Supersingular elliptisk kurva

Inom algebraisk geometri bildar supersingulära elliptiska kurvor en viss klass av elliptiska kurvor över ett fält med karakteristisk p > 0 med ovanligt stora endomorfismringar . Elliptiska kurvor över sådana fält som inte är supersingular kallas vanliga och dessa två klasser av elliptiska kurvor beter sig fundamentalt olika i många aspekter. Hasse (1936) upptäckte supersingulära elliptiska kurvor under sitt arbete med Riemann-hypotesen för elliptiska kurvor genom att observera att positiva karakteristiska elliptiska kurvor kunde ha endomorfismringar av ovanligt stora rang 4, och Deuring (1941) utvecklade sin grundläggande teori.

Termen "supersingular" har ingenting att göra med singular punkter av kurvor , och alla supersingular elliptiska kurvor är icke-singular. Det kommer från frasen " singular värden för j-invarianten" som används för värden för j-invarianten för vilka en komplex elliptisk kurva har komplex multiplikation . De komplexa elliptiska kurvorna med komplex multiplikation är de för vilka endomorfismringen har maximalt möjliga rang 2. I positiv karakteristik är det möjligt för endomorfismringen att vara ännu större: den kan vara en ordning i en quaternionalgebra av dimension 4, i vilket fall den elliptiska kurvan är supersingular. Primtalen p så att varje supersingulär elliptisk kurva i karakteristiken p kan definieras över det primtal delfältet $F_{p}$ snarare än $F_{p^{m}}$ kallas supersingulära primtal .

Definition

Det finns många olika men likvärdiga sätt att definiera supersingulära elliptiska kurvor som har använts. Några av sätten att definiera dem ges nedan. Låt $K$ vara ett fält med algebraisk stängning ${\overline {K}}$ och E en elliptisk kurva över K .

• De ${\overline {K}}$ -värderade punkterna $E({\overline {K}})$ har strukturen av en abelsk grupp . För varje n har vi en multiplikationskarta $[n]:E\to E$ . Dess kärna betecknas med $E[n]$ . Antag nu att egenskapen för K är p > 0. Då kan man visa att antingen

${\displaystyle E[p^{r}]({\overline {K}})\cong {\begin{cases}0&{\mbox{or}}\\\mathbb {Z} /p^{r}\mathbb {Z} \end{cases}}} för$

r = 1 , 2, 3, ... I det första fallet kallas E supersingular . Annars kallas det ordinärt . Med andra ord är en elliptisk kurva supersingular om och endast om gruppen av geometriska ordningspunkter p är trivial.

• Supersingulära elliptiska kurvor har många endomorfismer över den algebraiska stängningen ${\overline {K}}$ i den meningen att en elliptisk kurva är supersingular om och endast om dess endomorfismalgebra (över ${\overline { K}}$ ) är en ordning i en kvaternionalgebra. Sålunda har deras endomorfismalgebra (över ${\overline {K}}$ ) rang 4, medan endomorfismgruppen för varannan elliptisk kurva endast har rang 1 eller 2. Endomorfismen i en supersingular elliptisk kurva kan har rang mindre än 4, och det kan vara nödvändigt att ta en ändlig förlängning av basfältet K för att göra rangordningen för endomorfismringen till 4. Speciellt är endomorfisringen i en elliptisk kurva över ett fält av prime ordning aldrig av rangordning 4, även om den elliptiska kurvan är supersingular.
• Låt G vara den formella gruppen associerad med E . Eftersom K har positiv egenskap kan vi definiera dess höjd ht( G ), som är 2 om och endast om E är supersingular och annars är 1.
• Vi har en Frobenius-morfism $F:E\to E$ , som inducerar en karta i kohomologi

$F^{*}:H^{1}(E,{\mathcal {O}}_{E})\ till H^{1}(E,{\mathcal {O}}_{E})$ .

Den elliptiska kurvan E är supersingular om och endast om $F^{*}$ är lika med 0.

• Vi har en Verschiebung-operator ${\displaystyle V:E\to E} ,$ som inducerar en karta på de globala 1-formerna

$V^{*}:H^{0}(E,\Omega _{E}^{ 1})\till H^{0}(E,\Omega _{E}^{1})$ .

Den elliptiska kurvan E är supersingular om och endast om $V^{*}$ är lika med 0.

