Prime ring

R I abstrakt algebra är en ring som inte är noll en primring om för två element a och b i R , arb = = 0 for all r in R implies that either a = 0 or b = 0. This definition can be regarded as a simultaneous generalization of both integral domains and simple rings.

Även om den här artikeln diskuterar definitionen ovan, kan primering också referera till den minimala subringen som inte är noll för ett fält , som genereras av dess identitetselement 1 och bestäms av dess karaktäristik . För ett karakteristiskt 0-fält är primringen heltal , och för ett karakteristiskt p- fält (med p ett primtal ) är primringen det finita ordningen p ( jfr Prime field ).

Motsvarande definitioner

En ring R är primtal om och endast om nollidealet {0} är ett primtalsideal i icke-kommutativ mening .

Detta är fallet, de ekvivalenta villkoren för prime ideal ger följande ekvivalenta villkor för att R ska vara en prime ring:

• För alla två ideal A och B av R innebär AB = {0} A = {0} eller B = {0} .
• För två rätta ideal A och B av R innebär AB = {0} A = {0} eller B = {0} .
• För två valfria vänsterideal A och B av R , innebär AB = {0} A = {0} eller B = {0}.

Med hjälp av dessa villkor kan det kontrolleras att följande motsvarar att R är en primring:

• Alla rätta ideal som inte är noll är trogna som rätt R -moduler.
• Alla vänsterideal som inte är noll är trogna som vänster R -moduler.

Exempel

• Vilken domän som helst är en prime ring.
• Varje enkel ring är en prime ring, och mer allmänt: varje vänster eller höger primitiv ring är en prime ring.
• Vilken matrisring som helst över en integrerad domän är en primring. I synnerhet är ringen med 2 × 2 heltalsmatriser en primring.

Egenskaper

• En kommutativ ring är en primring om och endast om det är en integrerad domän .
• En ring är prime om och bara om dess nollideal är ett primideal .
• En ring som inte är noll är prime om och endast om monoiden av dess ideal saknar nolldelare .
• Ringen av matriser över en primring är återigen en primring.

Anteckningar

•    Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0 , MR 1838439