Modulär form

"Modulär funktion" omdirigerar hit. En distinkt användning av denna term förekommer i förhållande till Haar mått .

I matematik är en modulär form en (komplex) analytisk funktion på det övre halvplanet som uppfyller en viss typ av funktionell ekvation med avseende på gruppverkan av den modulära gruppen , och som även uppfyller ett tillväxtvillkor. Teorin om modulära former hör därför till komplex analys men teorins huvudsakliga betydelse har traditionellt sett legat i dess kopplingar till talteorin . Modulära former visas i andra områden, såsom algebraisk topologi , sfärpackning och strängteori .

En modulär funktion är en funktion som är invariant med avseende på den modulära gruppen, men utan villkoret att f ( z ) är holomorf i det övre halvplanet (bland andra krav). Istället är modulära funktioner meromorfa (det vill säga de är holomorfa på komplement till en uppsättning isolerade punkter, som är poler av funktionen).

Modulär formteori är ett specialfall av den mer allmänna teorin om automorfa former som är funktioner definierade på Lie-grupper som transformeras fint med avseende på verkan av vissa diskreta undergrupper , vilket generaliserar exemplet med den modulära gruppen $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ .

Allmän definition av modulära former

I allmänhet, givet en undergrupp $\Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ av ändligt index , kallad en aritmetisk grupp , en modulär form av nivå $\Gamma$ och vikt $k$ är en holomorf funktion $f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ från den övre halvplan så att följande två villkor är uppfyllda:

1. ( automorfitillstånd ) För alla $\gamma \in \Gamma$ finns likheten $f(\ gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)$

2. ( tillväxtvillkor ) För alla $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ funktionen $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))$ är avgränsad för ${\text{im}}( z)\to \infty$

där ${\textstyle \gamma (z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ och funktionen ${\textstyle \gamma }$ identifieras med matrisen ${\textstyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ).\,} (Identifieringen$ av sådana funktioner med sådana matriser gör att sammansättningen av sådana funktioner motsvarar matrismultiplikation.) Dessutom kallas det en cusp-form om den uppfyller följande tillväxtvillkor:

3. ( cuspidalt tillstånd ) För alla $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ funktionen $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))\to 0$ som ${\text{im} }(z)\till \infty$

Som sektioner av en linjebunt

Modulära former kan också tolkas som sektioner av en specifik linjebunt på modulära varianter . För $\Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ en modulär form av nivå $\Gamma$ och vikt ${ \displaystyle k}$ kan definieras som ett element av

$f\in H^{0}(X_{\Gamma },\omega ^{\otimes k})=M_{k}( \Gamma )$

där $\omega$ är en kanonisk linjebunt på den modulära kurvan

$X_{\Gamma }=\Gamma \backslash ({\mathcal {H}}\cup \mathbb {P} ^{1}(\mathbb { Q} ))$

Dimensionerna för dessa utrymmen av modulära former kan beräknas med hjälp av Riemann-Roch-satsen . De klassiska modulformerna för $\Gamma ={\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ är sektioner av en linjebunt på modulstapeln av elliptiska kurvor .

Modulära former för SL(2, Z)

Standard Definition

En modulär form av vikt k för modulgruppen

${\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix }a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbf {Z} ,\ ad-bc=1\right\}$

är en komplext värderad funktion   f   på det övre halvplanet H = { z ∈ C , Im ( z ) > 0}, som uppfyller följande tre villkor:

1.   f   är en holomorf funktion på H .
2. För valfri z ∈ H och valfri matris i SL(2, Z ) enligt ovan har vi:

   $f\left ({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$

3.   f   måste vara avgränsad som z → i ∞ .