• En elliptisk kurva är supersingular om och endast om dess Hasse-invariant är 0.
• En elliptisk kurva är supersingular om och endast om gruppschemat för ordningspunkter p är sammankopplat.
• En elliptisk kurva är supersingular om och endast om dualen på Frobenius-kartan är helt oskiljaktig.
• En elliptisk kurva är supersingular om och endast om kartan "multiplikation med p " är helt oskiljbar och kurvans j -invariant ligger i en kvadratisk förlängning av primfältet K , ett ändligt fält av ordningen p ² .
• Antag att E är i Legendre-form , definierad av ekvationen ${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )} ,$ och p är udda. Sedan för $\lambda \neq 0$ är E supersingular om och endast om summan

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose {i}}^{2}\lambda ^{i}} försvinner,$

där $n=(p-1)/2$ . Med hjälp av denna formel kan man visa att det bara finns ändligt många supersingulära elliptiska kurvor över K (upp till isomorfism).

• Antag att E ges som en kubisk kurva i det projektiva planet som ges av ett homogent kubiskt polynom f ( x , y , z ). Då E supersingular om och endast om koefficienten för ( xyz ) ^{p –1} i f ^{p –1} är noll.
• Om fältet K är ett ändligt fält av ordningen q , så är en elliptisk kurva över K supersingular om och endast om spåret av q -potensen Frobenius endomorfism är kongruent med noll modulo p .

När q = p är ett primtal större än 3 är detta ekvivalent med att spåret av Frobenius är lika med noll (med Hasse-bunden ) ; detta gäller inte för p =2 eller 3.

Exempel

• Om K är ett fält med karakteristik 2, definieras varje kurva av en ekvation av formen

$y^{2}+a_{3}y=x ^{3}+a_{4}x+a_{6}$

med en ₃ som inte är noll är en supersingular elliptisk kurva, och omvänt är varje supersingulär kurva isomorf till en av denna form (se Washington2003, s. 122).

• Över fältet med 2 element är varje supersingulär elliptisk kurva isomorf till exakt en av de supersingulära elliptiska kurvorna

$y^{2}+y=x^{3}+x+ 1$

$y^{2}+y=x^{3}+1$

$y^{2}+y= x^{3}+x$

med 1, 3 och 5 poäng. Detta ger exempel på supersingulära elliptiska kurvor över ett primfält med olika antal punkter.

• Över ett algebraiskt slutet fält av egenskap 2 finns det (upp till isomorfism) exakt en elliptisk supersingularkurva, given av

$y^{2}+y=x^{3}$ ,

med j -invariant 0. Dess ring av endomorfismer är ringen av Hurwitz quaternions , genererad av de två automorfismerna $x\rightarrow x\omega$ och ${\ displaystyle y\rightarrow y+x+\omega ,x\rightarrow x+1}$ där $\omega ^{2}+\omega +1=0$ är en primitiv kubrot av enhet. Dess grupp av automorfismer är gruppen av enheter av Hurwitz quaternions, som har ordning 24, innehåller en normal undergrupp av ordning 8 isomorf till quaternion gruppen och är den binära tetraedriska gruppen.

• Om K är ett fält med karakteristik 3, definieras varje kurva med en ekvation av formen

$y^{2}=x^{3}+a_{4}x+a_{6}$

med en ₄ som inte är noll är en supersingular elliptisk kurva, och omvänt är varje supersingulär kurva isomorf till en av denna form (se Washington2003, s. 122).

• Över fältet med 3 element är varje supersingulär elliptisk kurva isomorf till exakt en av de supersingulära elliptiska kurvorna

$y^{2}=x^{3}-x$

$y^{2}=x^{3}-x+1$

$y^{2}=x^{3}-x+2$

$y^{2}=x^{3}+x$

• Över ett algebraiskt slutet fält med egenskap 3 finns det (upp till isomorfism) exakt en elliptisk supersingularkurva, given av

$y^{2}=x^{3}-x$ ,

med j -invariant 0. Dess ring av endomorfismer är ringen av kvaternioner av formen a + bj med a och b Eisenstein-heltal . , genererad av de två automorfismerna $x\rightarrow x+1$ och $y\rightarrow iy,x\rightarrow -x$ där i är en primitiv enhets fjärde rot. Dess grupp av automorfismer är gruppen av enheter av dessa kvaternioner, som har ordning 12 och innehåller en normal undergrupp av ordning 3 med kvoten en cyklisk grupp av ordning 4.

