Weierstrass punkt

I matematik är en Weierstrasspunkt $P$ på en icke-singular algebraisk kurva $C$ definierad över de komplexa talen en punkt så att det finns fler funktioner på ${\displaystyle C} ,$ med deras poler begränsade till Endast $P$ , än vad som skulle förutsägas av Riemann-Roch-satsen .

Konceptet är uppkallat efter Karl Weierstrass .

Tänk på vektorutrymmena

$L(0),L(P),L(2P),L(3P),\dots$

där $L(kP)$ är utrymmet för meromorfa funktioner på $C$ vars ordning vid $P$ är minst $-k$ och med ingen andra stolpar. Vi vet tre saker: dimensionen är minst 1, på grund av de konstanta funktionerna på $C$ ; den är icke-minskande; och från Riemann–Roch-satsen ökar dimensionen så småningom med exakt 1 när vi rör oss till höger. Faktum är att om $g$ är släktet av $C$ , är dimensionen från $k$ -:e termen känd för att vara

$l(kP)=k-g+1,$ för $k\geq 2g-1.$

Vår kunskap om sekvensen är därför

$1,?,?,\dots ,?,g,g+1,g+2,\dots .$

Vad vet vi om? poster är att de kan öka med högst 1 varje gång (detta är ett enkelt argument: $L(nP)/L((n-1)P )$ har dimensionen som mest 1 eftersom om $f$ och $g$ har samma polordning vid $P$ , så kommer $f+cg$ att ha en pol av lägre ordning om konstanten $c$ väljs för att ta bort den inledande termen). Det finns $2g-2$ frågetecken här, så fallen $g=0$ eller $1$ behöver ingen ytterligare diskussion och ger inte upphov till Weierstrass-poäng.

Antag därför $g\geq 2$ . Det kommer att finnas $g-1$ steg upp och $g-1$ steg där det inte finns någon ökning. En icke-Weierstrass-punkt av $C$ inträffar när stegen alla är så långt till höger som möjligt: ​​dvs sekvensen ser ut som

$1,1,\dots ,1,2,3,4,\dots ,g-1,g,g+1,\dots .$

Alla andra fall är en Weierstrass-poäng . Ett Weierstrass-gap för $P$ är ett värde på $k$ så att ingen funktion på $C$ har exakt en $k$ -vikt pol vid $P$ endast. Spaltsekvensen är

$1,2,\dots ,g$

för en icke-Weierstrass-poäng. För en Weierstrass-punkt innehåller den minst ett högre nummer. ( Weierstrass gapsats eller Lückensatz är påståendet att det måste finnas $g$ luckor.)

För hyperelliptiska kurvor , till exempel, kan vi ha en funktion $F$ med en dubbelpol endast vid ${\displaystyle P} .$ Dess krafter har poler av ordningen $4,6$ och så vidare. Därför har en sådan $P$ gapsekvensen

$1,3,5,\dots ,2g-1.$

I allmänhet om gapsekvensen är

$a,b,c,\dots$

vikten av Weierstrass-punkten är

$(a-1)+(b-2)+(c-3)+\dots .$

Detta introduceras på grund av en räknesats: på en Riemannyta är summan av vikterna av Weierstrasspunkterna $g(g^{2}-1).$

Till exempel har en hyperelliptisk Weierstrass-punkt, som ovan, vikten $g(g-1)/2.$ Därför finns det (högst) ${ \displaystyle 2(g+1)}$ av dem. De $2g+2$ förgreningspunkterna för den förgrenade täckningen av grad två från en hyperelliptisk kurva till den projektiva linjen är alla hyperelliptiska Weierstrass-punkter och dessa tar ut alla Weierstrass-punkterna på en hyperelliptisk kurva av släktet ${\ displaystil g}$ .

Ytterligare information om luckorna kommer från att tillämpa Cliffords teorem . Multiplikation av funktioner ger icke-gap en numerisk semigruppstruktur , och en gammal fråga av Adolf Hurwitz bad om en karakterisering av de semigrupper som förekom. Ett nytt nödvändigt tillstånd hittades av R.-O. Buchweitz 1980 och han gav ett exempel på en underhalvgrupp av de icke-negativa heltalen med 16 luckor som inte förekommer som halvgruppen av icke-gap vid en punkt på en kurva av släktet 16 (se ). En definition av Weierstrass-punkt för en icke-singular kurva över ett fält med positiv karakteristik gavs av FK Schmidt 1939.

Positiv egenskap

Mer allmänt, för en icke-singular algebraisk kurva $C$ definierad över ett algebraiskt stängt fält $k$ med karakteristiken $p\geq 0$ , är gapstalen för alla utom ändligt många punkter en $\epsilon _{1},...,\epsilon _{g}.$ sekvens Dessa punkter kallas icke-Weierstrass-punkter . Alla punkter i $C$ vars gapsekvens är olika kallas Weierstrass -punkter.

Om $\epsilon _{1},...,\epsilon _{g}=1,...,g$ då kallas kurvan en klassisk kurva . Annars kallas det icke-klassisk . I karakteristiken noll är alla kurvor klassiska.

Hermitiska kurvor är ett exempel på icke-klassiska kurvor. Dessa är projektiva kurvor definierade över ändligt fält $GF(q^{2})$ med ekvation $q}+y=x^ {q+1}}$ , där $q$ är en primpotens.

Anteckningar

•   P. Griffiths ; J. Harris (1994). Principer för algebraisk geometri . Wiley Classics Library. Wiley Interscience. s. 273–277. ISBN 0-471-05059-8 .
•   Farkas; Kra (1980). Riemann Ytor . Examentexter i matematik. Springer-Verlag. s. 76 –86. ISBN 0-387-90465-4 .
•   Eisenbud, David; Harris, Joe (1987). "Existens, nedbrytning och gränser för vissa Weierstrass-punkter". Uppfinna. Matematik . 87 (3): 495–515. doi : 10.1007/bf01389240 . S2CID 122385166 .
•   Garcia, Arnaldo; Viana, Paulo (1986). "Weierstrass punkter på vissa icke-klassiska kurvor". Archiv der Mathematik . 46 (4): 315–322. doi : 10.1007/BF01200462 . S2CID 120983683 .
• Voskresenskii, VE (2001) [1994], "Weierstrass point" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press