Huvudideal

Inom matematik , närmare bestämt ringteori , är ett principideal ett ideal $I$ i en ring $R$ som genereras av ett enda element $a$ av $R$ genom multiplikation av varje element i $R.$ Termen har också en annan, liknande betydelse i ordningsteori , där den hänvisar till ett (ordnings)ideal i en poset $P$ genererad av ett enda element $x\ i P,$ vilket vill säga mängden av alla element mindre än eller lika med $x$ i $P.$

Resten av denna artikel tar upp det ringteoretiska konceptet.

Definitioner

• ett vänster huvudideal för $R$ är en delmängd av $R$ som ges av $Ra=\{ra:r\in R\$ för något element $a,$
• ett rätt principideal för $R$ är en delmängd av $R$ som ges av $aR=\{ar:r\in R\}$ för något element $a,$
• ett tvåsidigt principideal för $R$ är en delmängd av $R$ som ges av $RaR=\{r_{1}as_{1}+\ldots +r_{n}as_{n}:r_{1},s_{1},\ldots ,r_{n},s_{n}\in R\}$ för något element $a,$ nämligen mängden av alla ändliga summor av element av formen $ras.$

Även om denna definition av tvåsidiga principideal kan verka mer komplicerad än de andra, är det nödvändigt att säkerställa att idealet förblir stängt under addition.

Om $R$ är en kommutativ ring med identitet, är de tre ovanstående begreppen alla desamma. I så fall är det vanligt att skriva idealet som genereras av $a$ som $\langle a\rangle$ eller $(a).$

Exempel på icke-principiella ideal

Alla ideal är inte principiella. Betrakta till exempel den kommutativa ringen $\mathbb {C} [x,y]$ för alla polynom i två variabler $x$ och $y,$ med komplex koefficienter. Idealet $\langle x,y\rangle$ genererat av $x$ och $y,$ som består av alla polynomen i ${\ displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ som har noll för den konstanta termen , är inte principal. För att se detta, anta att $p$ var en generator för $\langle x,y\rangle .$ Då skulle $x$ och $y$ båda vara delbara med $p,$ vilket är omöjligt om inte $p$ är en konstant som inte är noll. Men noll är den enda konstanten i $\langle x,y\rangle ,$ så vi har en motsägelse .

I ringen $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=\{a+b{\sqrt {-3}}:a,b\in \mathbb {Z} \},$ talen där $a+b$ är till och med bildar ett icke-principiellt ideal. Detta ideal bildar ett regelbundet hexagonalt gitter i det komplexa planet. Betrakta $(a,b)=(2,0)$ och $(1,1).$ Dessa siffror är delar av detta ideal med samma norm (två), men eftersom de enda enheterna i ringen är $1$ och $-1,$ de är inte associerade.

Relaterade definitioner

En ring där varje ideal är principal kallas principal eller en principiell idealring . En principiell idealdomän (PID) är en integrerad domän där varje ideal är principiellt. Varje PID är en unik faktoriseringsdomän ; det normala beviset för unik faktorisering i heltal (den så kallade aritmetiska grundsatsen ) gäller i vilken PID som helst.

Exempel på principideal

De huvudsakliga idealen i $\mathbb {Z}$ är av formen $\langle n\rangle =n\mathbb {Z} .$ Faktum är att $\mathbb {Z}$ är en huvudsaklig idealdomän, som kan visas enligt följande. Antag att $I=\langle n_{1},n_{2},\ldots \rangle$ där $n_{1}\neq 0,$ och betrakta de surjektiva homomorfismerna $\mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{ 1},n_{2},n_{3}\rangle \rightarrow \cdots .$ Eftersom $\mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle$ är ändlig, för tillräckligt stora $k$ vi har $\mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle =\mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ ldots ,n_{k+1}\rangle =\cdots .$ Således $I=\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle ,$ vilket innebär att $I$ alltid genereras ändligt. Eftersom idealet $\langle a,b\rangle$ genererat av alla heltal $a$ och $b$ är exakt $\langle \mathop {\mathrm {gcd} } (a,b)\rangle ,$ genom induktion på antalet generatorer följer att $I$ är principal.

Alla ringar har dock principiella ideal, nämligen alla ideal som genereras av exakt ett element. Till exempel är idealet $\langle x\rangle$ ett huvudideal för $\mathbb {C} [x,y],$ och ${ \displaystyle \langle {\sqrt {-3}}\rangle }$ är ett huvudideal för $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}].$ Faktum är att $\{0\}=\langle 0\rangle$ och ${ \displaystyle R=\langle 1\rangle }$ är huvudideal för alla ring $R.$

Egenskaper

Varje euklidisk domän är en PID ; algoritmen som används för att beräkna största gemensamma divisorer kan användas för att hitta en generator av vilket ideal som helst. Mer generellt har vilka två principiella ideal som helst i en kommutativ ring en största gemensamma divisor i betydelsen ideal multiplikation. I principiella idealdomäner tillåter detta oss att beräkna de största gemensamma divisorerna för element i ringen, upp till multiplikation med en enhet ; vi definierar $\gcd(a,b)$ att vara vilken som helst generator av idealet $\langle a,b\rangle .$

För en Dedekind-domän $R,$ kan vi också fråga, givet ett icke-principiellt ideal $I$ av $R,$ om det finns någon förlängning $S$ av $R$ så att idealet för $S$ genererat av $I$ är principal (sagt mer löst, $I$ blir principal i $S$ ). Denna fråga uppstod i samband med studiet av ringar av algebraiska heltal (som är exempel på Dedekind-domäner) i talteori , och ledde till utvecklingen av klassfältteori av Teiji Takagi , Emil Artin , David Hilbert och många andra.

Den huvudsakliga idealsatsen för klassfältteorin säger att varje heltalsring $R$ (dvs. ringen av heltal i något talfält ) finns i en större heltalsring $S$ som har egenskapen att varje ideal av $R$ blir ett huvudideal för $S.$ I denna sats kan vi ta $S$ för att vara ringen av heltal i Hilbert-klassfältet för $R$ ; det vill säga den maximala oframifierade abelska förlängningen (det vill säga Galois-förlängningen vars Galois-grupp är abelisk ) av fraktionsfältet av $R,$ och detta bestäms unikt av $R.$

Krulls principidealsats säger att om $R$ är en Noetherian ring och $I$ är ett principiellt, egentligt ideal för $R,$ så har $I$ högst höjd ett.

Se även

• Tillstånd i stigande kedja för huvudideal

•   Gallian, Joseph A. (2017). Contemporary Abstract Algebra (9:e upplagan). Cengage Learning. ISBN 978-1-305-65796-0 .