Motsatt ring

Inom matematiken , särskilt abstrakt algebra , är motsatsen till en ring en annan ring med samma element och additionsoperation, men med multiplikationen utförd i omvänd ordning. Mer uttryckligen är motsatsen till en ring ( R , +, ⋅ ) ringen ( R , +, ∗) vars multiplikation ∗ definieras av a ∗ b = b ⋅ a för alla a , b i R . Den motsatta ringen kan användas för att definiera multimoduler , en generalisering av bimoduler . De hjälper också till att klargöra förhållandet mellan vänster och höger moduler (se § Egenskaper ) .

Monoider , grupper , ringar och algebror kan alla ses som kategorier med ett enda objekt . Konstruktionen av den motsatta kategorin generaliserar den motsatta gruppen , den motsatta ringen, etc.

Relation till automorfismer och antiautomorfismer

I det här avsnittet ändras symbolen för multiplikation i den motsatta ringen från asterisk till diamant, för att undvika förväxling med någon unär operation. En ring $R$ med isomorf motsatt ring kallas en självmotstående ring, vilket namn indikerar att $R^{\text{op}}$ är i huvudsak samma som $R$ . Alla kommutativa ringar är själva motsatta. Låt oss definiera antiisomorfismen

\iota \colon (R,\diamond )\to (R,\cdot )

, där

\iota (a )=a

för

a\in R

.

Det är verkligen en antiisomorfism, eftersom $\iota (a\diamond b)=a\diamond b=b\ cdot a=\iota (b)\cdot \iota (a)$ . Antiisomorfismen $\iota$ kan definieras generellt för semigrupper, monoider, grupper, ringar, rngs, algebror. När det gäller ringar (och rngs) får vi den allmänna ekvivalensen.

En ring är självmotsatt om och bara om den har minst en antiautomorfism.

Bevis: $\Rightarrow$ : Låt $(R,\cdot )$ vara självmotsatta. Om $f\colon (R,\cdot )\to (R,\diamond )$ är en isomorfism, då $\iota \circ f$ , som är en sammansättning av antiisomorfism och isomorfism, är en antiisomorfism från $(R,\cdot )$ till sig själv, därav antiautomorfism. $\Leftarrow$ : Om $g\colon (R,\cdot )\to (R,\cdot )$ är en antiautomorfism, då $(\iota ^{-1}\circ g)\colon (R,\cdot )\to (R,\diamond )$ är en isomorfism som en sammansättning av två antiisomorfismer. Så $(R,\cdot )$ är självmotsatt.

och

Om $(R,\cdot )$ är självmotsatt och gruppen av automorfismer $\operatorname {Aut} (R,\cdot )$ är ändlig, då är antalet antiautomorfismer lika med antalet automorfismer.

Bevis: Genom antagandet och ovanstående ekvivalens finns det antiautomorfismer. Om vi väljer en av dem och betecknar den med $q$ så går kartan $h\mapsto q\circ h$ , där $h$ löper över $\operatorname {Aut} (R,\cdot )$ , är tydligt injektiv men också surjektiv, eftersom varje antiautomorfism $g=q \circ (q^{-1}\circ g)=q\circ h$ för viss automorfism $h$ . Det kan bevisas på liknande $) {\displaystyle (R,\diamond )}$ , att under samma antaganden antalet isomorfismer från $(R,\cdot )$ till är lika med antalet antiautomorfismer av $(R,\cdot )$ .

Om någon antiautomorfism $g$ också är en automorfism, då för varje $a,b\in (R,\cdot )$

g(a\cdot b)=g(b)\cdot g(a)=g(b\cdot a)

Eftersom $g$ är bijektiv, $a\cdot b=b\cdot a$ för alla $a$ och $b$ , så ringen är kommutativ och alla antiautomorfismer är automorfismer. Genom kontraposition, om en ring är icke-kommutativ (och självmotsatt), så är ingen antiautomorfism en automorfism. Beteckna med $G$ gruppen av alla automorfismer tillsammans med alla antiautomorfismer och set $n=\operatörsnamn {ord} \operatorname {Aut} (R)$ . Ovanstående anmärkningar innebär att $\operatorname {ord} G=2n$ om en ring (eller rng) är icke-kommutativ och självmotsatt. Om det är kommutativt eller icke-självmotsatt, då $\operatorname {ord} G=n$ .

