ där den andra är lokaliseringen av $\mathbb {C} [x_{1},x_{2}]$ med primidealet ${\mathfrak {p}}=( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1)$ . Sedan är Jacobson-radikalen trivial eftersom de maximala idealen genereras av ett element av formen $(tz)\otimes (x_{1}^ {2}+x_{2}^{2}-1)$ för $z\in \mathbb {C}$ .

Icke-kommutativa exempel

• Ringar för vilka J( R ) är {0} kallas semiprimitiva ringar eller ibland "Jacobson semisimple-ringar". Jacobson-radikalen för vilket område som helst, vilken vanlig von Neumann-ring som helst och vilken primitiv vänster- eller högerring som helst är {0}. Heltalens Jacobson-radikal är {0}.
• Om K är ett fält och R är ringen av alla övre triangulära n -by- n matriser med ingångar i K , så består J( R ) av alla övre triangulära matriser med nollor på huvuddiagonalen.
• Börja med ett ändligt, acykliskt koger Γ och ett fält K och överväg kogeralgebra K Γ (som beskrivs i Kogerartikeln ). Jacobson-radikalen i denna ring genereras av alla banorna i Γ med längden ≥ 1.
• Jacobson-radikalen i en C*-algebra är {0}. Detta följer av Gelfand–Naimarks sats och det faktum att för en C*-algebra är en topologiskt irreducerbar *-representation på ett Hilbertrum algebraiskt irreducerbar, så att dess kärna är ett primitivt ideal i rent algebraisk mening (se Spectrum of en C*-algebra ).

Egenskaper

• Om R är enhetlig och inte är den triviala ringen {0} är Jacobson-radikalen alltid skild från R eftersom ringar med enhet alltid har maximala rätta ideal . Några viktiga satser och gissningar inom ringteorin betraktar dock fallet när J( R ) = R - "Om R är en nollring (det vill säga vart och ett av dess element är nilpotent ), är polynomringen R [ x ] lika med är det Jacobson-radikal?" motsvarar den öppna Köthe-förmodan . ( Smoktunowicz 2006 , s. 260, §5)
• För alla ideal jag innehöll i J( R ),

J( R / I ) = J( R )/ I .

• I synnerhet är Jacobson-radikalen i ringen R /J( R ) noll. Ringar med noll Jacobson-radikal kallas semiprimitiva ringar .
• En ring är halvenkel om och bara om den är artinisk och dess Jacobson-radikal är noll.
• Om f : R → S är en surjektiv ringhomomorfism , då f (J( R )) ⊆ J( S ).
• Om R är en ring med enhet och M är en ändligt genererad vänster R -modul med J( R ) M = M , så är M = 0 ( Nakayamas lemma ).
• J( R ) innehåller alla centrala nilpotenta element, men innehåller inga idempotenta element förutom 0.
• J( R ) innehåller varje noll-ideal av R . Om R är vänster eller höger Artinian , så är J( R ) ett nilpotent ideal . Detta kan faktiskt göras starkare: Om
  $$\left\{0\right\}=T_{0}\subseteq T_{1}\subseteq \dotsb \subseteq T_{k}=R$$
  är en kompositionsserie för den högra R -modulen R (en sådan serie finns säkerligen om R är höger Artinian, och det finns en liknande vänster kompositionsserie om R är vänster Artinian), då
  $$\left(J\left(R\right)\right)^{k}=0.$$
  Observera dock att Jacobson-radikalen i allmänhet inte behöver bestå av endast de nilpotenta elementen i ringen.
• Om R är kommutativ och ändligt genererad som en algebra över antingen ett fält eller Z , så är J( R ) lika med nilradikalen av R .
• Jacobson-radikalen i en (enhetlig) ring är dess största överflödiga höger- (motsvarande vänster) ideal.

Se även

• Frattini undergrupp
• Nilradikal
• Radikal av en modul
• Radikal av ett ideal

Anteckningar

•    Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and Categories of Modules , Graduate Texts in Mathematics , vol. 13 (2 uppl.), New York: Springer-Verlag, s. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN 0-387-97845-3 , MR 1245487
•   Atiyah, MF; Macdonald, IG (1969), Introduction to Commutative Algebra , Addison-Wesley Publishing Co., sid. ix+128, MR 0242802
• Bourbaki, N. Éléments de mathématique .
•    Herstein, IN (1994) [1968], Noncommutative Rings , Carus Mathematical Monographs, vol. 15, Washington, DC: Mathematical Association of America , s. xii+202, ISBN 0-88385-015-X , MR 1449137 Omtryck av 1968 års original; Med ett efterord av Lance W. Small
•   Isaacs, IM (1994), Algebra: a graduate course (1:a upplagan), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
•    Jacobson, Nathan (1945), "The radical and semi-simplicity for arbitrary rings", American Journal of Mathematics , 67 : 300–320, doi : 10.2307/2371731 , ISSN 0002-9327 , MR 271010
•    Lam, TY (2001), A First Course in Noncommutative Rings , Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2 uppl.), Springer-Verlag, s. xx+385, doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0 , ISBN 0-387-95183-0 , MR 1838439
•    Pierce, Richard S. (1982), Associativa algebras , Graduate Texts in Mathematics, vol. 88, Springer-Verlag, s. xii+436 , ISBN 0-387-90693-2 , MR 0674652 Studies in the History of Modern Science, 9
•    Smoktunowicz, Agata (2006), "Some results in noncommutative ring theory", International Congress of Mathematicians, Vol. II (PDF) , European Mathematical Society , s. 259–269, ISBN 978-3-03719-022-7 , MR 2275597 , arkiverad från originalet (PDF) 2017-08-09 , hämtad 2014-12

externa länkar

• Intuitivt exempel på en Jacobson-radikal