Värderingsring

I abstrakt algebra är en värderingsring en integraldomän D så att för varje element x i dess fält av fraktioner F , hör minst en av x eller x − ¹ till D.

Givet ett fält F , om D är en subring av F så att antingen x eller x − ¹ tillhör D för varje icke-noll x i F , så sägs D vara en värderingsring för fältet F eller en plats för F. Eftersom F i detta fall verkligen är fältet av bråkdelar av D , är en värderingsring för ett fält en värderingsring. Ett annat sätt att karakterisera värderingsringarna för ett fält F är att värderingsringarna D av F har F som sitt bråkfält, och deras ideal är helt ordnade genom inkludering ; eller motsvarande är deras huvudsakliga ideal helt ordnade genom inkludering. I synnerhet är varje värderingsring en lokal ring .

Värderingsringarna för ett fält är de maximala elementen i uppsättningen av lokala underringar i fältet, delvis ordnade efter dominans eller förfining , där

$(A,{\mathfrak {m}}_{A})$ dominerar $(B,{\mathfrak {m}}_{B})$ om $A\supseteq B$ och ${\mathfrak {m}}_{A}\cap B={\mathfrak {m}}_{B}$ .

Varje lokal ring i ett fält K domineras av någon värderingsring av K .

En integrerad domän vars lokalisering vid vilket primärt ideal som helst är en värderingsring kallas en Prüfer-domän .

Definitioner

Det finns flera likvärdiga definitioner av värderingsring (se nedan för karakterisering i termer av dominans). För en integral domän D och dess fält av fraktioner K är följande ekvivalenta:

1. För varje icke-noll x i K är antingen x i D eller x ⁻¹ är i D .
2. Idealen för D är helt ordnade genom inkludering.
3. De huvudsakliga idealen för D är helt ordnade genom inkludering (dvs. elementen i D är, upp till enheter , helt ordnade efter delbarhet .)
4. Det finns en helt ordnad abelsk grupp Γ (kallad värdegruppen ) och en värdering ν: K → Γ ∪ {∞} med D = { x ∈ K | ν( x ) ≥ 0 }.

Likvärdigheten mellan de tre första definitionerna följer lätt. En sats från ( Krull 1939 ) säger att varje ring som uppfyller de tre första villkoren uppfyller det fjärde: ta Γ för att vara kvoten K ^× / D ^× av enhetsgruppen av K med enhetsgruppen av D , och ta ν för att vara naturlig projektion. Vi kan göra Γ till en helt ordnad grupp genom att deklarera restklasserna av element i D som "positiva".

Ännu vidare, givet någon totalt ordnad abelsk grupp Γ, finns det en värderingsring D med värdegrupp Γ (se Hahn-serien ).

Från det faktum att idealen för en värderingsring är helt ordnade, kan man dra slutsatsen att en värderingsring är en lokal domän, och att varje ändligt genererat ideal för en värderingsring är principiellt (dvs en värderingsring är en Bézout-domän ) . Faktum är att det är ett teorem från Krull att en integral domän är en värderingsring om och bara om det är en lokal Bézout-domän. Av detta följer också att en värderingsring är noeterisk om och endast om den är en principiell idealdomän . I det här fallet är det antingen ett fält eller så har det exakt ett ideal som inte är noll; i det senare fallet kallas det en diskret värderingsring . (I enlighet med konvention är ett fält inte en diskret värderingsring.)

En värdegrupp kallas diskret om den är isomorf till den additiva gruppen av heltalen , och en värderingsring har en diskret värderingsgrupp om och endast om den är en diskret värderingsring .

Mycket sällan kan värderingsring hänvisa till en ring som uppfyller det andra eller tredje villkoret men som inte nödvändigtvis är en domän. En vanligare term för denna typ av ring är uniserial ring .