Exempel

Den minsta icke-kommutativa ringen med enhet

Den minsta sådana ringen $R$ har åtta element och det är den enda icke-kommutativa ringen bland 11 ringar med enhet av ordningen 8, upp till isomorfism. Den har additivgruppen $C_{2}\times C_{2}\times C_{2}=C_{2}^{3}$ . Uppenbarligen $R^{\text{op}}$ antiisomorf mot ${\displaystyle R} ,$ som alltid är fallet, men den är också isomorf till $R$ . Nedan finns tabellerna för addition och multiplikation i $R$ och multiplikation i den motsatta ringen, som är en transponerad tabell.

Tillägg
+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	0	6	7	5	4	2	3
2	2	6	0	4	3	7	1	5
3	3	7	4	0	2	6	5	1
4	4	5	3	2	0	1	7	6
5	5	4	7	6	1	0	3	2
6	6	2	1	5	7	3	0	4
7	7	3	5	1	6	2	4	0

Multiplikation
$\cdot$	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	1	3	7	5	6	4
3	3	5	3	6	5	6	0
4	4	4	0	4	0	0	4
5	5	3	3	0	5	6	6
6	6	6	0	6	0	0	6
7	7	7	0	7	0	0	7

Motsatt multiplikation
$\diamond$	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	1	5	4	3	6	7
3	3	3	3	0	3	0	0
4	4	7	6	4	0	6	7
5	5	5	5	0	5	0	0
6	6	6	6	0	6	0	0
7	7	4	0	4	6	6	7

För att bevisa att de två ringarna är isomorfa, ta en karta $f:R^{\text{op}}\to R$ som ges av tabellen

Isomorfism mellan $R$ och $R^{\text{op}}$
$x$	0	1	2	3	4	5	6	7
$f(x)$	0	1	2	4	3	7	6	5

Kartan byter element i endast två par: $3\leftrightarrow 4$ och $5\leftrightarrow 7$ . Byt därefter namn på elementen i multiplikationstabellen för $\diamond$ (argument och värden). Ordna sedan om rader och kolumner för att få argumenten tillbaka till stigande ordning. Tabellen blir exakt multiplikationstabellen för $R$ . Liknande ändringar i tabellen för additiv grupp ger samma tabell, så $f$ är en automorfism av denna grupp, och eftersom $f(1)=1$ är det verkligen en ringisomorfism. Kartan är ofrivillig, dvs $f\circ f={\text{id}}$ , så $f^{-1}$ = $f$ och det är en isomorfism från $R$ till $R^{\text{op}}$ lika bra. Så, permutationen $f$ kan omtolkas för att definiera isomorfism $f\colon (R,\cdot )\rightarrow (R,\diamond )$ och då är $q=\iota \circ f$ en antiautomorfism av $(R,\cdot )$ som ges av samma permutation $q=(3,4)(5,7)$ . Ringen $R$ har exakt två automorfismer: identitets- $\operatorname {id} _{R}$ och $p=(3, 5)(4,7)$ , det vill säga $\operatorname {Aut} (R)=\{\operatörsnamn {id} _{R},p\}$ . Så dess fullständiga grupp $G$ har fyra element med två av dem antiautomorfismer. Den ena är $q$ och den andra, beteckna den med $r$ , kan beräknas

r=q\circ p=(3, 4)(5,7)(3,5)(4,7)=(3,7)(4,5)

G=\{\operatörsnamn {id} _{R},p,q, r\}=\{\operatörsnamn {id} _{R},(3,5)(4,7),(3,4)(5,7),(3,7)(4,5)\}

Det finns inget element i ordning 4, så gruppen är inte cyklisk och måste vara gruppen $D_{2}$ (eller Klein-gruppen $K_{4}$ ), vilket kan bekräftas genom beräkning. "Symmetrigruppen" i denna ring är isomorf till rektangelns symmetrigrupp.

