Separerbar algebra

Inom matematiken är en separerbar algebra en sorts halvenkel algebra . Det är en generalisering till associativa algebror av begreppet en separerbar fältförlängning .

Definition och första egenskaper

En ringhomomorfism (av enhetliga, men inte nödvändigtvis kommutativa ringar )

K\to A

kallas separable (eller en separable extension ) om multiplikationskartan

\mu :A\otimes _{K}A\to A,a\otimes b\mapsto ab

medger ett avsnitt

\sigma :A\to A\otimes _{K}A

med hjälp av en homomorfism σ av A - A - bimoduler . En sådan sektion σ bestäms av dess värde

p:=\sigma (1)=\summa a_{i}\otimes b_{i}

σ(1). Villkoret att σ är en sektion av μ är ekvivalent med

\sum a_{i}b_{i}=1

och villkoret för att vara en homomorfism av A - A -bimoduler motsvarar följande krav för alla a i A :

\sum aa_{i}\otimes b_{i}=\sum a_{i}\otimes b_{i}a.

Ett sådant element p kallas en separabilitets idempotent , eftersom det uppfyller $p^{2}=p$ .

Exempel

För varje kommutativ ring R är den (icke-kommutativa) ringen av n -för- n matriser $M_{n}(R)$ separerbar R -algebra. För valfri $1\leq j\leq n$ , ges en separerbarhetsidempotent av $\sum _{i=1}^{ n}e_{ij}\otimes e_{ji}$ , där $e_{ij}$ betecknar den elementära matrisen som är 0 förutom posten i position ( i , j ), som är 1. I Detta visar i synnerhet att separerbarhetsidempotenter inte behöver vara unika.

Separerbara algebror över ett fält

Om $\scriptstyle L/K$ är en fälttillägg , så är L separerbar som en associativ K -algebra om och endast om fältförlängningen är separerbar . Om L / K har ett primitivt element $a$ med irreducerbart polynom $p(x)=(xa)\summa _{i=0}^{n-1}b_{i}x^{i}$ , då ges en separerbarhetsidempotent av $\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}\otimes _{K}{\frac {b_{i}}{p'(a)}}$ . Tensoranderna är dubbla baser för spårkartan: om $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}$ är de distinkta K -monomorfismerna av L till en algebraisk stängning av K definieras spårmappningen Tr av L till K av $Tr(x)=\summa _{i=1}^{n} \sigma _{i}(x)$ . Spårkartan och dess dubbla baser gör explicit L som en Frobenius-algebra över K.

Mer generellt kan separerbara algebror över ett fält K klassificeras enligt följande: de är desamma som ändliga produkter av matrisalgebror över ändliga dimensionella divisionsalgebror vars centra är ändligt dimensionella separerbara fältförlängningar av fältet K . I synnerhet: Varje separerbar algebra är själv ändlig-dimensionell. Om K är ett perfekt fält --- till exempel ett fält med karakteristisk noll, eller ett ändligt fält, eller ett algebraiskt slutet fält --- så är varje förlängning av K separerbar så att separerbara K -algebror är ändliga produkter av matrisalgebror över ändlig-dimensionell division algebror över fält K . Med andra ord, om K är ett perfekt fält, finns det ingen skillnad mellan en separerbar algebra över K och en finitdimensionell halvenkel algebra över K . Det kan visas med en generaliserad sats av Maschke att en associativ K -algebra A är separerbar om för varje fälttillägg $\scriptstyle L/K$ algebra $\scriptstyle A\otimes _{K}L$ är halvenkelt.

Gruppringar

Om K är en kommutativ ring och G är en finit grupp så att ordningen av G är inverterbar i K , då är gruppringen K [ G ] en separerbar K -algebra. En separerbarhet idempotent ges av ${\frac {1}{o(G)}}\summa _{g\in G}g\otimes g^ {-1}$ .

Likvärdiga karakteriseringar av separerbarhet

Det finns flera motsvarande definitioner av separerbara algebror. En K -algebra A är separerbar om och endast om den är projektiv när den betraktas som en vänstermodul av $A^{e}$ på vanligt sätt. Dessutom är en algebra A separerbar om och endast om den är platt när den betraktas som en högermodul av $A^{e}$ på vanligt sätt. Separerbara förlängningar kan också karakteriseras med hjälp av delade förlängningar: A är separerbar över K om alla korta exakta sekvenser av A - A -bimoduler som är uppdelade som A - K -bimoduler också delas som A - A -bimoduler. Detta villkor är faktiskt nödvändigt eftersom multiplikationsmappningen $\mu :A\otimes _{K}A\rightarrow A$ som uppstår i definitionen ovan är en A - A -bimodul epimorfism, som delas som en A - K -bimodulkarta av den högra inversa avbildningen $A\rightarrow A\otimes _{K}A$ ges av $a\mapsto ibland 1$ . Motsatsen kan bevisas genom en förnuftig användning av separerbarheten idempotent (på samma sätt som beviset för Maschkes teorem , applicering av dess komponenter inom och utan de delade kartorna).

