Kärna (algebra)

I algebra är kärnan i en homomorfism (funktion som bevarar strukturen ) i allmänhet den omvända bilden av 0 (förutom för grupper vars funktion betecknas multiplikativt, där kärnan är den omvända bilden av 1). Ett viktigt specialfall är kärnan i en linjär karta . Kärnan i en matris , även kallad nollrymden , är kärnan i den linjära kartan som definieras av matrisen.

Kärnan i en homomorfism reduceras till 0 (eller 1) om och endast om homomorfismen är injektiv , det vill säga om den omvända bilden av varje element består av ett enda element. Detta innebär att kärnan kan ses som ett mått på i vilken grad homomorfismen inte är injektiv.

För vissa typer av strukturer, såsom abelska grupper och vektorrum , är de möjliga kärnorna exakt understrukturerna av samma typ. Detta är inte alltid fallet, och ibland har de möjliga kärnorna fått ett speciellt namn, såsom normal undergrupp för grupper och tvåsidiga ideal för ringar .

Kärnor tillåter att definiera kvotobjekt (även kallade kvotalgebror i universell algebra och kokkärnor i kategoriteori ). För många typer av algebraisk struktur, säger den grundläggande satsen om homomorfismer (eller första isomorfismsatsen ) att bilden av en homomorfism är isomorf till kvoten av kärnan.

Konceptet med en kärna har utvidgats till strukturer så att den omvända bilden av ett enda element inte är tillräcklig för att avgöra om en homomorfism är injektiv. I dessa fall är kärnan en kongruensrelation .

Den här artikeln är en undersökning av några viktiga typer av kärnor i algebraiska strukturer.

Översikt över exempel

Linjära kartor

000 Låt V och W vara vektorrum över ett fält (eller mer allmänt, moduler över en ring ) och låt T vara en linjär karta från V till W . Om _W är nollvektorn för W , så är kärnan av T förbilden av nolldelrummet { _W }; det vill säga delmängden av V som består av alla de element av V som är mappade av T till elementet _W . Kärnan betecknas vanligtvis som $ker T$ , eller någon variant därav:

\ker T=\{\mathbf {v} \in V:T(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}\}.

0 Eftersom en linjär karta bevarar nollvektorer måste nollvektorn _V av V tillhöra kärnan. Transformationen T är injektiv om och endast om dess kärna reduceras till nolldelutrymmet.

Kärnan ker T är alltid ett linjärt delrum av V . Därför är det vettigt att tala om kvotutrymmet V /(ker T ). Den första isomorfismsatsen för vektorrum säger att detta kvotutrymme är naturligt isomorft till bilden av T (som är ett delrum av W ). Som en konsekvens dimensionen V lika med kärnans dimension plus bildens dimension .

Om V och W är ändligdimensionella och baser har valts, kan T beskrivas med en matris M , och kärnan kan beräknas genom att lösa det homogena systemet av linjära ekvationer M v = 0 . I detta fall kan kärnan av T identifieras till kärnan i matrisen M , även kallad "nullutrymme" av M. Dimensionen av nollrummet, kallat nulliteten av M , ges av antalet kolumner av M minus rangen av M , som en konsekvens av rang-nullitetssatsen .

Att lösa homogena differentialekvationer innebär ofta att man beräknar kärnan för vissa differentialoperatorer . Till exempel, för att hitta alla två gånger differentierbara funktioner f från den reella linjen till sig själv så att

xf''(x)+3f'(x)=f(x),

låt V vara rymden för alla två gånger differentierbara funktioner, låt W vara rymden för alla funktioner, och definiera en linjär operator T från V till W med

(Tf)(x)=xf''(x)+3f'(x)-f (x)

för f i V och x ett godtyckligt reellt tal . Då är alla lösningar till differentialekvationen i ker T .

Man kan definiera kärnor för homomorfismer mellan moduler över en ring på ett analogt sätt. Detta inkluderar kärnor för homomorfismer mellan abelska grupper som ett specialfall. Detta exempel fångar essensen av kärnor i allmänna abelska kategorier ; se Kärna (kategoriteori) .

Grupphomomorfismer

Låt G och H vara grupper och låt f vara en grupphomomorfism från G till H . Om eH är identitetselementet för H , så är kärnan i f förbilden av singeluppsättningen _{ eH } _; det vill säga delmängden av G som består av alla de element av G som är mappade av f till elementet e _H .

Kärnan betecknas vanligtvis $ker f$ (eller en variant). I symboler:

\ker f=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}.

Eftersom en grupphomomorfism bevarar identitetselement, måste identitetselementet e _G i G tillhöra kärnan.