Icke-kommutativ ring med 27 element

Ringen i den övre triangulära 2 x 2 matrisen över fältet med 3 element ${\text{F}}_{3}$ har 27 element och är en icke-kommutativ ring. Det är unikt upp till isomorfism, det vill säga alla icke-kommutativa ringar med enhet och 27 element är isomorfa till den. Den största icke-kommutativa ringen $S$ som listas i "Ringens bok" har 27 element och är också isomorf. I det här avsnittet används notationen från "The Book" för elementen i ${\displaystyle S} .$ Två saker bör komma ihåg: att elementet betecknat med $18$ är enheten av $S$ och att $1$ inte är enheten. Additivgruppen för $S$ är $C_{3}^{3}$ . Gruppen av alla automorfismer $\operatorname {Aut} (S)$ har 3 element:

\ \operatörsnamn {id} _{S}

h_{1}=(1,13,25)(2,26,14)(4,16,19)(5,20,17)(7, 10,22)(8,23,11)

h_{2}=(1,25,13)(2,14,26)(4,19,16)(5,17,20)(7 ,22,10)(8,11,23)=h_{1}^{-1}

Eftersom $S$ är självmotsatt, har den också 3 antiautomorfismer. En isomorfism $f\colon (S,\cdot )\to (S,\diamond )$ är ${\ display 1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12) ,24),}$ som kan verifieras med hjälp av operationstabellerna i "The Book" som i det första exemplet genom att byta namn och ordna om. Den här gången ska ändringarna göras i de ursprungliga operationstabellerna för $S=(S,\cdot )$ . Resultatet är multiplikationstabellen för $S^{\operatörsnamn {op} }=(S,\diamond )$ och additionstabellen förblir oförändrad. Alltså en antiautomorfism

q_{1}=\iota \circ f=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5 )(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)

ges av samma permutation. De andra två kan beräknas (i den multiplikativa notationen kan kompositionssymbolen $\circ$ släppas): ${\begin{aligned}q_{2}&=q_{1}h_{1}=(1,14,13,2,25, 26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)\cdot \\&\quad \cdot (1,13,25)(2,26,14)(4,16,19)(5,20,17)(7,10,22)(8,23,11)\\&=[( 1,14,13,2,25,26)(1,13,25)(2,26,14)][(4,20,16,17,19,5)(4,16,19)(5) ,20,17)]\cdot \\&\quad \cdot [(7,8,10,23,22,11)(7,10,22)(8,23,11)](3,15)( 6,21)(12,24)\\&=(1,2)(13,26)(14,25)(4,17)(5,16)(19,20)(7,23)(8) ,22)(10,11)(3,15)(6,21)(12,24)\\q_{3}&=q_{1}h_{2}=(1,26,25,2,13 ,14)(4,5,19,17,16,20)(7,11,22,23,10,8)(3,15)(6,21)(12,24)=q_{1}^ {-1}\end{aligned}}$ Eftersom ${\displaystyle q_{1}^{2}=h_{1}} är$ gruppen $G$ cyklisk. Om vi sätter $q=q_{1}$ , då $G=\{q ,q^{2},q^{3},q^{4},q^{5},q^{6}=\operatörsnamn {id} _{S}\}$ . De jämna krafterna är automorfismer och de udda – antiautomorfismer.