• För $\mathbb {F} _{p}$ med p>3 den elliptiska kurvan definierad av $y^{2}=x^{3}+1$ med j -invariant 0 är supersingular om och endast om $p\equiv 2{\text{(mod 3)}}$ och den elliptiska kurvan definierad av ${\ displaystyle y^{2}=x^{3}+x}$ med j -invariant 1728 är supersingular om och endast om $p\equiv 3{\text{(mod 4)}}$ (se Washington 2003, 4.35).
• Den elliptiska kurvan som ges av $y^{2}=x(x-1)(x+2)$ är ickesingular över $\mathbb {F} _{p}$ för $p\neq 2,3$ . Det är supersingular för p = 23 och ordinärt för varannan $p\leq 73$ (se Hartshorne1977, 4.23.6).
• ₀ Modulkurvan X (11) har j -invariant −2 ¹² 11 ⁻⁵ 31 ^{3 och} är isomorf till kurvan y ² + y = x ³ − x ² − 10 x − 20. Primtal p för vilka den är supersingular är de för vilka koefficienten för q ^p i η(τ) ² η(11τ) ² försvinner mod p , och ges av listan

2, 19, 29, 199, 569, 809, 1289, 1439, 2539, 3319, 3559, 3919, 5519, 9419, 9539, 9929,... OEIS : A0069 har en komplex

• kurva uppsättning primtal för vilka den är supersingular har densiteten 1/2. Om den inte har komplex multiplikation så Serre att den uppsättning primtal för vilka den är supersingular har densiteten noll. Elkies (1987) visade att varje elliptisk kurva definierad över rationalerna är supersingular för ett oändligt antal primtal.

Klassificering

För varje positiv egenskap finns det bara ett ändligt antal möjliga j -invarianter av supersingulära elliptiska kurvor. Över ett algebraiskt slutet fält K bestäms en elliptisk kurva av dess j -invariant, så det finns bara ett ändligt antal supersingulära elliptiska kurvor. Om varje sådan kurva vägs med 1/|Aut( E )| då är den totala vikten av supersingularkurvorna ( p –1)/24. Elliptiska kurvor har automorfismgrupper av ordning 2 om inte deras j -invariant är 0 eller 1728, så de supersingulära elliptiska kurvorna klassificeras enligt följande. Det finns exakt ⌊ p /12⌋ supersingulära elliptiska kurvor med automorfismgrupper av ordning 2. Om p ≡3 mod 4 dessutom finns en supersingulär elliptisk kurva (med j -invariant 1728) vars automorfismgrupp är cyklisk eller ordning 4 om inte p = 3 i vilket fall den har ordning 12, och om p ≡2 mod 3 finns en supersingular elliptisk kurva (med j -invariant 0) vars automorfismgrupp är cyklisk av ordningen 6 om inte p =2 i vilket fall den har ordning 24.

Birch & Kuyk (1975) ger en tabell över alla j -invarianter av supersingulära kurvor för primtal upp till 307. För de första primtalstalen ges de supersingulära elliptiska kurvorna enligt följande. Antalet supersingularvärden för j andra än 0 eller 1728 är heltalsdelen av (p−1)/12.

främsta	supersingular j invarianter
2	0
3	1728
5	0
7	1728
11	0, 1728
13	5
17	0,8
19	7, 1728
23	0,19, 1728
29	0,2, 25
31	2, 4, 1728
37	8, 3±√15

Se även

• Supersingular primtal (algebraisk talteori)
• Supersingular primtal (månskensteori)
• Supersingular sort

•     Björk, BJ ; Kuyk, W., red. (1975), "Tabell 6", Modulära funktioner för en variabel. IV , Lecture Notes in Mathematics, vol. 476, Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 142–144, doi : 10.1007/BFb0097591 , ISBN 978-3-540-07392-5 , MR 0376533 , Zbl 403145 .
•   Deuring, Max (1941), "Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper", Abh. Matematik. Sem. Univ. Hamburg , 14 : 197–272, doi : 10.1007/BF02940746 , MR 0005125
•     Elkies, Noam D. (1987), "Existensen av oändligt många supersingulära primtal för varje elliptisk kurva över Q", Inventiones Mathematicae , 89 ( 3): 561–567, doi : 10.1007 /BF01388985 , ISSN 01090-3 , Zbl 0631.14024
•   Robin Hartshorne (1977), Algebraic Geometry , Springer. ISBN 1-4419-2807-3
• Hasse (1936), "Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper I. Die Struktur der Gruppe der Divisorenklassen endlicher Ordnung. II. Automorphismen und Meromorphismen. Das Additionstheorem. III. Die Struktur des Meromorphismenrings. Die Riemannsche Vermutung." J. Reine Angew. Matematik. , 175 : 55–62, 69–88, 193–208
•   Joseph H. Silverman (2009), The Arithmetic of Elliptic Curves , Springer. ISBN 0-387-09493-8
•   Lawrence C. Washington (2003), Elliptic Curves , Chapman&Hall. ISBN 1-58488-365-0