På motsvarande sätt är de relativa Hochschild-kohomologigrupperna H $\displaystyle H^{n}(R,S;M)}$ av (R,S) i varje koefficientbimodul M noll för n > 0. Exempel på separerbara förlängningar är många inklusive första separerbara algebror där R = separerbar algebra och S = 1 gånger markfältet. Varje ring R med elementen a och b som uppfyller ab = 1, men ba skiljer sig från 1, är en separerbar förlängning över subringen S genererad av 1 och bRa.

Relation till Frobenius algebras

En separerbar algebra sägs vara starkt separerbar om det finns en separerbarhetsidempotent som är symmetrisk , vilket betyder

e=\summa _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i} =\summa _{i=1}^{n}y_{i}\otimes x_{i}

En algebra är starkt separerbar om och endast om dess spårform är icke-degenererad, vilket gör algebra till en viss typ av Frobenius-algebra som kallas en symmetrisk algebra (inte att förväxla med den symmetriska algebra som uppstår som kvoten av tensoralgebra ).

Om K är kommutativ är A en ändligt genererad projektiv separerbar K -modul, då är A en symmetrisk Frobenius-algebra.

Förhållande till formellt oförgrenade och formellt étale-förlängningar

Varje separerbar förlängning A / K av kommutativa ringar är formellt oförgrenad . Det omvända gäller om A är en ändligt genererad K -algebra. En separerbar platt (kommutativ) K -algebra A är formellt étale .

Ytterligare resultat

Ett teorem i området är det för J. Cuadra att en separerbar Hopf-Galois-förlängning R | S har ändligt genererat naturlig S-modul R. Ett grundläggande faktum om en separerbar förlängning R | S är att det är vänster eller höger halvenkel förlängning: en kort exakt sekvens av vänster eller höger R-moduler som är delad som S-moduler, delas upp som R-moduler. När det gäller G. Hochschilds relativa homologiska algebra säger man att alla R-moduler är relativa (R,S)-projektiva. Vanligtvis tjänar relativa egenskaper hos subringar eller ringförlängningar, såsom begreppet separerbar förlängning, till att främja satser som säger att överringen delar en egenskap hos subringen. Till exempel har en separerbar förlängning R av en halvenkel algebra S R semisenkel, vilket följer av föregående diskussion.

Det finns den berömda Jans-satsen att en finit gruppalgebra A över ett fält med karakteristisk p är av finit representationstyp om och endast om dess Sylow p-undergrupp är cyklisk: det tydligaste beviset är att notera detta faktum för p-grupper, notera då att gruppalgebra är en separerbar förlängning av dess Sylow p-subgrupp algebra B eftersom indexet är coprime till egenskapen. Separerbarhetsvillkoret ovan kommer att innebära att varje ändligt genererad A-modul M är isomorf till en direkt summering i sin begränsade, inducerade modul. Men om B har ändlig representationstyp, är den begränsade modulen unikt en direkt summa av multipler av ändligt många oupplösbara, som inducerar till ett ändligt antal ingående oupplösliga moduler av vilka M är en direkt summa. Därför är A av finit representationstyp om B är det. Det omvända bevisas av ett liknande argument som noterar att varje undergrupp algebra B är en B-bimodul direkt summa av en gruppalgebra A.

DeMeyer, F.; Ingraham, E. (1971). Separerbara algebror över kommutativa ringar . Föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 181. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05371-2 . Zbl 0215.36602 .
Samuel Eilenberg och Tadasi Nakayama, Om dimensionen av moduler och algebror. II. Frobenius algebror och kvasi-Frobenius ringar , Nagoya Math. J. Volym 9 (1955), 1–16.
Endo, Shizuo; Watanabe, Yutaka (1967), "On separable algebras over a commutative ring" , Osaka Journal of Mathematics , 4 : 233–242, MR 0227211
Ford, Timothy J. (2017), Separable algebras , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-3770-1 , MR 3618889
Hirata, H.; Sugano, K. (1966), "On semisimple and separable extensions of noncommutative rings", J. Math. Soc. Jpn. , 18 : 360–373 .
Kadison, Lars (1999), Nya exempel på Frobenius-förlängningar , University Lecture Series, vol. 14, Providence, RI: American Mathematical Society, doi : 10.1090/ulect/014 , ISBN 0-8218-1962-3 , MR 1690111
Reiner, I. (2003), Maximal Orders , London Mathematical Society Monographs. Ny serie, vol. 28, Oxford University Press , ISBN 0-19-852673-3 , Zbl 1024.16008
Weibel, Charles A. (1994). En introduktion till homologisk algebra . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4 . MR 1269324 . OCLC 36131259 .