Nilradikal av en ring

I algebra är nilradikalen i en kommutativ ring det ideala som består av de nilpotenta elementen :

${\mathfrak {N}}_{R}=\lbrace f\in R\mid f^{m}=0{\text{ för några }}m\in \mathbb {Z} _{>0 }\rbrace .$

I det icke-kommutativa ringfallet fungerar inte alltid samma definition. Detta har resulterat i att flera radikaler generaliserat det kommutativa fallet på distinkta sätt; se artikeln Radical of a ring för mer om detta.

Nilradikalen i en Lie-algebra definieras på liknande sätt för Lie-algebra .

Kommutativa ringar

Nilradikalen i en kommutativ ring är mängden av alla nilpotenta element i ringen , eller motsvarande radikalen för nollidealet . Detta är ett ideal eftersom summan av två nilpotenta element är nilpotent (med binomialformeln ), och produkten av ett element med ett nilpotent element är nilpotent (genom kommutativitet). Det kan också karakteriseras som skärningspunkten mellan alla primideal i ringen (i själva verket är det skärningspunkten mellan alla minimala prime ideal ).

Proposition — Låt $R$ vara en kommutativ ring. Då ${\mathfrak {N}}_{R}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\varsubsetneq R{\text{ prime}}}{\mathfrak {p}}.$

Bevis

Låt $r\in {\mathfrak {N}}_{R}$ och ${\mathfrak {p}}$ vara ett primideal, då är $r^ {n}=0$ för vissa $n\in \mathbb {Z} _{>0}$ . Således

$r^{n}=r\cdot r^{n-1}=0\in {\mathfrak {p}}$ ,

eftersom ${\mathfrak {p}}$ är ett ideal, vilket innebär $r\in {\mathfrak {p}}$ eller $r^{n -1}\in {\mathfrak {p}}$ . I det andra fallet, anta att $r^{m}\in {\mathfrak {p}}$ för vissa $m\leq n-1$ , då ${\displaystyle r^{m}=r\cdot r^{m-1}\in {\mathfrak {p}}} alltså r ∈ p {\displaystyle$ r $\mathfrak {p}}}$ eller $r^{m-1}\in {\mathfrak {p}}$ och, genom induktion på $m\geq 1$ , vi avsluta ${\displaystyle r^{m}\in {\mathfrak {p}},\,\forall m:0<m\leq n-1} ,$ in särskilt $r\in {\mathfrak {p}}$ . Därför ingår ${\displaystyle r} i alla primideal och$${\mathfrak {N}}_{R}\subseteq \bigcap _{{\mathfrak {p}} \varsubsetneq R{\text{ prime}}}{\mathfrak {p}}$ .

Omvänt antar vi att $f\notin {\mathfrak {N}}_{R}}$

$\Sigma :=\lbrace J\subseteq R\mid J{\text{ är ett ideal och }}f^{m}\notin J{\text{ för alla }}m\in \ mathbb {Z} _{>0}\rbrace$

och betraktar mängden som inte är tom , faktiskt $(0)\in \Sigma$ . $\Sigma$ är delvis ordnad efter $\subseteq$ och valfri kedja $J_{1}\subseteq J_{2}\subseteq \dots$ har en övre gräns givet av ${\displaystyle J=\bigcup _{i\geq 1}J_{i}\in \Sigma } ,$ ja: $J$ är ett ideal och om $f^{m}\in J$ för vissa $m$ sedan $f^{m}\in J_{l}$ för vissa $l$ , vilket är omöjligt eftersom $J_{l}\in \Sigma$ ; alltså har vilken kedja som helst i ${\displaystyle \Sigma \neq \emptyset } en övre gräns och vi kan tillämpa$ Zorns lemma : det finns ett maximalt element ${\mathfrak {m}}\i \Sigma$ . Vi måste bevisa att ${\mathfrak {m}}$ är ett primideal: låt $g,h\notin {\mathfrak {m}},gh \i {\mathfrak {m}}$ , sedan ${\mathfrak {m}}\varsubsetneq {\mathfrak {m}}+(g) ,{\mathfrak {m}}+(h)\notin \Sigma$ eftersom ${\mathfrak {m}}$ är maximal i $\Sigma$ , det vill säga det finns $r,s\in \mathbb {Z} _{>0}$ så att $f^{r}\in {\mathfrak {m} }+(g),$$f^{s}\in {\mathfrak {m}}+(h)$ , men då $f^{r}f^{s}=f^{r+s}\in {\mathfrak {m}}+(gh)={\mathfrak {m }}\in \Sigma$ , vilket är absurt. Därför om $f\notin {\mathfrak {N}}_{R}$ , ingår inte $f$ i något primtal eller motsvarande $R\setminus {\mathfrak {N}}_{R}\subseteq \bigcup _{{\mathfrak {p}}\varsubsetneq R{\text{ prime}}}(R\setminus {\mathfrak {p}})$ och slutligen ${\mathfrak {N}}_{R}\supseteq \bigcap _{{\mathfrak {p}}\varsubsetneq R {\text{ prime}}}{\mathfrak {p}}$ .

En ring kallas reducerad om den inte har någon nilpotent som inte är noll. Således reduceras en ring om och endast om dess nollradikal är noll. Om R är en godtycklig kommutativ ring, så är kvoten av den med nilradikalen en reducerad ring och betecknas med $R_{\text{red}}$ .

Eftersom varje maximalideal är ett primärideal, måste Jacobson-radikalen - som är skärningspunkten mellan maximalideal - innehålla nilradikalen. En ring R kallas en Jacobson-ring om nilradikalen och Jacobsonradikalen i R / P sammanfaller för alla primideal P av R. En artinisk ring är Jacobson, och dess nilradical är ringens maximala nilpotenta ideal . I allmänhet, om nilradikalen genereras ändligt (t.ex. ringen är Noetherian ), då är den nilpotent .

Icke-kommutativa ringar

Ytterligare information: Radikal av en ring

För icke-kommutativa ringar finns det flera analoger av nilradikalen. Den lägre nilradikalen (eller Baer -McCoy-radikalen, eller primradikalen) är analogen till radikalen i nollidealet och definieras som skärningspunkten mellan ringens främsta ideal. Analogen av uppsättningen av alla nilpotenta element är den övre nilradikalen och definieras som det ideal som genereras av alla nil-ideal i ringen, vilket i sig är ett nil-ideal. Uppsättningen av alla nilpotenta element i sig behöver inte vara ett ideal (eller ens en undergrupp ), så den övre nilradikalen kan vara mycket mindre än denna uppsättning. Levitzki-radikalen ligger mittemellan och definieras som det största lokalt nilpotenta idealet. Som i det kommutativa fallet, när ringen är artinisk, är Levitzki-radikalen nilpotent och så är det unika största nilpotenta idealet. Faktum är att om ringen bara är Noetherian, så är den nedre, övre och Levitzki-radikalen nilpotenta och sammanfaller, vilket gör att nil-radikalen i någon Noether-ring kan definieras som det unika största (vänster, höger eller tvåsidiga) nilpotenta idealet för ringen.

•   Eisenbud, David , "Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry", Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .
•    Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0 , MR 1838439