Lokalisering (kommutativ algebra)

I kommutativ algebra och algebraisk geometri är lokalisering ett formellt sätt att introducera "nämnare" till en given ring eller modul . Det vill säga, den introducerar en ny ring/modul ur en befintlig ring/modul R , så att den består av bråk ${\frac {m}{s}},$ så att nämnaren s tillhör en given delmängd S av R . Om S är mängden av element som inte är noll i en integral domän , så är lokaliseringen fältet av bråk : detta fall generaliserar konstruktionen av fältet $\mathbb {Q}$ av rationella tal från ringen $\mathbb {Z}$ av heltal .

Tekniken har blivit grundläggande, särskilt inom algebraisk geometri , eftersom den ger en naturlig länk till kärveteori . Faktum är att termen lokalisering har sitt ursprung i algebraisk geometri : om R är en ring av funktioner definierade på något geometriskt objekt ( algebraisk variation ) V , och man vill studera denna variation "lokalt" nära en punkt p , då betraktar man mängden S av alla funktioner som inte är noll vid p och lokaliserar R med avseende på S . Den resulterande ringen $S^{-1}R$ innehåller information om beteendet hos V nära p och exkluderar information som inte är "lokal", såsom nollorna för funktioner som är utanför V (jfr. exemplet som ges vid lokal ring ).

Lokalisering av en ring

Lokaliseringen av en kommutativ ring R med en multiplikativt sluten mängd S är en ny ring $S^{-1}R$ vars element är bråk med täljare i R och nämnare i S .

Om ringen är en integral domän, generaliserar konstruktionen och följer noggrant den för bråkfältet , och i synnerhet det för de rationella talen som fältet för bråkdelar av heltalen. För ringar som har nolldelare är konstruktionen liknande men kräver mer omsorg.

Multiplikativ uppsättning

Lokalisering görs vanligtvis med avseende på en multiplikativt sluten mängd S (även kallad en multiplikativ mängd eller ett multiplikativt system ) av element i en ring R , det vill säga en delmängd av R som är sluten under multiplikation och innehåller 1 .

Kravet på att S måste vara en multiplikativ mängd är naturligt, eftersom det innebär att alla nämnare som introduceras av lokaliseringen tillhör S . Lokaliseringen av en mängd U som inte är multiplikativt sluten kan också definieras genom att ta alla produkter av element i U som möjliga nämnare . Emellertid erhålls samma lokalisering genom att använda den multiplikativt slutna mängden S av alla produkter av element av U . Eftersom detta ofta gör resonemang och notation enklare, är det standardpraxis att endast överväga lokaliseringar med multiplikativa mängder.

Till exempel introducerar lokaliseringen av ett enstaka element s fraktioner av formen ${\tfrac {a}{s}},$ men också produkter av sådana fraktioner, såsom ${\tfrac {ab}{s^{2}}}.$ Så, nämnarna kommer att tillhöra den multiplikativa mängden $\{1,s ,s^{2},s^{3},\ldots \}$ av potenserna s . Därför talar man generellt om "lokaliseringen av ett elements makt" snarare än om "lokaliseringen av ett element".

Lokaliseringen av en ring R med en multiplikativ mängd S betecknas i allmänhet $S^{-1}R,$ men andra beteckningar används vanligtvis i vissa speciella fall: om $S=\{1,t,t^{2},\ldots \}$ består av potenserna av ett enda element, $S^{-1}R$ betecknas $R_{t};$ om $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ är komplementet till ett primideal ${\mathfrak {p}}$ , då $S^{-1}R$ betecknas $R_{\mathfrak {p}}.$

I resten av den här artikeln beaktas endast lokaliseringar med en multiplikativ uppsättning.

Integrerade domäner

0 När ringen R är en integral domän och S inte innehåller , är ringen $S^{-1}R$ en subring av fältet av fraktioner av R . Som sådan är lokaliseringen av en domän en domän.