Anmärkningar:

• Vikten k är typiskt ett positivt heltal.
• För udda k kan endast nollfunktionen uppfylla det andra villkoret.
• Det tredje villkoret formuleras också genom att säga att   f   är "holomorphic at the cusp", en terminologi som förklaras nedan. Explicit betyder villkoret att det finns några $M,D>0$ så att ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)>M\implies |f(z)|<D} , vilket$ betyder att $f$ är avgränsad ovanför någon horisontell linje.
• Det andra villkoret för

$S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1 \\0&1\end{pmatrix}}$

läser

$f\left(-{\frac {1} {z}}\right)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)$

respektive. Eftersom S och T genererar den modulära gruppen SL(2, Z ) är det andra villkoret ovan ekvivalent med dessa två ekvationer.

• Eftersom   f ( z + 1 ) = f ( z ) är modulära former periodiska funktioner , med period 1 , och har alltså en Fourierserie .

Definition i termer av gitter eller elliptiska kurvor

En modulär form kan ekvivalent definieras som en funktion F från mängden gitter i C till mängden komplexa tal som uppfyller vissa villkor:

1. Om vi ​​betraktar gittret Λ = Z α + Z z genererat av en konstant α och en variabel z , så är F (Λ) en analytisk funktion av z .
2. Om α är ett komplext tal som inte är noll och α Λ är det gitter som erhålls genom att multiplicera varje element i Λ med α , då F ( α Λ) = α ^{− k} F (Λ) där k är en konstant (typiskt ett positivt heltal) kallas formens vikt .
3. Absolutvärdet av F (Λ) förblir begränsat ovanför så länge som absolutvärdet för det minsta icke-nollelementet i Λ är begränsat från 0.

Nyckelidén för att bevisa ekvivalensen mellan de två definitionerna är att en sådan funktion F bestäms, på grund av det andra villkoret, av dess värden på gitter av formen Z + Z τ , där τ ∈ H .

Exempel

I. Eisenstein-serien

De enklaste exemplen ur denna synvinkel är Eisenstein-serien . För varje jämnt heltal k > 2 definierar vi G _k (Λ) som summan av λ ^{− k} över alla vektorer som inte är noll, λ av Λ :

$G_{k}(\Lambda )=\summa _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-k}.$

Då är G _k en modulär form av vikt k . För Λ = Z + Z τ har vi

$G_{k}(\Lambda )=G_{k} (\tau )=\summa _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k }}},$

och

${\begin{aligned}G_{k}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&=\tau ^{k}G_{k}(\tau ),\\ G_{k}(\tau +1)&=G_{k}(\tau ).\end{aligned}}$

Villkoret k > 2 behövs för konvergens ; för udda k finns en annullering mellan λ ^{− k} och (− λ ) ^{− k} , så att sådana serier är identiskt noll.

II. Theta-funktioner för även unimodulära gitter

Ett jämnt unimodulärt gitter L i Rn ^som är ett gitter som genereras av n vektorer som bildar kolumnerna i en matris med determinant 1 och uppfyller villkoret att kvadraten på längden av varje vektor i L är ett jämnt heltal. Den så kallade theta-funktionen

$\vartheta _{L}(z)=\summa _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \ lambda \Vert ^{2}z}$

konvergerar när Im(z) > 0, och som en konsekvens av Poissons summeringsformel kan den visas vara en modulär form av vikt n /2 . Det är inte så lätt att konstruera ens unimodulära gitter, men här är ett sätt: Låt n vara ett heltal som är delbart med 8 och betrakta alla vektorer v i R ⁿ så att 2 v har heltalskoordinater, antingen alla jämna eller alla udda, och så att summan av koordinaterna för v är ett jämnt heltal. Vi kallar detta galler L _n . När n = 8 är detta det gitter som genereras av rötterna i rotsystemet som kallas E ₈ . Eftersom det bara finns en modulär form av vikt 8 upp till skalär multiplikation,

$\vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z ),$

även om gittren L ₈ × L ₈ och L ₁₆ inte är lika. John Milnor observerade att den 16-dimensionella tori som erhålls genom att dividera R ¹⁶ med dessa två gitter följaktligen är exempel på kompakta Riemannska grenrör som är isospektrala men inte isometriska (se Att höra formen på en trumma .)

