Gratis produkt av associativa algebror

I algebra är den fria produkten ( samprodukten ) av en familj av associativa algebror $A_{i},i\in I$ över en kommutativ ring R den associativa algebra över R , det vill säga ungefär, definieras av generatorerna och relationerna för ${\displaystyle A_{i}}:$ s. Den fria produkten av två algebror A , B betecknas med A ∗ B . Begreppet är en ringteoretisk analog av en fri produkt av grupper .

I kategorin kommutativa R -algebror är den fria produkten av två algebror (i den kategorin ) deras tensorprodukt .

Konstruktion

Vi definierar först en fri produkt av två algebror. Låt A , B vara två algebror över en kommutativ ring R . Betrakta deras tensoralgebra , den direkta summan av alla möjliga finita tensorprodukter av A , B ; uttryckligen, $T=\bigoplus _{n=0}^{\infty }T_{n}$ där

$T_{0 }=R,\,T_{1}=A\oplus B,\,T_{2}=(A\otimes A)\oplus (A\otimes B)\oplus (B\otimes A)\oplus (B\ ibland B),\,T_{3}=\cdots ,\dots$

Vi satte sedan

$A*B=T/I$

där I är det tvåsidiga ideal som genereras av element i formen

$a\otimes a'-aa',\,b\otimes b'-bb',\,1_{A}-1_{B}.$

samproduktens universella egendom gäller för detta (detta är enkelt.)

En ändlig fri produkt definieras på liknande sätt.

• KI Beidar, WS Martindale och AV Mikhalev, Ringar med generaliserade identiteter, avsnitt 1.4. Denna referens nämndes i "Samprodukt i kategorin (icke-kommutativa) associativa algebror" . Stack Exchange . 9 maj 2012.

externa länkar

• "Hur man konstruerar samprodukten av två (icke-kommutativa) ringar" . Stack Exchange . 3 januari 2014.