Mer exakt är det subringen av fältet av bråk av R , som består av bråken ${\tfrac {a}{s}}$ så att $s\in S.$ Detta är en subring eftersom summan ${\tfrac {a}{s}}+{\tfrac {b} {t}}={\tfrac {at+bs}{st}},$ och produkten ${\tfrac {a}{s}}\,{\tfrac { b}{t}}={\tfrac {ab}{st}}$ av två element i $S^{-1}R$ är i $S^{-1}R.$ Detta är resultatet av den definierande egenskapen för en multiplikativ mängd, vilket också innebär att $1={\tfrac {1}{1}}\in S^{-1}R.$ I detta fall är R en subring av $S^{-1}R.$ Det visas nedan att detta inte längre är sant i allmänhet, vanligtvis när S innehåller nolldelare .

Till exempel är decimalbråken lokaliseringen av ringen av heltal med den multiplikativa uppsättningen av tiopotenser. I detta fall $S^{-1}R$ av de rationella talen som kan skrivas som ${\tfrac {n}{10^{k}}} ,$ där n är ett heltal och k är ett icke-negativt heltal.

Allmän konstruktion

I det allmänna fallet uppstår ett problem med nolldelare . Låt S vara en multiplikativ mängd i en kommutativ ring R . Antag att $s\in S,$ och $0\neq a\in R$ är en nolldelare med $as=0.$ Då ${\tfrac {a}{1}}$ är bilden i $S^{-1}R$ av $a\in R,$ och man har ${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {as}{s}}={\tfrac {0}{s}}={\tfrac {0}{1}}.} Alltså$ några element som inte är noll i R måste vara noll i $S^{-1}R.$ Konstruktionen som följer är utformad för att ta hänsyn till detta.

Givet R och S enligt ovan, betraktar man ekvivalensrelationen på R $\displaystyle R\times S}$ som definieras av $(r_{1 },s_{1})\sim (r_{2},s_{2})$ om det finns ett $t\in S$ så att $t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.$

Lokaliseringen $S^{-1}R$ definieras som uppsättningen av ekvivalensklasserna för denna relation. Klassen av ( r , s ) betecknas som ${\frac {r}{s}},$$r/s,$ eller $s^{-1}r.$ Så, man har ${\tfrac {r_{1}}{s_{1}}}={\tfrac {r_ {2}}{s_{2}}}$ om och endast om det finns ett $t\in S$ så att $t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.$ Anledningen till $t$ är att hantera fall som ovan ${\tfrac {a}{1}}={\tfrac {0}{1}},$ där $s_{1}r_{2}-s_{2}r_ {1}$ är icke-noll även om bråken ska betraktas som lika.

Lokaliseringen $S^{-1}R$ är en kommutativ ring med addition

${\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{ 2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}},$

multiplikation

${\frac {r_{1}}{s_{1}}}\,{\frac {r_{2}}{s_ {2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}},$

additiv identitet ${\tfrac {0}{1}},$ och multiplikativ identitet ${\tfrac {1}{1}}.$

Funktionen _

$r\mapsto {\frac {r}{1}}$

definierar en ringhomomorfism från $R$ till $S^{-1}R,$ som är injektiv om och endast om S inte innehåller några nolldelare.

0 Om $0\in S,$ så är $S^{-1}R$ nollringen som har ett unikt element.

Om S är mängden av alla reguljära element i R (det vill säga de element som inte är nolldelare), kallas ${\displaystyle S^{-1}R} den$ totala ringen av bråkdelar av R .

Universell egendom

Ringhomomorfismen (definierad ovan) $j\colon R\to S^{-1}R$ uppfyller en universell egenskap som beskrivs nedan. Detta kännetecknar $S^{-1}R$ upp till en isomorfism. Så alla egenskaper hos lokaliseringar kan härledas från den universella egenskapen, oberoende av hur de har konstruerats. Dessutom kan många viktiga lokaliseringsegenskaper lätt härledas från de allmänna egenskaperna hos universella egenskaper, medan deras direkta bevis kan vara tekniska, okomplicerade och tråkiga.

