Hopkins–Levitzkis sats

I den gren av abstrakt algebra som kallas ringteori kopplar Akizuki –Hopkins–Levitzki-satsen samman det nedåtgående kedjans tillstånd och det stigande kedjetillståndet i moduler över semiprimära ringar. En ring R (med 1) kallas semiprimär om R / J ( R ) är halvenkel och J ( R ) är ett nilpotent ideal , där J ( R ) betecknar Jacobson-radikalen . Teoremet säger att om R är en semiprimär ring och M är en R- modul, är de tre modulvillkoren Noetherian , Artinian och "har en sammansättningsserie " ekvivalenta. Utan det semiprimära villkoret är den enda sanna implikationen att om M har en kompositionsserie, så är M både Noetherian och Artinian.

Satsen tar sin nuvarande form från ett papper av Charles Hopkins och ett papper av Jacob Levitzki , båda 1939. Av denna anledning citeras det ofta som Hopkins–Levitzkis teorem . Men Yasuo Akizuki ingår ibland eftersom han bevisade resultatet för kommutativa ringar några år tidigare, 1935.

Eftersom det är känt att höger artiniska ringar är semiprimära, är en direkt följd av satsen: en höger artinisk ring är också rätt noeterisk . Det analoga uttalandet för vänster Artinian-ringar gäller också. Detta är inte sant i allmänhet för Artinian-moduler, eftersom det finns exempel på Artinian-moduler som inte är Noetherian .

En annan direkt följd är att om R är högerartinisk, så är R vänsterartinisk om och endast om den är vänsternoterisk.

Skiss av bevis

Här är beviset för följande: Låt R vara en semiprimär ring och M en vänster R -modul. Om M är antingen Artinian eller Noetherian, så har M en kompositionsserie. (Det motsatta av detta är sant över vilken ring som helst.)

Låt J vara radikalen av R . Set $=J^{i-1}M/J^{i}M}$ . R - modulen $F_{i}$ $F_{i}$ ses som en $R/J$ -modul eftersom J finns i förintaren av . Varje $}}$ är en halvenkel $R/J$ -modul, eftersom $R/J$ är en halvenkel ring. Dessutom, eftersom J är nilpotent, är endast ändligt många av $\displaystyle F_{i}}$ icke-noll. Om M är artinisk (eller noeterisk), så har $F_{i}}$ en ändlig kompositionsserie. Genom att stapla kompositionsserien från $F_{i}$ från början till slut får vi en kompositionsserie för M .

I Grothendieck kategorier

Det finns flera generaliseringar och förlängningar av satsen. En gäller Grothendieck-kategorier : om G är en Grothendieck-kategori med en artinisk generator, så är varje artiniskt objekt i G Noetherian.

Se även

Cohn, PM (2003), Grundläggande algebra: grupper, ringar och fält
Charles Hopkins (1939) Ringar med minimalt skick för vänsterideal , Ann. av matte. (2) 40, sidorna 712–730.
TY Lam (2001) En första kurs i icke-kommutativa ringar , Springer-Verlag. sida 55 ISBN 0-387-95183-0
Jakob Leitzki (1939) Om ringar som uppfyller minimivillkoret för högerhandsidealen , Compositio Mathematica, v. 7, s. 214–222.