III. Den modulära diskriminanten

Ytterligare information: Weierstrass elliptiska funktioner § Modulär diskriminant

Funktionen Dedekind eta definieras som

$\eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\qquad q=e^{2\pi iz }.$

där q är kvadraten på nomen . Då är den modulära diskriminanten Δ( z ) = (2π) ¹² η ( z ) ²⁴ en modulär form av vikt 12. Närvaron av 24 är relaterad till det faktum att Leech-gittret har 24 dimensioner. En berömd gissning av Ramanujan hävdade att när Δ( z ) expanderas som en potensserie i q, har koefficienten för q ^p för varje primtal p ett absolut värde ≤ 2 p ^11/2 . Detta bekräftades av arbeten av Eichler , Shimura , Kuga , Ihara och Pierre Deligne som ett resultat av Delignes bevis på Weil-förmodan , som visade sig antyda Ramanujans gissningar.

De andra och tredje exemplen ger en antydan om sambandet mellan modulära former och klassiska frågor inom talteori, såsom representation av heltal med kvadratiska former och partitionsfunktionen . Den avgörande konceptuella kopplingen mellan modulära former och talteori tillhandahålls av teorin om Hecke-operatorer , som också ger kopplingen mellan teorin om modulära former och representationsteori .

Modulära funktioner

När vikten k är noll kan det visas med Liouvilles sats att de enda modulära formerna är konstanta funktioner. Att lätta på kravet på att f ska vara holomorft leder emellertid till begreppet modulära funktioner . En funktion f : H → C kallas modulär om den uppfyller följande egenskaper:

1. f är meromorf i det öppna övre halvplanet H .
2. För varje heltalsmatris ( $\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ i den modulära gruppen Γ , $f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)$ .
3. Som påpekats ovan innebär det andra villkoret att f är periodiskt och därför har en Fourier-serie . Det tredje villkoret är att denna serie är av formen

$f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}e^{2i\pi nz}.$

Det skrivs ofta i termer av $q=\exp(2\pi iz)$ (kvadraten på nomen ), som:

$f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}q^{n}.$

Detta kallas också för q -expansionen av f ( q-expansionsprincipen) . Koefficienterna $a_{n}$ är kända som Fourierkoefficienterna för f , och talet m kallas ordningen för polen för f vid i∞. Detta tillstånd kallas "meromorft vid cusp", vilket betyder att endast ändligt många negativa- n- koefficienter är icke-noll, så q -expansionen begränsas nedan, vilket garanterar att den är meromorf vid q = 0.

Ibland används en svagare definition av modulära funktioner – under den alternativa definitionen är det tillräckligt att f är meromorft i det öppna övre halvplanet och att f är invariant med avseende på en undergrupp av den modulära gruppen av finita index. Detta följs inte i den här artikeln.

Ett annat sätt att formulera definitionen av modulära funktioner är att använda elliptiska kurvor : varje gitter Λ bestämmer en elliptisk kurva C /Λ över C ; två gitter bestämmer isomorfa elliptiska kurvor om och endast om den ena erhålls från den andra genom att multiplicera med något icke-noll komplext tal α . Således kan en modulär funktion också betraktas som en meromorf funktion på uppsättningen av isomorfismklasser av elliptiska kurvor. Till exempel j-invarianten j ( z ) för en elliptisk kurva, betraktad som en funktion på uppsättningen av alla elliptiska kurvor, en modulär funktion. Mer begreppsmässigt kan modulära funktioner ses som funktioner på modulutrymmet för isomorfismklasser av komplexa elliptiska kurvor.

En modulär form f som försvinner vid q = 0 (motsvarande ₀ a = 0 , även omskrivet som z = i ∞ ) kallas en cuspform ( Spitzenform på tyska ). Det minsta n så att a _n ≠ 0 är ordningen av nollpunkten för f vid i ∞ .