Den universella egenskapen som uppfylls av $j\colon R\to S^{-1}R$ är följande:

Om $f\colon R\to T$ är en ringhomomorfism som mappar varje element i S till en enhet (inverterbart element) i T , finns det en unik ringhomomorfism $g\colon S^{-1}R\to T$ så att $f=g\circ j.$

Med hjälp av kategoriteori kan detta uttryckas genom att säga att lokalisering är en funktor som lämnas intill en glömsk funktor . Mer exakt, låt ${\mathcal {C}}$ och ${\mathcal {D}}$ vara de kategorier vars objekt är par av en kommutativ ring respektive en submonoid av den multiplikativa monoiden eller gruppen av enheter i ringen. Morfismerna för dessa kategorier är ringhomomorfismerna som mappar submonoiden av det första objektet till submonoiden av det andra . Låt slutligen ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$ vara den glömska funktorn som glömmer att elementen i det andra elementet av paret är inverterbara.

Då definierar faktoriseringen $f=g\circ j$ för den universella egenskapen en bijektion

$\hom _{\mathcal {C}}((R,S),{\mathcal {F}}(T,U))\to \hom _{\mathcal {D}}((S^{ -1}R,j(S)),(T,U)).$

Detta kan tyckas vara ett ganska knepigt sätt att uttrycka den universella egenskapen, men det är användbart för att enkelt visa många egenskaper, genom att använda det faktum att sammansättningen av två vänstra adjointfunktioner är en vänster adjoint funktion.

Exempel

• Om $R=\mathbb {Z}$ är ringen av heltal , och $S=\mathbb {Z} \setminus \{0\},$ då $S^{-1}R$ är fältet $\mathbb {Q}$ för de rationella talen .
• Om R är en integral domän och $S=R\setminus \{0\},$ så är $S^{-1}R$ fältet för fraktioner av R . Det föregående exemplet är ett specialfall av detta.
• Om R är en kommutativ ring , och om S är delmängden av dess element som inte är nolldelare , då är $S^{-1}R$ den totala ringen av bråkdelar av R . I detta fall S den största multiplikativa mängden så att homomorfismen $R\to S^{-1}R$ är injektiv. Det föregående exemplet är ett specialfall av detta.
• Om x är ett element i en kommutativ ring R och $S=\{1,x,x^{2},\ldots \},$ då $S^{-1}R$ kan identifieras (är kanoniskt isomorf till) $R[x^{-1}]=R[s]/(xs-1).$ (Beviset består i att visa att denna ring uppfyller ovanstående universella egenskap.) Denna typ av lokalisering spelar en grundläggande roll i definitionen av ett affint system .
• Om ${\mathfrak {p}}$ är ett primideal för en kommutativ ring R , mängdkomplementet $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ av ${ \displaystyle {\mathfrak {p}}}$ i R är en multiplikativ mängd (enligt definitionen av ett primideal). Ringen $S^{-1}R$ är en lokal ring som allmänt betecknas $R_{\mathfrak {p}},$ och kallas den lokala ringen av R vid ${\mathfrak {p}}.$ Denna typ av lokalisering är grundläggande i kommutativ algebra , eftersom många egenskaper hos en kommutativ ring kan läsas på dess lokala ringar. En sådan fastighet kallas ofta för lokalfastighet . Till exempel är en ring regelbunden om och bara om alla dess lokala ringar är regelbundna.

Ring egenskaper

Lokalisering är en rik konstruktion som har många användbara egenskaper. I detta avsnitt beaktas endast egenskaperna i förhållande till ringar och till en enskild lokalisering. Egenskaper som rör ideal , moduler eller flera multiplikativa uppsättningar beaktas i andra avsnitt.

• 0$S^{-1}R=0$ om och endast om S innehåller .
• Ringhomomorfismen $R\to S^{-1}R$ är injektiv om och endast om S inte innehåller några nolldelare .
• Ringhomomorfismen $R\to S^{-1}R$ är en epimorfism i kategorin ringar , som inte är surjektiv i allmänhet.
• Ringen $S^{-1}R$ är en platt R -modul (se § Lokalisering av en modul för detaljer).
• Om $S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$${\ displaystyle S^{-1}R,}$ är komplementet till ett primideal ${\mathfrak {p}}$ , då betecknad $R_{\mathfrak {p}},$ är en lokal ring ; det vill säga, den har bara ett maximalt ideal .