Exempel

• Alla fält $\mathbb {F}$ är en värderingsring. Till exempel ringen av rationella funktioner $\mathbb {F} (X)$ på en algebraisk variant $X$ .
• Ett enkelt icke-exempel är integraldomänen $\mathbb {C} [X]$ eftersom inversen av en generisk $f/g\in \mathbb { C} (X)$ är $g/f\not \in \mathbb {C} [X]$ .
• Området för kraftserier:

$\mathbb {F} ((X))=\left\{f(X )=\!\sum _{i>-\infty }^{\infty }a_{i}X^{i}\,:\ a_{i}\in \mathbb {F} \right\}$

har värdering $v(f)=\inf \nolimits _{a_{n}\neq 0}n$ . Underringen $\mathbb {F} [[X]]$ är också en värderingsring.

• $\mathbb {Z} _{(p)},$ lokaliseringen av heltal $\mathbb {Z} }$ displaystyle vid primidealet ( p ), bestående av förhållanden där täljaren är vilket heltal som helst och nämnaren är inte delbar med p . Fältet för bråk är fältet för rationella tal $\mathbb {Q} .$
• Ringen av meromorfa funktioner på hela det komplexa planet som har en Maclaurin-serie ( Taylor-seriens expansion vid noll) är en värderingsring. Bråkfältet är funktionerna meromorfa på hela planet. Om f inte har en Maclaurin-serie så har 1/ f .
• Vilken ring som helst med p -adiska heltal $\mathbb {Z} _{p}$ för ett givet primtal p är en lokal ring , med bråkfältet de p -adiska talen $\mathbb {Q } _{p}$ . Integralslutningen $\mathbb {Z} _{p}^{\text{cl}}$ av de p -adiska heltal är också en lokal ring , med bråkfält $\ mathbb {Q} _{p}^{\text{cl}}$ (den algebraiska stängningen av p -adiska talen). Både $\mathbb {Z} _{p}$ och $\mathbb {Z} _{p}^{\text{cl}}$ är värderingsringar.
• Låt k vara ett ordnat fält . Ett element i k kallas finit om det ligger mellan två heltal n < x < m ; annars kallas det oändligt. Mängden D av finita element av k är en värderingsring. Uppsättningen av element x så att x ∈ D och x ⁻¹ ∉ D är mängden infinitesimala element; och ett element x så att x ∉ D och x ⁻¹ ∈ D kallas oändligt.
• Ringen F av ändliga element i ett hyperrealistiskt fält * R (ett ordnat fält som innehåller de reella talen ) är en värderingsring av * R . F består av alla hyperreella tal som skiljer sig från ett standardreellt med en oändligt liten mängd, vilket motsvarar att säga ett hyperrealt tal x så att − n < x < n för något standardheltal n . Restfältet , ändliga hyperreala tal modulo idealet för oändliga hyperreala tal, är isomorft till de reella talen .
• Ett vanligt geometriskt exempel kommer från algebraiska plankurvor . Betrakta polynomringen $\mathbb {C} [x,y]$ och ett irreducerbart polynom $f$ i den ringen. Då är ringen $\mathbb {C} [x,y]/(f)$ ringen av polynomfunktioner på kurvan $\{(x,y):f(x,y)=0\}$ . Välj en punkt $P=(P_{x},P_{y})\in \mathbb {C} ^{2}$ så att $f(P)=0$ och det är en vanlig punkt på kurvan; dvs den lokala ringen R vid punkten är en vanlig lokal ring av Krull dimension ett eller en diskret värderingsring .
• Tänk till exempel på inkluderingen $(\mathbb {C} [[X^{2}] ],(X^{2}))\hookrightarrow (\mathbb {C} [[X]],(X))$ . Dessa är alla subringar i fältet av gränsad-under potensserie $\mathbb {C} ((X))$ .

Dominans och integrerad stängning

Enheterna , eller inverterbara element, i en värderingsring är elementen x i D så att x ^{−1 också} är en medlem av D . De andra elementen i D – kallade icke-enheter – har inte en invers i D , och de bildar en ideal M . Detta ideal är maximalt bland de (helt ordnade) idealen för D. Eftersom M är ett maximalt ideal är kvotringen D / M ett fält, kallat restfältet för D .