Homomorfismen f är injektiv om och endast om dess kärna endast är singeluppsättningen { e _G }. Om f inte var injektiv, så kan de icke-injektiva elementen bilda ett distinkt element i dess kärna: det skulle finnas $a,b\in G$ så att $a\neq b$ och $f(a)=f(b)$ . Således $f(a)f(b)^{-1}=e_{H}$ . f är en grupphomomorfism, så inverser och gruppoperationer bevaras, vilket ger $f\left(ab^{-1}\right)=e_{H}$ ; med andra ord, $ab^{-1}\in \ker f$ , och ker f skulle inte vara singeltonen. Omvänt, distinkta element i kärnan bryter mot injektiviteten direkt: om det skulle finnas ett element $g\neq e_{G}\in \ker f$ , då ${\displaystyle f(g)=f(e_{G})=e_{H}} ,$ så f skulle inte vara injektiv.

ker f är en undergrupp av G och vidare är det en normal undergrupp . Det finns alltså en motsvarande kvotgrupp G /(ker f ) . Detta är isomorft till f ( G ), bilden av G under f (som också är en undergrupp till H ), enligt det första isomorfismsatsen för grupper.

I det speciella fallet med abelska grupper finns ingen avvikelse från föregående avsnitt.

Exempel

Låt G vara den cykliska gruppen på 6 element {0, 1, 2, 3, 4, 5} med modulär addition , H vara den cykliska på 2 element {0, 1} med modulär addition, och f homomorfismen som mappar varje element g i G till elementet g modulo 2 i H . Då är ker f = {0, 2, 4} , eftersom alla dessa element är mappade till 0 _H . Kvotgruppen G /(ker f ) har två element: {0, 2, 4} och {1, 3, 5} . Det är verkligen isomorft till H .

Ringhomomorfismer

Låt R och S vara ringar (antagna enhetliga ) och låt f vara en ringhomomorfism från R till S . Om 0 _S är nollelementet i S , så är kärnan i f dess kärna som en linjär avbildning över heltalen, eller, ekvivalent, som additiva grupper. Det är förbilden av nollidealet {0 _S }, vilket är delmängden av R som består av alla de element av R som mappas av f till elementet _0S . Kärnan betecknas vanligtvis ker f (eller en variant). I symboler:

\operatorname {ker} f=\{r\in R:f(r)=0_{S}\}{\mbox{.}}

Eftersom en ringhomomorfism bevarar nollelement, måste nollelementet 0 _R i R tillhöra kärnan. Homomorfismen f är injektiv om och endast om dess kärna endast är singeluppsättningen {0 _R }. Detta är alltid fallet om R är ett fält och S inte är nollringen .

Eftersom ker f innehåller den multiplikativa identiteten endast när S är nollringen, visar det sig att kärnan i allmänhet inte är en subring av R. Kärnan är en sub rng , och, mer exakt, ett tvåsidigt ideal av R . Därför är det vettigt att tala om kvotringen R /(ker f ). Den första isomorfismsatsen för ringar säger att denna kvotring är naturligt isomorf till bilden av f (som är en subring av S ). (Observera att ringar inte behöver vara enhetliga för kärndefinitionen).

Till viss del kan detta ses som ett specialfall av situationen för moduler, eftersom dessa alla är bimoduler över en ring R :

R självt;
vilket som helst tvåsidigt ideal av R (som ker f );
någon kvotring av R (såsom R /(kerf ) ); och
kodomänen för vilken ringhomomorfism som helst vars domän är R (såsom S , kodomänen för f ).

Isomorfismsatsen ger dock ett starkare resultat, eftersom ringisomorfismer bevarar multiplikationen medan modulisomorfismer (även mellan ringar) i allmänhet inte gör det.

Detta exempel fångar essensen av kärnor i allmänhet Mal'cev algebras .

Monoida homomorfismer

Låt M och N vara monoider och låt f vara en monoid homomorfism från M till N . Då kärnan av f delmängden av den direkta produkten M × M som består av alla dessa ordnade par av element av M vars komponenter båda mappas av f till samma element i N . Kärnan betecknas vanligtvis ker f (eller en variant därav). I symboler:

\operatorname {ker} f=\left\{\left(m,m'\right)\in M\times M:f(m)=f\left(m'\right)\right\}.

Eftersom f är en funktion måste elementen i formen ( m , m ) tillhöra kärnan. Homomorfismen f är injektiv om och endast om dess kärna endast är den diagonala mängden {(m, m) : m i M } .

Det visar sig att ker f är en ekvivalensrelation på M , och faktiskt en kongruensrelation . Därför är det vettigt att tala om kvoten monoid M /(ker f ) . Den första isomorfismsatsen för monoider säger att denna kvotmonoid är naturligt isomorf till bilden av f (som är en submonoid av N ; för kongruensrelationen).

Detta är mycket annorlunda i smak från exemplen ovan. I synnerhet är förbilden av identitetselementet av N inte tillräckligt för att bestämma kärnan av f .

Universal algebra

Alla ovanstående fall kan förenas och generaliseras i universell algebra .