Fastigheter som ska flyttas till en annan sektion

• Lokalisering pendlar med formationer av ändliga summor, produkter, korsningar och radikaler; t.ex. om ${\sqrt {I}}$ betecknar radikalen för ett ideal I i R , då

$^{-1}R}}\,.} I synnerhet reduceras R$

S om och endast om dess totala ring av fraktioner reduceras.

• Låt R vara en integral domän med fältet av bråken K . Då kan dess lokalisering $R_{\mathfrak {p}}$ vid ett primideal ${\mathfrak {p}}$ ses som en subring av K . Dessutom,

$R=\bigcap _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{\mathfrak {m}}R_{\ mathfrak {m}}$

där den första skärningspunkten är över alla primideal och den andra över de maximala idealen.

• Det finns en bijektion mellan mängden primideal för S ⁻¹ R och mängden primideal för R som inte skär S . Denna bijektion induceras av den givna homomorfismen R → S ⁻¹ R .

Mättnad av en multiplikativ mängd

Låt $S\subseteq R$ vara en multiplikativ mängd. Mättnaden ${\hat {S}}$ för $\displaystyle S}$ { är uppsättningen

${\hat {S}}=\{r\i R\kolon \exists s\in R,rs\in S\}.$

Den multiplikativa mängden S är mättad om den är lika med dess mättnad, det vill säga om ${\displaystyle {\hat {S}}=S} ,$ eller motsvarande, om $rs\in S$ innebär att r och s är i S .

Om S inte är mättad, och $rs\in S,$ så är ${\frac {s}{rs}}$ en multiplikativ invers av bilden av r i $S^{-1}R.$ Så bilderna av elementen i ${\hat {S}}$ är alla inverterbara i $S^{-1 }R,$ och den universella egenskapen innebär att $S^{-1}R$ och ${\hat {S}}{}^{-1}R$ är kanoniskt isomorfa , det vill säga det finns en unik isomorfism mellan dem som fixar bilderna av elementen i R .

Om S och T är två multiplikativa mängder är $S^{-1}R$ och $T^{-1}R$ isomorfa om och endast om de har samma mättnad, eller, ekvivalent, om s tillhör en av den multiplikativa mängden, så finns det $t\in R$ så att st tillhör den andra.

Mättade multiplikativa uppsättningar används inte särskilt explicit, eftersom man måste känna till alla enheter i ringen för att verifiera att en uppsättning är mättad.

Terminologi förklaras av sammanhanget

Termen lokalisering har sitt ursprung i den allmänna trenden av modern matematik att studera geometriska och topologiska objekt lokalt , det vill säga när det gäller deras beteende nära varje punkt. Exempel på denna trend är de grundläggande begreppen grenrör , bakterier och kärvar . I algebraisk geometri kan en affin algebraisk mängd identifieras med en kvotring av en polynomring på ett sådant sätt att den algebraiska mängdens punkter motsvarar ringens maximala ideal (detta är Hilberts Nullstellensatz ). Denna korrespondens har generaliserats för att göra uppsättningen av de främsta idealen för en kommutativ ring till ett topologiskt utrymme utrustat med Zariski-topologin ; detta topologiska utrymme kallas ringens spektrum .

I detta sammanhang kan en lokalisering av en multiplikativ uppsättning ses som en begränsning av spektrumet av en ring till delrummet av de primära idealen (sedda som punkter ) som inte skär den multiplikativa mängden.

Två klasser av lokaliseringar övervägs oftare:

• Den multiplikativa mängden är komplementet till ett primideal ${\mathfrak {p}}$ av en ring R . I det här fallet talar man om "lokalisering vid ${\mathfrak {p}}$ ", eller "lokalisering vid en punkt". Den resulterande ringen, betecknad $R_{\mathfrak {p}}$ är en lokal ring , och är den algebraiska analogen till en ring av bakterier .
• Den multiplikativa mängden består av alla potenser av ett element t i en ring R . Den resulterande ringen betecknas vanligtvis $R_{t},$ och dess spektrum är den öppna Zariski-uppsättningen av de primära idealen som inte innehåller t . Sålunda är lokaliseringen analogen av begränsningen av ett topologiskt utrymme till ett område av en punkt (varje prime ideal har en grannskapsbas bestående av Zariski öppna uppsättningar av denna form).