I allmänhet säger vi att en lokal ring $(S,{\mathfrak {m}}_{S})$ dominerar en lokal ring $(R,{ \mathfrak {m}}_{R})$ om $S\supseteq R$ och ${\mathfrak {m}}_{S}\cap R= {\mathfrak {m}}_{R}$ ; med andra ord, inkluderingen $R\subseteq S$ är en lokal ringhomomorfism . Varje lokal ring $(A,{\mathfrak {p}})$ i ett fält K domineras av någon värderingsring av K . Faktum är att mängden som består av alla underringar R av K som innehåller A och $1\not \in {\mathfrak {p}}R$ är icke-tom och är induktiv; har alltså ett maximalt element $R$ av Zorns lemma . Vi hävdar att R är en värderingsring. R är en lokal ring med maximal ideal som innehåller ${\mathfrak {p}}R$ efter maximalitet. Återigen genom maximalitet är det också integrerat stängt. Nu, om $x\not \in R$ , då, genom maximalitet, ${\mathfrak {p}}R[x]=R[x ]$ och därmed kan vi skriva:

$1=r_{0}+r_{1}x+\cdots +r_{n}x^{n},\quad r_{i}\in {\mathfrak {p}}R$ .

Eftersom $1-r_{0}$ är ett enhetselement, innebär detta att $x^{-1}$ är integral över R ; så är det i R . Detta bevisar att R är en värderingsring. ( R dominerar A eftersom dess maximala ideal innehåller ${\mathfrak {p}}$ genom konstruktion.)

En lokal ring R i ett fält K är en värderingsring om och endast om den är ett maximalt element i mängden av alla lokala ringar som finns i K delvis ordnade efter dominans. Detta följer lätt av ovanstående.

Låt A vara en underring av ett fält K och $f:A\to k$ en ringhomomorfism till ett algebraiskt slutet fält k . Sedan f till en ringhomomorfism $g:D\to k$ , D någon värderingsring av K som innehåller A . (Bevis: Låt $g:R\to k$ vara en maximal förlängning, som tydligt existerar genom Zorns lemma. Med maximalitet är R en lokal ring med maximal ideal som innehåller kärnan av f . Om S är en lokal ring som dominerar R , då är S algebraisk över R , om inte innehåller $S$ en polynomring $R[x]$ till vilken g sträcker sig, en motsägelse till maximalitet. följer $S/{\mathfrak {m}}_{S}$ är en algebraisk fältförlängning av $R/{\mathfrak {m}}_{R}$ . Således, $S\to S/{\mathfrak {m}}_{S}\hookrightarrow k$ sträcker sig g ; därför S = R .)

Om en underring R i ett fält K innehåller en värderingsring D av K , då, genom att markera Definition 1, är R också en värderingsring av K . I synnerhet R lokal och dess maximala ideal drar ihop sig till något primideal av D , säg ${\mathfrak {p}}$ . Då är $R=D_{\mathfrak {p}}$ eftersom $R$ dominerar ${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}} ,$ vilket är en värderingsring eftersom idealen är helt beställda. Denna observation sammanfattas av följande: det finns en bijektiv överensstämmelse ${\mathfrak {p}}\mapsto D_{\mathfrak {p}},\operatörsnamn {Spec} (D)\till$ uppsättningen av alla underringar av K som innehåller D . I synnerhet D integrerat stängd, och Krull-dimensionen för D är antalet korrekta underringar av K som innehåller D.