Allmänt fall

Låt A och B vara algebraiska strukturer av en given typ och låt f vara en homomorfism av den typen från A till B . Då kärnan av f delmängden av den direkta produkten A × A som består av alla dessa ordnade par av element av A vars komponenter båda mappas av f till samma element i B . Kärnan betecknas vanligtvis $ker f$ (eller en variant). I symboler:

\operatorname {ker} f=\left\{\left(a,a'\right)\in A\times A:f(a)=f\left(a'\right)\right\}{ \mbox{.}}

Eftersom f är en funktion måste elementen i formen ( a , a ) tillhöra kärnan.

Homomorfismen f är injektiv om och endast om dess kärna är exakt den diagonala mängden {( a , a ): a ∈ A }.

Det är lätt att se att ker f är en ekvivalensrelation på A , och faktiskt en kongruensrelation . Därför är det vettigt att tala om kvotalgebra A /(ker f ). Den första isomorfismsatsen i allmän universell algebra säger att denna kvotalgebra är naturligt isomorf till bilden av f (som är en subalgebra av B ).

Observera att definitionen av kärna här (som i monoidexemplet) inte beror på den algebraiska strukturen; det är ett rent mängdteoretiskt begrepp. För mer om detta allmänna koncept, utanför abstrakt algebra, se kärnan i en funktion .

Malcev algebror

När det gäller Malcev algebras kan denna konstruktion förenklas. Varje Malcev-algebra har ett speciellt neutralt element ( nollvektorn i fallet med vektorrum , identitetselementet i fallet med kommutativa grupper och nollelementet i fallet med ringar eller moduler). Det karakteristiska för en Malcev-algebra är att vi kan återvinna hela ekvivalensrelationen ker f från det neutrala elementets ekvivalensklass .

För att vara specifik, låt A och B vara malcev algebraiska strukturer av en given typ och låt f vara en homomorfism av den typen från A till B . Om eB _är det neutrala elementet i B , så är kärnan i f förbilden _av singeluppsättningen { eB } ; det vill säga delmängden av A _som består av alla de element i A som är mappade av f till elementet eB . Kärnan betecknas vanligtvis $ker f$ (eller en variant). I symboler:

\operatorname {ker} f=\{a\in A:f(a)=e_{B}\}{\mbox{.}}

Eftersom en Malcev algebra homomorfism bevarar neutrala element, måste identitetselementet e _A av A tillhöra kärnan. Homomorfismen f är injektiv om och endast om dess kärna endast är singeluppsättningen { e _A }.

Begreppet ideal generaliserar till vilken Malcev-algebra som helst (som linjärt delrum i fallet med vektorrum, normal undergrupp i fallet med grupper, tvåsidiga ideal i fallet med ringar och undermodul i fallet med moduler ). Det visar sig att ker f inte är en subalgebra till A , men det är ett ideal. Då är det vettigt att tala om kvotalgebra G /(ker f ). Den första isomorfismsatsen för Malcev algebra säger att denna kvotalgebra är naturligt isomorf till bilden av f (som är en subalgebra till B ).

Sambandet mellan detta och kongruensrelationen för mer generella typer av algebror är följande. För det första är kärnan-som-en-ideal ekvivalensklassen för det neutrala elementet e _A under kärnan-som-en-kongruens. För den motsatta riktningen behöver vi begreppet kvot i Mal'cev-algebra (som är division på vardera sidan för grupper och subtraktion för vektorrum, moduler och ringar). Genom att använda detta är elementen a och b i A ekvivalenta under kärnan-som-en-kongruens om och endast om deras kvot a / b är ett element i kärnan-som-en-ideal.

Algebror med icke-algebraisk struktur

Ibland är algebror utrustade med en icke-algebraisk struktur utöver sina algebraiska operationer. Till exempel kan man överväga topologiska grupper eller topologiska vektorrum , som är utrustade med en topologi . I det här fallet skulle vi förvänta oss att homomorfismen f bevarar denna ytterligare struktur; i de topologiska exemplen skulle vi vilja att f är en kontinuerlig karta . Processen kan hamna i en hake med kvotalgebran, som kanske inte sköter sig väl. I de topologiska exemplen kan vi undvika problem genom att kräva att topologiska algebraiska strukturer är Hausdorff (som vanligtvis görs); då kommer kärnan (hur den än är konstruerad) att vara en sluten uppsättning och kvotutrymmet kommer att fungera bra (och även vara Hausdorff).

Kärnor i kategoriteori

Begreppet kärna i kategoriteorin är en generalisering av kärnorna i abelska algebror; se Kärna (kategoriteori) . Den kategoriska generaliseringen av kärnan som en kongruensrelation är kärnparet . (Det finns också begreppet differenskärna , eller binär utjämnare .)

Se även

Anteckningar

Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstrakt algebra (3:e upplagan). Wiley . ISBN 0-471-43334-9 .

Lang, Serge (2002). Algebra . Graduate Texts in Mathematics . Springer . ISBN 0-387-95385-X .