I talteori och algebraisk topologi , när man arbetar över ringen $\mathbb {Z}$ av heltalen , hänvisar man till en egenskap relativt ett heltal n som en egenskap sann vid n eller bort från n , beroende på lokalisering som övervägs. " Away from n " betyder att egenskapen betraktas efter lokalisering med potenserna av n , och om p är ett primtal betyder "at p " att egenskapen betraktas efter lokalisering vid primidealet $p \mathbb {Z}$ . Denna terminologi kan förklaras av det faktum att, om p är primtal, så är de primtal som inte är noll för lokaliseringen av $\mathbb {Z}$ antingen singelmängden {p} eller dess komplement i uppsättningen primtal .

Lokalisering och mättnad av ideal

Låt S vara en multiplikativ mängd i en kommutativ ring R , och $j\colon R\to S^{-1}R$ är den kanoniska ringhomomorfismen. Givet ett ideal I i R , låt $S^{-1}I$ mängden av bråken i $S^{-1}R$ vars täljare är i I . Detta är ett ideal för $S^{-1}R,$ som genereras av j ( I ) , och kallas lokaliseringen av I av S .

Mättnaden av I med S är $j^{-1}(S^{-1}I);$ ) det är ett ideal för R , som också kan definieras som mängden av elementen $r\in R$ så att det finns $s\in S$ med $sr\in I.$

Många egenskaper hos ideal bevaras antingen genom mättnad och lokalisering, eller kan karakteriseras av enklare egenskaper för lokalisering och mättnad. I det följande S en multiplikativ mängd i en ring R och I och J är ideal för R ; mättnaden av ett ideal I med en multiplikativ mängd S betecknas $\operatorname {sat} _{S}(I),$ eller, när den multiplikativa mängden S är tydlig från sammanhanget, $\operatörsnamn {sat} (I).$

• $1\in S^{-1}I\quad \iff \quad 1\in \operatorname {sat} (I) \quad \iff \quad S\cap I\neq \emptyset$
• 
  ${\displaystyle I\subseteq J\quad \ \implies \quad \ S^{-1}I\subseteq S ^{-1}J\quad \ {\text{and}}\quad \ \operatornamn {sat} (I)\subseteq \operatorname {sat} (J)} (detta är inte alltid sant för$ strikta inklusioner )
• $S^{-1}(I\ cap J)=S^{-1}I\cap S^{-1}J,\qquad \,\operatörsnamn {sat} (I\cap J)=\operatörsnamn {sat} (I)\cap \operatörsnamn { satt} (J)$
• $S^{-1}(I+ J)=S^{-1}I+S^{-1}J,\qquad \operatörsnamn {sat} (I+J)=\operatörsnamn {sat} (I)+\operatörsnamn {sat} (J)$
• $S^{-1}(I\ cdot J)=S^{-1}I\cdot S^{-1}J,\qquad \quad \operatörsnamn {sat} (I\cdot J)=\operatörsnamn {sat} (I)\cdot \operatörsnamn { satt} (J)$
• Om ${\mathfrak {p}}$ är ett primideal så att ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset ,$ då ${\ displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}}$ är ett primideal och ${\mathfrak {p}}=\operatörsnamn {sat} ({\mathfrak {p} })$ ; om skärningspunkten inte är tom, då $S^{-1}{\mathfrak {p}}=S^{-1}R$ och $\operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})=R.$

Lokalisering av en modul

Låt R vara en kommutativ ring , S vara en multiplikativ mängd i R och M vara en R - modul . Lokaliseringen av modulen M med S , betecknad S ⁻¹ M , är en S ⁻¹ R -modul som är konstruerad exakt som lokaliseringen av R , förutom att täljarna för bråken tillhör M . Det vill säga, som en mängd består den av ekvivalensklasser , betecknade ${\frac {m}{s}}$ , av par ( m , s ) , där $m\in M$ och $s\in S,$ och två par ( m , s ) och ( n , t ) är ekvivalenta om det finns ett element u i S så att

