Malmskick

För Ores tillstånd i grafteori, se Ores sats .

Inom matematiken , särskilt inom det område av algebra som kallas ringteorin , är malmvillkoret ett tillstånd som introducerats av Øystein Ore , i samband med frågan om att sträcka sig bortom kommutativa ringar konstruktionen av ett bråkfält , eller mer allmänt lokalisering av en ring . Det rätta malmvillkoret för en multiplikativ delmängd S av en ring R är att för a ∈ R och s ∈ S , skärningspunkten aS ∩ sR ≠ ∅ . En (icke-kommutativ) domän för vilken uppsättningen av element som inte är noll uppfyller det rätta malmvillkoret kallas en rätt malmdomän . Det vänstra fallet definieras på liknande sätt.

Allmän uppfattning

Målet är att konstruera den högra ringen av bråken R [ S −1 ^] med avseende på en multiplikativ delmängd S. Vi vill med andra ord arbeta med element i formen som ⁻¹ och ha en ringstruktur på mängden R [ S ⁻¹ ]. Problemet är att det inte finns någon uppenbar tolkning av produkten ( som ⁻¹ )( bt ⁻¹ ); vi behöver faktiskt en metod för att "flytta" s ⁻¹ förbi b . Det betyder att vi måste kunna skriva om s ⁻¹ b som en produkt b ₁ s ₁ ⁻¹ . Antag att s ⁻¹ b = b ₁ s ₁ ⁻¹ och sedan multiplicera till vänster med s och till höger med s ₁ , får vi bs ₁ = sb ₁ . Därför ser vi nödvändigheten, för ett givet a och s , av existensen av a ₁ och s ₁ med s ₁ ≠ 0 och sådana att som ₁ = sa ₁ .

Ansökan

Eftersom det är välkänt att varje integraldomän är en underring av ett fält av bråk (via en inbäddning) på ett sådant sätt att varje element har formen rs ⁻¹ med s icke-noll, är det naturligt att fråga om samma konstruktion kan ta en icke-kommutativ domän och associera en divisionsring (ett icke-kommutativt fält) med samma egenskap. Det visar sig att svaret ibland är "nej", det vill säga det finns domäner som inte har en analog "höger divisionsring av bråk".

För varje rätt malmdomän R finns det en unik (upp till naturlig R -isomorfism) divisionsring D som innehåller R som en subring så att varje element i D har formen rs ⁻¹ för r i R och s icke- noll i R. En sådan divisionsring D kallas en ring med räta bråkdelar av R och R kallas rät ordning i D . Begreppet en ring av vänster bråk och vänster ordning definieras analogt, där element i D är av formen s ⁻¹ r .

Det är viktigt att komma ihåg att definitionen av att R är en rätt ordning i D inkluderar villkoret att D helt måste bestå av element av formen rs ⁻¹ . Vilken domän som helst som uppfyller ett av malmvillkoren kan betraktas som en underring av en divisionsring, men detta betyder inte automatiskt att R är en vänsterordning i D , eftersom det är möjligt att D har ett element som inte är av formen s ⁻¹ r . Således är det möjligt för R att vara en höger-inte-vänster malmdomän. Intuitivt säger villkoret att alla element i D är av formen rs ⁻¹ att R är en "stor" R -submodul av D . Faktum är att villkoret säkerställer att _RR är en väsentlig undermodul till DR _. Slutligen finns det till och med ett exempel på en domän i en divisionsring som inte uppfyller något av malmvillkoren (se exempel nedan).

En annan naturlig fråga är: "När är en subring av en division ring rätt Malm?" En karaktärisering är att en subring R av en divisionsring D är en högermalmdomän om och endast om D är en platt vänster R -modul ( Lam 2007 , Ex. 10.20).

En annan, starkare version av malmvillkoren ges vanligtvis för fallet där R inte är en domän, nämligen att det ska finnas en gemensam multipel

c = au = bv

med u , v inte nolldelare . I det här fallet Ores sats förekomsten av en överring som kallas den (höger eller vänstra) klassiska kvotringen .