En modulär enhet är en modulär funktion vars poler och nollor är begränsade till cusps.

Modulära former för mer allmänna grupper

Den funktionella ekvationen, dvs. beteendet för f med avseende på $z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$ kan lättas upp genom att kräva det endast för matriser i mindre grupper.

Riemannytan G \H ^∗

Låt G vara en undergrupp av SL(2, Z ) som har ändligt index . En sådan grupp G verkar på H på samma sätt som SL(2, Z ) . Kvotienten topologiska rymden G \ H kan visas vara ett Hausdorff-rum . Vanligtvis är det inte kompakt, men kan kompakteras genom att lägga till ett ändligt antal punkter som kallas cusps . Dessa är punkter vid gränsen för H , dvs i Q ∪{∞}, så att det finns ett paraboliskt element av G (en matris med spår ±2) som fixerar punkten. Detta ger ett kompakt topologiskt utrymme G \ H ^∗ . Dessutom kan den förses med strukturen av en Riemann-yta , vilket gör att man kan tala om holo- och meromorfa funktioner.

Viktiga exempel är, för varje positivt heltal N , någon av kongruensundergrupperna

${\begin{aligned}\Gamma _{0}(N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}( 2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}\\\Gamma (N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{ pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv b\equiv 0,a\equiv d\equiv 1{\pmod {N}}\right\}.\ end{aligned}}$

₀₀₀ För G = Γ ( N ) eller Γ( N ) betecknas mellanrummen G \ H och G \ H ^∗ Y ( N ) och X ( N ) respektive Y ( N ), X ( N ).

Geometrin för G \ H ^∗ kan förstås genom att studera fundamentala domäner för G , dvs delmängder D ⊂ H så att D skär varje bana av G -verkan på H exakt en gång och så att stängningen av D möter alla banor. Till exempel kan släktet G \ H ^∗ beräknas .

Definition

₀ En modulär form för G av vikten k är en funktion på H som uppfyller ovanstående funktionella ekvation för alla matriser i G , det vill säga holomorf på H och vid alla spetsar av G. Återigen, modulära former som försvinner vid alla cusps kallas cusp-former för G . C - vektorutrymmena för Sk _modulära ( G ) och cusp-former med vikten Mk ₍ G ) k betecknas respektive . På liknande sätt kallas en meromorf funktion på G \ H ^{∗ en modulär funktion för} G . I fallet G = Γ ( N ) kallas de också för modulära/kuspformer och funktioner på nivå N . För G = Γ(1) = SL(2, Z ) ger detta tillbaka de tidigare nämnda definitionerna.

Konsekvenser

Teorin om Riemann-ytor kan appliceras på G \ H ^∗ för att få ytterligare information om modulära former och funktioner. Till exempel är utrymmena M _k ( G ) och Sk _. ( G ) ändliga dimensionella, och deras dimensioner kan beräknas tack vare Riemann–Roch-satsen i termer av geometrin för G - verkan på H Till exempel,

$\dim _{\mathbf {C} }M_{ k}\left({\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )\right)={\begin{cases}\left\lfloor k/12\right\rfloor &k\equiv 2{\pmod { 12}}\\\left\lfloor k/12\right\rfloor +1&{\text{annars}}\end{cases}}$

där $\lfloor \cdot \rfloor$ anger golvfunktionen och $k$ är jämnt.

De modulära funktionerna utgör funktionsfältet för Riemannytan och bildar därmed ett fält av transcendensgrad ett (över C ). Om en modulär funktion f inte är identiskt 0, så kan det visas att antalet nollor av f är lika med antalet poler av f i stängningen av grundområdet R _Γ . Det kan visas att fältet för modulär funktion av nivå N ( N ≥ 1) genereras av funktionerna j ( z ) och j ( Nz ).