$u(sn-tm)=0.$

Addition och skalär multiplikation definieras som för vanliga bråk (i följande formel, $r\in R,$$s,t\in S,$ och $m,n\in M$ ):

${\frac {m}{s}}+{\frac {n}{t}}={\frac {tm+sn}{st} },$

${\frac {r}{s}}{\frac {m}{t}}={\frac {rm}{st}}.$

Dessutom är S ⁻¹ M också en R -modul med skalär multiplikation

$r\,{\frac {m}{s}}={\frac {r}{1}}{\frac {m}{s}}={\frac {rm}{s}}.$

Det är enkelt att kontrollera att dessa operationer är väldefinierade, det vill säga de ger samma resultat för olika val av representanter för fraktioner.

Lokaliseringen av en modul kan definieras på samma sätt genom att använda tensorprodukter :

$S^{-1}M=S^{-1}R\otimes _{R}M.$

Beviset för ekvivalens (upp till en kanonisk isomorfism ) kan göras genom att visa att de två definitionerna uppfyller samma universella egenskap.

Modulegenskaper

Om M är en undermodul till en R -modul N , och S är en multiplikativ mängd i R , har man $S^{-1}M\subseteq S^{-1}N.$ Detta innebär att, om $f\colon M\to N$ är en injektiv modulhomomorfism , då

$S^{-1}R\otimes _{R}f:\quad S^{-1}R \otimes _{R}M\to S^{-1}R\otimes _{R}N$

är också en injektiv homomorfism.

Eftersom tensorprodukten är en rätt exakt funktion , innebär detta att lokalisering av S mappar exakta sekvenser av R -moduler till exakta sekvenser av $S^{-1}R$ -moduler. Med andra ord är lokalisering en exakt funktor och $S^{-1}R$ är en platt R -modul .

Denna planhet och det faktum att lokalisering löser en universell egenskap gör att lokalisering bevarar många egenskaper hos moduler och ringar, och är kompatibel med lösningar av andra universella egenskaper. Till exempel den naturliga kartan

$S^{-1}(M\otimes _{R}N)\to S^{-1} M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N$

är en isomorfism. Om $M$ är en ändligt presenterad modul , är den naturliga kartan

$S^{-1}\operatörsnamn {Hom} _{R}(M, N)\till \operatörsnamn {Hom} _{S^{-1}R}(S^{-1}M,S^{-1}N)$

är också en isomorfism.

Om en modul M är en ändligt genererad över R , har man

$S^{-1}(\operatörsnamn {Ann} _{R}(M))=\ operatörsnamn {Ann} _{S^{-1}R}(S^{-1}M),$

där $\operatorname {Ann}$ betecknar annihilator , det vill säga idealet för elementen i ringen som nollställer alla element i modulen. Särskilt,

$S^{-1}M=0\quad \iff \quad S\cap \operatörsnamn {Ann} _{R}(M) \neq \emptyset ,$

det vill säga om $tM=0$ för några $t\in S.$

Lokalisering vid primtal

Definitionen av ett primideal innebär omedelbart att komplementet $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ av ett primideal ${\mathfrak {p}}$ i en kommutativ ring R är en multiplikativ mängd. I detta fall betecknas lokaliseringen $S^{-1}R$ vanligen $R_{\mathfrak {p}}.$ Ringen $R_{\mathfrak {p}}$ är en lokal ring , som kallas den lokala ringen av R vid ${\mathfrak {p}}.$ Detta betyder att ${\mathfrak {p}}\,R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p }}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}$ är det unika maximalidealet för ringen $R_{\mathfrak {p}}.$

Sådana lokaliseringar är grundläggande för kommutativ algebra och algebraisk geometri av flera skäl. En är att lokala ringar ofta är lättare att studera än allmänna kommutativa ringar, särskilt på grund av Nakayama lemma . Det främsta skälet är dock att många egenskaper är sanna för en ring om och bara om de är sanna för alla dess lokala ringar. Till exempel är en ring regelbunden om och endast om alla dess lokala ringar är vanliga lokala ringar .