Faktum är att den integrerade stängningen av en integral domän A i fältet av fraktionerna K av A är skärningspunkten mellan alla värderingsringar av K som innehåller A . I själva verket är den integrerade förslutningen innesluten i korsningen eftersom värderingsringarna är integrerat stängda. Omvänt, låt x vara i K men inte integral över A . Eftersom det ideala $x^{-1}A[x^{-1}]}$$] {\displaystyle A[x^{-1} ]}$ inte är , den ingår i ett maximalt ideal ${\mathfrak {p}}$ . Sedan finns det en värderingsring R som dominerar lokaliseringen av $A[x^{-1}]$ vid ${\mathfrak {p}}$ . Eftersom $x^{-1}\in {\mathfrak {m}}_{R}$ , $x\not \in R$ .

Dominansen används i algebraisk geometri . Låt X vara en algebraisk variant över ett fält k . Sedan säger vi att en värderingsring R i $k(X)$ har "center x på X " om $R$ dominerar den lokala ringen ${\mathcal {O }}_{x,X}$ av strukturbunten vid x .

Ideal i värderingsringar

Vi kan beskriva idealen i värderingsringen med hjälp av dess värdegrupp.

Låt Γ vara en helt ordnad abelsk grupp . En delmängd Δ av Γ kallas ett segment om det inte är tomt och, för alla α i Δ, alla element mellan −α och α är också i Δ (slutpunkter inkluderade). En undergrupp av Γ kallas en isolerad undergrupp om den är ett segment och är en riktig undergrupp.

Låt D vara en värderingsring med värdering v och värdegrupp Γ. För varje delmängd A av D låter vi $\Gamma _{A}$ vara komplementet till unionen av $v(A-0)$ och $-v(A-0)$ i $\Gamma$ . Om I är ett riktigt ideal, så är $\Gamma _{I}$ ett segment av $\Gamma$ . Faktum är att avbildningen $I\mapsto \Gamma _{I}$ definierar en inklusions-reverserande bijektion mellan uppsättningen av egentliga ideal för D och uppsättningen av segment av $\Gamma$ . Under denna överensstämmelse motsvarar de icke-nollprimära idealen för D bijektivt de isolerade undergrupperna av Γ.

Exempel: Ringen av p -adiska heltal $\mathbb {Z} _{p}$ är en värderingsring med värdegrupp $\mathbb {Z}$ . Nollundergruppen av $\mathbb {Z}$ motsvarar det unika maximala idealet $(p)\subseteq \mathbb {Z} _{p}$ och hela gruppen till noll ideal . Det maximala idealet är den enda isolerade undergruppen av $\mathbb {Z}$ .

Uppsättningen av isolerade undergrupper är helt ordnade efter inkludering. Höjden eller rangordningen r (Γ) för Γ definieras som kardinaliteten för uppsättningen av isolerade undergrupper av Γ . Eftersom primideal som inte är noll är helt ordnade och de motsvarar isolerade undergrupper av Γ, är höjden på Γ lika med Krull-dimensionen för värderingsringen D som är associerad med Γ.

Det viktigaste specialfallet är höjd ett, vilket motsvarar att Γ är en undergrupp av de reella talen ℝ under addition (eller motsvarande, av de positiva reella talen ℝ ⁺ under multiplikation.) En värderingsring med en värdering av höjd ett har en motsvarande absolutvärde som definierar en ultrametrisk plats . Ett specialfall av detta är de diskreta värderingsringarna som nämnts tidigare.

Den rationella rangordningen rr (Γ) definieras som rangordningen för värdegruppen som en abelsk grupp,

$\mathrm {dim} _{\mathbb {Q} }(\Gamma \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ).$

Platser

Detta avsnitt är baserat på Zariski & Samuel 1975 .

Allmän definition

En plats för ett fält K är en ringhomomorfism p från en värderingsring D av K till något fält så att för alla ${\displaystyle x\not \in D} ,$ p $\displaystyle p(1/x)=0}$ . Bilden av en plats är ett fält som kallas restfältet av p . Till exempel är den kanoniska kartan $D\to D/{\mathfrak {m}}_{D}$ en plats.

Exempel

Låt A vara en Dedekind-domän och ${\mathfrak {p}}$ ett främsta ideal. Då är den kanoniska kartan $A_{\mathfrak {p}}\to k({\mathfrak {p}})$ en plats.