Linjebuntar

Situationen kan lönsamt jämföras med den som uppstår i sökandet efter funktioner på det projektiva rummet P( V ): i den inställningen skulle man helst vilja ha funktioner F på vektorrummet V som är polynom i koordinaterna för v ≠ 0 i V och uppfyller ekvationen F ( cv ) = F ( v ) för alla icke-noll c . Tyvärr är de enda sådana funktionerna konstanter. Om vi ​​tillåter nämnare (rationella funktioner istället för polynom) kan vi låta F vara förhållandet mellan två homogena polynom av samma grad. Alternativt kan vi hålla oss till polynom och lossa beroendet av c , genom att låta F ( cv ) = c ^k F ( v ). Lösningarna är då de homogena polynomen av grad k . Å ena sidan bildar dessa ett ändligt dimensionellt vektorrum för varje k , och å andra sidan, om vi låter k variera, kan vi hitta täljare och nämnare för att konstruera alla de rationella funktioner som verkligen är funktioner på det underliggande projektiva rummet P ( V ).

Man kan fråga sig, eftersom de homogena polynomen egentligen inte är funktioner på P( V ), vad är de, geometriskt sett? Det algebrogeometriska svaret är att de är sektioner av en kärve (man skulle också kunna säga en linjebunt i det här fallet). Situationen med modulära former är exakt analog.

Modulära former kan också lönsamt närma sig från denna geometriska riktning, som sektioner av linjebuntar på modulutrymmet för elliptiska kurvor.

Ringar av modulära former

Huvudartikel: Ring av modulära former

För en undergrupp Γ av SL(2, Z ) är ringen av modulära former den graderade ringen som genereras av de modulära formerna av Γ . Med andra ord, om M _k (Γ) är ringen av modulära former med vikt k , så är ringen av modulära former av Γ den graderade ringen $M( \Gamma )=\bigoplus _{k>0}M_{k}(\Gamma )$ .

Ringar av modulära former av kongruensundergrupper av SL(2, Z ) genereras ändligt på grund av ett resultat av Pierre Deligne och Michael Rapoport . Sådana ringar av modulära former genereras i vikt som högst 6 och relationerna genereras i vikt högst 12 när kongruensundergruppen har modulära former med udda vikt som inte är noll, och motsvarande gränser är 5 och 10 när det inte finns några udda viktsmodulformer som inte är noll .

Mer generellt finns det formler för gränser för vikten av generatorer av ringen av modulära former och dess relationer för godtyckliga fuchsiska grupper .

Typer

Hela formulär

Om f är holomorft vid spetsen (har ingen pol vid q = 0), kallas det en hel modulär form .

Om f är meromorft men inte holomorft vid spetsen, kallas det en icke-hel modulär form . Till exempel j-invarianten en icke-hel modulär form av vikt 0, och har en enkel pol vid i∞.

Nya formulär

Huvudartikel: Atkin–Lehner teori

Nya former är ett delrum av modulära former med en fast vikt $N$ som inte kan konstrueras från modulära former med lägre vikter $M$ som delar $N$ . De andra formerna kallas gamla former . Dessa gamla former kan konstrueras med hjälp av följande observationer: om $M\mid N$ så $\Gamma _{1}(N)\subseteq \ Gamma _{1}(M)$ ger en omvänd inkludering av modulära former $M_{k}(\Gamma _{1}( M))\subseteq M_{k}(\Gamma _{1}(N))$ .

Cusp former

Huvudartikel: Cusp form

En cusp-form är en modulär form med en konstant koefficient på noll i dess Fourier-serie. Det kallas en cuspform eftersom formen försvinner vid alla cusps.

Generaliseringar

Det finns ett antal andra användningsområden för termen "modulär funktion", förutom denna klassiska; till exempel, i teorin om Haar-mått , är det en funktion Δ( g ) som bestäms av konjugationsverkan.