Egenskaper hos en ring som kan karakteriseras på dess lokala ringar kallas lokala egenskaper och är ofta den algebraiska motsvarigheten till geometriska lokala egenskaper hos algebraiska varieteter , vilka är egenskaper som kan studeras genom begränsning till ett litet område av varje punkt i sorten. . (Det finns ett annat koncept för lokal egendom som hänvisar till lokalisering till öppna uppsättningar i Zariski; se § Lokalisering till öppna uppsättningar i Zariski nedan.)

Många lokala fastigheter är en konsekvens av att modulen

$\bigoplus _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$

är en troget platt modul när den direkta summan tas över alla primideal (eller över alla maximala ideal för R ). Se även Troget platt härkomst .

Exempel på lokala fastigheter

En egenskap P för en R -modul M är en lokal egenskap om följande villkor är likvärdiga:

• P håller för M .
• P gäller för alla $M_{\mathfrak {p}},$ där ${\mathfrak {p}}$ är ett primideal för R .
• P gäller för alla $M_{\mathfrak {m}},$ där ${\mathfrak {m}}$ är ett maximalt ideal för R .

Följande är lokala fastigheter:

• M är noll.
• M är torsionsfri (i det fall R är en kommutativ domän ).
• M är en platt modul .
• M är en inverterbar modul (i fallet där R är en kommutativ domän och M är en undermodul till fältet av fraktioner av R ).
• $f\colon M\to N$ är injektiv (resp. surjektiv), där N är en annan R -modul.

Å andra sidan är vissa fastigheter inte lokala fastigheter. Till exempel är en oändlig direkt produkt av fält inte en integral domän eller en Noetherian ring , medan alla dess lokala ringar är fält, och därför Noetherian integral domäner.

Icke-kommutativt kasus

Att lokalisera icke-kommutativa ringar är svårare. Även om lokaliseringen finns för varje uppsättning S av potentiella enheter, kan den ha en annan form än den som beskrivs ovan. Ett villkor som säkerställer att lokaliseringen sköts väl är malmtillståndet .

Ett fall för icke-kommutativa ringar där lokalisering har ett tydligt intresse är ringar av differentialoperatorer. Den har till exempel tolkningen att angränsa en formell invers D ⁻¹ för en differentieringsoperator D . Detta görs i många sammanhang i metoder för differentialekvationer . Det finns nu en stor matematisk teori om det, kallad mikrolokalisering , som ansluter till många andra grenar. Mikrotaggen har att göra med kopplingar till Fourierteori, i synnerhet.

Se även

• Lokal analys
• Lokalisering av en kategori
• Lokalisering av ett topologiskt utrymme

• Atiyah och MacDonald. Introduktion till kommutativ algebra. Addison-Wesley.
•   Borel, Armand . Linjära algebraiska grupper (2:a upplagan). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97370-2 .
•    Cohn, PM (1989). "§ 9.3". Algebra . Vol. 2 (andra upplagan). Chichester: John Wiley & Sons Ltd. s. xvi+428. ISBN 0-471-92234-X . MR 1006872 .
•    Cohn, PM (1991). "§ 9.1". Algebra . Vol. 3 (andra upplagan). Chichester: John Wiley & Sons Ltd. s. xii+474. ISBN 0-471-92840-2 . MR 1098018 .
•    Eisenbud, David (1995), Kommutativ algebra , Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1 , MR 1322960
• Matsumura. Kommutativ algebra. Benjamin-Cummings
•    Stenström, Bo (1971). Ringar och moduler av kvoter . Lecture Notes in Mathematics, Vol. 237. Berlin: Springer-Verlag. s. vii+136. ISBN 978-3-540-05690-4 . MR 0325663 .
• Serge Lang , "Algebraisk talteori", Springer, 2000. sidorna 3–4.

externa länkar

• Lokalisering från MathWorld .