Exempel

, eftersom för a och b som inte är noll är ab inte noll i aR ∩ bR . Right Noetherian domäner, såsom right principal ideal domäner , är också kända för att vara rätt malmdomäner. Ännu mer allmänt, Alfred Goldie bevisade att en domän R är rätt Ore om och bara om R _R har ändlig enhetlig dimension . Det är också sant att rätt Bézout-domäner är rätt Ore.

En underdomän av en divisionsring som inte är höger eller vänster Malm: Om F är vilket fält som helst, och $G=\langle x,y\rangle \,$ den fria monoiden på två symboler x och y , då uppfyller inte den monoida ringen $F[G]\,$ något malmvillkor, men det är en fri idealring och därmed verkligen en subring av en divisionsring, av ( Cohn 1995 , Kor 4.5.9).

Multiplikativa uppsättningar

Malmvillkoret kan generaliseras till andra multiplikativa delmängder , och presenteras i läroboksform i ( Lam 1999 , §10) och ( Lam 2007 , §10). En delmängd S av en ring R kallas en rätt nämnarmängd om den uppfyller följande tre villkor för varje a , b i R och s , t i S :

1. st i S ; (Mängden S är multiplikativt sluten .)
2. aS ∩ sR är inte tom; (Mängden S är rätt permuterbar .)
3. Om sa = 0 , så finns det något u i S med au = 0 ; (Set S är höger reversibelt .)

Om S är en rät nämnarmängd, så kan man konstruera ringen av räta bråk RS ⁻¹ på samma sätt som det kommutativa fallet. Om S tas för att vara mängden av reguljära element (dessa element a i R så att om b i R är icke-noll, då är ab och ba icke-noll), så är det rätta malmvillkoret helt enkelt kravet att S är en rätt nämnarmängd .

Många egenskaper för kommutativ lokalisering gäller i denna mer allmänna miljö. Om S är en höger nämnare för en ring R , så är den vänstra R -modulen RS ⁻¹ platt . Dessutom, om M är en höger R -modul, så är S -torsionen, tor _S ( M ) = { m i M : ms = 0 för vissa s i S }, en R -submodul isomorf till Tor ₁ ( M , RS ⁻¹ ) , och modulen M ⊗ _R RS ⁻¹ är naturligt isomorf till en modul MS ⁻¹ bestående av "bråk" som i det kommutativa fallet.

Anteckningar

•     Cohn, PM (1991), Algebra , vol. 3 (2nd ed.), Chichester: John Wiley & Sons, s. xii+474, ISBN 0-471-92840-2 , MR 1098018 , Zbl 0719.00002
•    Cohn, PM (1961), "Om inbäddning av ringar i skeva fält", Proc. London Math. Soc. , 11 : 511–530, doi : 10.1112/plms/s3-11.1.511 , MR 0136632 , Zbl 0104.03203
•    Cohn, PM (1995), Skew fields, Theory of general division rings , Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 57, Cambridge University Press , ISBN 0-521-43217-0 , Zbl 0840.16001
•    Lam, Tsit-Yuen (1999), Föreläsningar om moduler och ringar , Graduate Texts in Mathematics, vol. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5 , Zbl 0911.16001
•     Lam, Tsit-Yuen (2007), Övningar i moduler och ringar , Problemböcker i matematik, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98850-4 , MR 2278849 , Zbl 1121.16001
•     Stenström, Bo (1971), Ringar och moduler av kvoter , Lecture Notes in Mathematics, vol. 237, Berlin: Springer-Verlag , s. vii+136, doi : 10.1007/BFb0059904 , ISBN 978-3-540-05690-4 , MR 0325663 , Zbl 0229.16003

externa länkar

• PlanetMath-sida om malmens skick
• PlanetMath-sida om Ores sats
• PlanetMath-sida om klassisk ring av kvoter