Ordning (ringteori)

"Maximal ordning" omdirigerar hit. För den maximala ordningen för en aritmetisk funktion, se Extrema ordningar för en aritmetisk funktion .

I matematik är en ordning i betydelsen ringteori en subring ${\mathcal {O}}$ av en ring $A$ , så att

1. $A$ är en finitdimensionell algebra över fältet $\mathbb {Q}$ av rationella tal
2. ${\mathcal {O}}$ spänner över $A$ över $\mathbb {Q}$ , och
3. ${\mathcal {O}}$ är ett $\mathbb {Z}$ - gitter i $A$ .

De två sista villkoren kan anges i mindre formella termer: Additivt är ${\mathcal {O}}$ en fri abelsk grupp genererad av en bas för $A$ över $\mathbb { Q}$ .

Mer allmänt för $R$ en integral domän som finns i ett fält $K$ definierar vi ${\mathcal {O}}$ som en $R$ -ordning i en $K$ -algebra $A$ om det är en underring av $A$ som är ett helt $R$ -gitter.

När $A$ inte är en kommutativ ring är tanken på ordning fortfarande viktig, men fenomenen är annorlunda. Hurwitz quaternions bildar till exempel en maximal ordning i quaternionerna med rationella koordinater; de är inte kvaternionerna med heltalskoordinater i den mest uppenbara bemärkelsen. Maximala order finns i allmänhet, men behöver inte vara unika: det finns i allmänhet ingen största order, utan ett antal maximala order. En viktig klass av exempel är den med integrerade gruppringar .

Exempel

Några exempel på beställningar är:

• Om $A$ är matrisringen $M_{n}(K)$ över $K$ , då matrisringen $M_{n }(R)$ över $R$ är en $R$ -ordning i $A$
• Om $R$ är en integral domän och $L$ en ändlig separerbar förlängning av $K$ , då integralslutningen $S$ av $R$ i ${ \displaystyle L}$ är en $R$ -ordning i $L$ .
• Om $a$ i $A$ är ett integralelement över $R$ , så är polynomringen $R[a]$ en $R$ -ordning i algebra $​​{\displaystyle K[a]}$
• Om $A$ är gruppringen $K[G]$ i en ändlig grupp $G$ , då är $R[G]$ en $R$ -ordning på $K[G]$

En grundläggande egenskap hos $R$ -order är att varje element i en $R$ -ordning är integral över $R$ .

Om den integrerade stängningen $S$ av $R$ i $A$ är en $R$ -ordning visar detta resultat att $S$ måste vara maximal $R$ -ordning i $A$ . Denna hypotes är dock inte alltid uppfylld: verkligen $S$ behöver inte ens vara en ring, och även om $S$ är en ring (till exempel när $A$ är kommutativ) så är $S$ behöver inte vara ett $R$ -gitter.

Algebraisk talteori

Det ledande exemplet är fallet där $A$ är ett talfält $K$ och ${\mathcal {O}}$ är dess ring av heltal . I algebraisk talteori finns det exempel på vilken $K$ som helst än det rationella fältet för egentliga delringar av ringen av heltal som också är ordningar. Till exempel, i fälttillägget $A=\mathbb {Q} (i)$ av Gaussiska rationaler över $\mathbb {Q}$ , integralslutningen av $\mathbb {Z}$ är ringen av Gaussiska heltal $\mathbb {Z} [i]$ och så detta är den unika maximala $\mathbb {Z}$ -ordning: alla andra order i $A$ finns i den. Till exempel kan vi ta subringen av komplexa tal av formen ${\displaystyle a+2bi} ,$ med $a$ och $b$ heltal.

Frågan om maximal ordning kan undersökas på lokal fältnivå . Denna teknik tillämpas i algebraisk talteori och modulär representationsteori .

Se även

• Hurwitz quaternion order – Ett exempel på ringordning

Anteckningar

•    Pohst, M.; Zassenhaus, H. (1989). Algoritmisk algebraisk talteori . Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 30. Cambridge University Press . ISBN 0-521-33060-2 . Zbl 0685.12001 .
•    Reiner, I. (2003). Maximala beställningar . London Mathematical Society Monografier. Ny serie. Vol. 28. Oxford University Press . ISBN 0-19-852673-3 . Zbl 1024.16008 .