Maass-former är realanalytiska egenfunktioner av Laplacian men behöver inte vara holomorfa . De holomorfa delarna av vissa svaga Maass-vågformer visar sig i huvudsak vara Ramanujans sken-theta-funktioner . Grupper som inte är undergrupper till SL(2, Z ) kan övervägas.

Hilbert modulära former är funktioner i n variabler, var och en ett komplext tal i det övre halvplanet, som uppfyller en modulär relation för 2×2 matriser med poster i ett helt reellt talfält .

Siegel modulära former associeras med större symplektiska grupper på samma sätt som klassiska modulära former associeras med SL(2, R ) ; med andra ord, de är besläktade med abelska varieteter i samma mening som klassiska modulära former (som ibland kallas elliptiska modulära former för att betona poängen) är relaterade till elliptiska kurvor.

Jacobi-former är en blandning av modulära former och elliptiska funktioner. Exempel på sådana funktioner är mycket klassiska - Jacobi theta-funktionerna och Fourier-koefficienterna för Siegel modulära former av släkte två - men det är en relativt ny observation att Jacobi-formerna har en aritmetisk teori mycket analog med den vanliga teorin för modulära former.

Automorfa former utökar begreppet modulära former till allmänna Lie-grupper .

Modulära integraler av vikt k är meromorfa funktioner på det övre halva planet av måttlig tillväxt i oändligheten som misslyckas med att vara modulära av vikten k av en rationell funktion.

Automorfa faktorer är funktioner av formen ${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}} som$ är används för att generalisera modularitetsrelationen som definierar modulära former, så att

$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).$

Funktionen $\varepsilon (a,b,c,d)$ kallas nebentypus för den modulära formen. Funktioner som Dedekind eta-funktionen , en modulär form med vikt 1/2, kan omfattas av teorin genom att tillåta automorfa faktorer.

Historia

Teorin om modulära former utvecklades i fyra perioder: först i samband med teorin om elliptiska funktioner , under den första delen av artonhundratalet; sedan av Felix Klein och andra mot slutet av artonhundratalet när det automorfa formbegreppet blev förstått (för en variabel); sedan av Erich Hecke från ca 1925; och sedan på 1960-talet, eftersom behoven av talteorin och formuleringen av modularitetsteoremet i synnerhet gjorde det klart att modulära former är djupt inblandade.

Termen "modulär form", som en systematisk beskrivning, brukar tillskrivas Hecke.

Anteckningar

•   Apostol, Tom M. (1990), Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory , New York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-97127-0
•   Diamond, Fred; Shurman, Jerry Michael (2005), A First Course in Modular Forms , Graduate Texts in Mathematics, vol. 228, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0387232294 Leder fram till en översikt över beviset för modularitetsteoremet .
•   Gelbart, Stephen S. (1975), Automorphic Forms on Adèle Groups , Annals of Mathematics Studies, vol. 83, Princeton, NJ: Princeton University Press , MR 0379375 . Ger en introduktion till modulära former ur representationsteoretisk synvinkel .
• Hecke, Erich (1970), Mathematische Werke , Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht
•   Rankin, Robert A. (1977), Modulära former och funktioner , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-21212-X
• Ribet, K.; Stein, W., föreläsningar om modulära former och Hecke-operatörer ( PDF)
• Serre, Jean-Pierre (1973), A Course in Arithmetic , Graduate Texts in Mathematics, vol. 7, New York: Springer-Verlag . Kapitel VII ger en grundläggande introduktion till teorin om modulära former .
• Shimura, Goro (1971), Introduktion till den aritmetiska teorin om automorfa funktioner , Princeton, NJ: Princeton University Press . Ger en mer avancerad behandling.
• Skoruppa, NP; Zagier, D. (1988), "Jacobi former and a certain space of modular forms", Inventiones Mathematicae , Springer

Se även

• Wiles bevis på Fermats sista sats