Generisk matrisring

I algebra är en generisk matrisring en sorts universell matrisring .

Definition

Vi betecknar med $F_{n}$ en generisk matrisring av storlek n med variablerna $X_{1},\dots X_{m}$ . Den kännetecknas av den universella egenskapen: givet en kommutativ ring R och n -by- n matriser $A_{1},\dots ,A_{m}$ över R , valfri mappning $X_{i}\mapsto A_{i}$ sträcker sig till ringens homomorfism (kallad utvärdering) $F_{n}\to M_{n}(R)$ .

Explicit, givet ett fält k , är det subalgebra $F_{n}$ för matrisringen ${\displaystyle M_{n}(k[(X_{l})_{ij}\mid 1\leq l\leq m,\ 1\leq i,j\leq n])} genererad$ av n -by - n matriser $X_{1},\dots ,X_{m}$ , där $(X_{l})_{ij}$ är matris ingångar och pendling per definition. Till exempel, om m = 1 så är $F_{1}$ en polynomring i en variabel.

Till exempel är ett centralt polynom ett element i ringen $F_{n}$ som kommer att mappas till ett centralt element under en utvärdering. (Faktiskt är det i den invarianta ringen $k[(X_{l})_{ij}]^{\operatörsnamn {GL} _{ n}(k)}$ eftersom det är centralt och invariant.)

Per definition är $F_{n}$ en kvot av den fria ringen $k\langle t_{1},\dots ,t_{m}\rangle$ med $t_{i}\mapsto X_{i}$ av idealet bestående av alla p som försvinner identiskt på alla n -by- n matriser över k .

Geometriskt perspektiv

Den universella egenskapen innebär att valfri ringhomomorfism från $k\langle t_{1},\dots ,t_{m}\rangle$ till en matris ringfaktorer genom ${\ displaystil F_{n}}$ . Detta har följande geometriska betydelse. I algebraisk geometri är polynomringen $\dots ,t_{m}]}$ , koordinatringen för det affina rummet $k^{m}$ , och att ge en punkt på $k^{m}$ är att ge en ringhomomorfism (utvärdering) $k[t,\dots ,t_ {m}]\to k$ (antingen av Hilbert nullstellensatz eller genom schemateorin ). Den fria ringen $k\langle t_{1},\dots ,t_{m}\rangle$ spelar rollen som koordinatringen för det affina rummet i den icke-kommutativa algebraiska geometrin (dvs. vi kräver inte fria variabler för att pendla) och därför är en generisk matrisring av storlek n koordinatringen för en icke-kommutativ affin variant vars punkter är specifikationerna för matrisringar av storlek n (se nedan för en mer konkret diskussion .)

Det maximala spektrumet för en generisk matrisring

För enkelhetens skull, anta att k är algebraiskt stängt . Låt A vara en algebra över k och låt $\operatorname {Spec} _{n}(A)$ beteckna mängden av alla maximala ideal ${\mathfrak {m}}$ i A så att $A/{\mathfrak {m}}\approx M_{n}(k)$ . Om A är kommutativ är $\operatorname {Spec} _{1}(A)$ det maximala spektrumet av A och $\operatorname {Spec} _ {n}(A)$ är tom för alla $n>1$ .

• Artin, Michael (1999). "Icke-kommutativa ringar" (PDF) .
•    Cohn, Paul M. (2003). Ytterligare algebra och tillämpningar (Reviderad upplaga av Algebra, 2:a uppl.). London: Springer-Verlag . ISBN 1-85233-667-6 . Zbl 1006,00001 .