De minsta icke-självmotsatta ringarna med enhet

Alla ringar med enhet av beställningar från 9 upp till 15 är kommutativa, så de är själva motsatta. Ringarna, som inte är motsatta, visas för första gången bland ringarna av ordning 16. Det finns 4 olika icke-självmotsatta ringar av det totala antalet 50 ringar med enhet med 16 element (37 kommutativa och 13 icke-kommutativ). De kan kopplas i två par ringar motsatta varandra i ett par, och nödvändigtvis med samma additivgrupp, eftersom en antiisomorfism av ringar är en isomorfism av deras additivgrupper. Ett par ringar $R_{1}$ och $R_{2}=R_{1}^{\text{op}}$ har additivgruppen $C_{4}\times C_{2}\times C_{2}$ och det andra paret $R_{3}$ och $R_{ 4}=R_{3}^{\text{op}}$ , gruppen $C_{2}\times C_{2}\times C_ {2}\ gånger C_{2}=C_{2}^{4}$ . Deras operationstabeller presenteras inte i den här artikeln, eftersom de kan hittas i den citerade källan, och det kan verifieras att $R_{3}^{\text{op}}=R_ {4}$ , de är motsatta, men inte isomorfa. Detsamma gäller för paret $R_{1}$ och $R_{2}$ , men ringen ${\widetilde {R}}_{2}$ listad i "The Book of the Rings" är inte lika utan endast isomorf med $R_{2}$ . De återstående 13−4=9 icke-kommutativa ringarna är själva motsatta.

Gratis algebra med två generatorer

Den fria algebran $k\langle x,y\rangle$ över ett fält $k$ med generatorer $x,y$ har multiplikation från multiplikationen av ord. Till exempel,

{\begin{aligned}(2x^{2}yx+3yxy)\cdot (xyxy+1)=&{\text{ }}2x^{2}yx^{2}yxy+2x^{ 2}yx\\&+3yxyxyxy+3yxy\end{aligned}}

Då har den motsatta algebra multiplikation given med

{\begin{aligned}(2x^{2}yx+3yxy)*(xyxy+1)&= (xyxy+1)\cdot (2x^{2}yx+3yxy)\\&=2xyxyx^{2}yx+3xyxy^{2}xy+2x^{2}yx+3yxy\end{aligned}}

som inte är lika element.

Kvaternionalgebra

Kvaternionalgebra $H(a,b)$ över ett fält $F$ med $a,b\in F^{\times }$ är en divisionsalgebra definierad av tre generatorer $i,j,k$ med relationerna

i^{2}=a,\ j^{2}=b,\ k=ij=-ji

Alla element $x\in H(a,b)$ har formen

{\displaystyle x=x_{0}+x_{i}i+x_{j}j+x_{k}k} ,

där

x_{0},x_{i},x_{j},x_{k}\in F

Till exempel, om $F=\mathbb {R}$ , då är $H(-1,-1)$ den vanliga kvartjonalgebra.

Om multiplikationen av $H(a,b)$ betecknas $\cdot$ , har den multiplikationstabellen


$\cdot$	$i$	$j$	$k$
$i$	$a$	$k$	$aj$
$j$	$-k$	$b$	$-bi$
$k$	$-aj$	$bi$	$-ab$

Då har den motsatta algebra $H(a,b)^{\text{op}}$ med multiplikation betecknad $*$ tabellen


$*$	$i$	$j$	$k$
$i$	$a$	$-k$	$-aj$
$j$	$k$	$b$	$bi$
$k$	$aj$	$-bi$	$-ab$

Kommutativ ring

En kommutativ ring $(R,\cdot )$ är isomorf till dess motsatta ring $(R,*)=R^{\text{op}}$ eftersom $x\cdot y=y\cdot x=x*y$ för alla $x$ och $y$ i $R$ . De är till och med lika ${\displaystyle (R,*)=(R,\cdot )} ,$ eftersom deras operationer är lika, dvs. $*=\cdot$ .

Egenskaper

Två ringar R1 och R2 är isomorfa om och endast _om_deras motsvarande motsatta ringar är isomorfa.
Motsatsen till motsatsen till en ring R är identisk med R , det vill säga R ^opop = R .
En ring och dess motsatta ring är antiisomorfa .
En ring är kommutativ om och endast om dess operation sammanfaller med dess motsatta operation.
De vänstra idealen för en ring är de högra idealen av dess motsats.
Den motsatta ringen till en divisionsring är en divisionsring.
En vänster modul över en ring är en höger modul över dess motsats, och vice versa.

Anteckningar

Citat

Berrick, AJ; Keating, ME (2000). En introduktion till ringar och moduler med K-teori i sikte . Cambridge studier i avancerad matematik. Vol. 65. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63274-4 .
Nicolas, Bourbaki (1989). Algebra I. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64243-5 . OCLC 18588156 .

Se även