Specialisering av platser

Vi säger att en plats p specialiserar sig på en plats p′ , betecknad med $p\rightsquigarrow p'$ , om värderingsringen för p innehåller värderingsringen för p ' . I algebraisk geometri säger vi att ett primideal ${\mathfrak {p}}$ är specialiserat på ${\mathfrak {p}}'$ om ${\mathfrak {p }}\subseteq {\mathfrak {p}}'$ . De två begreppen sammanfaller: $p\rightsquigarrow p'$ om och endast om ett primideal som motsvarar p specialiserar sig till ett primideal som motsvarar p′ i någon värderingsring (kom ihåg att om ${ \displaystyle D\supseteq D'}$ är värderingsringar av samma fält, då motsvarar D ett primideal av $D'$ .)

Exempel

Till exempel, i funktionsfältet $\mathbb {F} (X)$ av någon algebraisk variant $X$ varje primtal ideal ${\mathfrak {p }}\in {\text{Spec}}(R)$ som ingår i en maximal ideal ${\mathfrak {m}}$ ger en specialisering ${\mathfrak {p}}\rightsquigarrow {\mathfrak {m}}$ .

Anmärkningar

Det kan visas: om $p\rightsquigarrow p'$ , då $p'=q\circ p|_{D'}$ för någon plats q i restfältet $k(p)$ i p . (Observera $p(D')$ är en värderingsring av $k(p)$ och låt q vara motsvarande plats; resten är mekaniskt.) Om D är en värderingsring av p , då är dess Krull-dimension kardinariteten för andra specialiseringar än p till p . Således, för vilken plats p som helst med värderingsring D för ett fält K över ett fält k , har vi:

$\operatorname {tr.deg} _{k}k(p)+\dim D\leq \operatorname {tr.deg} _{k}K$ .

Om p är en plats och A är en underring av värderingsringen till p , då kallas $\operatorname {ker} (p)\cap A$ mitten av p i A .

Platser i oändligheten

För funktionsfältet på en affin variant $X$ finns det värderingar som inte är associerade med någon av primtalen i $X$ . Dessa värderingar kallas platserna i oändligheten . [1] Till exempel har den affina linjen $\mathbb {A} _{k}^{1}$ funktionsfältet $k(x)$ . Den plats som är kopplad till lokaliseringen av

$k\left[{\frac {1}{x}}\right]$

vid det maximala idealet

${\mathfrak {m}}=\left({\frac {1}{x}}\right)$

är en plats i oändligheten.

Källor

•   Bourbaki, Nicolas (1972). Kommutativ algebra . Elements of Mathematics (Första upplagan). Addison-Wesley. ISBN 978-020100644-5 .
•     Cohn, PM (1968), "Bezout-ringar och deras underringar" (PDF) , Proc. Cambridge Philos. Soc. , 64 (2): 251–264, doi : 10.1017/s0305004100042791 , ISSN 0008-1981 , MR 0222065 , Zbl 0157.08401
•    Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K -theory , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 124, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-4041-X , Zbl 1103.12002
•     Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Modules over non-Noetherian domains , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 84, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1963-0 , MR 1794715 , Zbl 0973.13001
•    Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
•      Krull, Wolfgang (1939), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. VI. Der allgemeine Diskriminantensatz. Unverzweigte Ringerweiterungen", Mathematische Zeitschrift , 45 ( 1): 1–19, doi : 10.1007 /BF01582,4MR 91582 5,4582 6,4582 6,452 5,400 800 , S2CID 121374449 , Zbl 0020.34003
•    Matsumura, Hideyuki (1989), Kommutativ ringteori , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8, översatt från japanska av Miles Reid (andra upplagan), ISBN 0-521-36764-6 , Zbl 0666.13002
•    Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1975), Kommutativ algebra. Vol. II , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8 , MR 0389876