Faltings sats

Faltings sats
	Gerd Faltings
Fält	Aritmetisk geometri
Förmodat av	Louis Mordell
Gissade in	1922
Första beviset av	Gerd Faltings
Första beviset in	1983
Generaliseringar	; Bombieri–Lang gissningar Mordell–Lang gissningar
Konsekvenser	Siegels sats om integralpunkter

Faltings sats är ett resultat i aritmetisk geometri , enligt vilket en kurva av släktet större än 1 över fältet $\mathbb {Q}$ av rationella siffror har bara ändligt många rationella punkter . Detta antogs 1922 av Louis Mordell och känd som Mordell-förmodan fram till dess bevis 1983 av Gerd Faltings . Gissningen generaliserades senare genom att ${\displaystyle \mathbb {Q} } ersattes$ med valfritt nummerfält .

Bakgrund

Låt $C$ vara en icke-singular algebraisk kurva av släktet $g$ över $\mathbb {Q}$ . Sedan kan uppsättningen av rationella punkter på $C$ bestämmas enligt följande:

När $g=0$ finns det antingen inga punkter eller oändligt många. I sådana fall $C$ hanteras som en konisk sektion .
När $g=1$ , om det finns några punkter, så är $C$ en elliptisk kurva och dess rationella punkter bildar en ändligt genererad abelsk grupp . (Detta är Mordells sats , senare generaliserad till Mordell-Weils sats .) Dessutom begränsar Mazurs torsionssats strukturen av torsionsundergruppen.
När $g>1$ , enligt Faltings sats, har $C$ endast ett ändligt antal rationella punkter.

Bevis

Igor Shafarevich förmodade att det bara finns ändligt många isomorfismklasser av abelska varianter av fast dimension och fast polarisationsgrad över ett fast antal fält med bra reduktion utanför en fast finit uppsättning platser . Aleksei Parshin visade att Shafarevichs ändlighetsgissning skulle innebära Mordell-förmodan, med hjälp av vad som nu kallas Parshins trick.

Gerd Faltings bevisade Shafarevichs ändlighetsförmodan med hjälp av en känd reduktion till ett fall av Tate-förmodan , tillsammans med verktyg från algebraisk geometri , inklusive teorin om Néron-modeller . Huvudtanken med Faltings bevis är jämförelsen av Faltings höjder och naiva höjder via Siegel modulära varianter .

Senare bevis

Paul Vojta gav ett bevis baserat på diofantisk approximation . Enrico Bombieri hittade en mer elementär variant av Vojtas bevis.
Brian Lawrence och Akshay Venkatesh gav ett bevis baserat på $p$ -adic Hodge-teori , och lånade också några av de enklare ingredienserna i Faltings originalbevis.

Konsekvenser

Faltings tidning från 1983 hade som konsekvenser ett antal uttalanden som tidigare hade givits:

Mordells gissning att en kurva av släktet som är större än 1 över ett talfält endast har ändligt många rationella punkter;
Isogenisatsen att abelska varianter med isomorfa Tate-moduler (som $\mathbb {Q} _{\ell }$ -moduler med Galois-verkan) är isogena .

Ett exempel på tillämpning av Faltings sats är på en svag form av Fermats sista sats : för varje fixerad $n\geq 4$ finns det högst ändligt många primitiva heltalslösningar (parvisa coprime -lösningar) till $^{n}+b^{n}=c^{n}}$ a , eftersom för sådana $n$ Fermatkurvan $x^{ n}+y^{n}=1$ har ett släkte som är större än 1.

Generaliseringar

På grund av Mordell–Weil-satsen kan Faltings sats omformuleras som ett påstående om skärningen av en kurva $C$ med en ändligt genererad undergrupp $\Gamma$ av en abelsk variant $A$ . Generalisering genom att ersätta $A$ med en semiabelsk variant , $C$ med en godtycklig undervarietet av $A$ och $\Gamma$ med en godtycklig ändlig undergrupp av $A$ leder till Mordell-Lang-förmodan , som bevisades 1995 av McQuillan efter arbeten av Laurent, Raynaud , Hindry, Vojta och Faltings .

En annan högredimensionell generalisering av Faltings sats är Bombieri–Langs gissning att om $X$ är en pseudo-kanonisk varietet (dvs en varietet av allmän typ) över ett talfält $k$ , så är $X(k)$ är inte Zariski tät i $X$ . Ännu mer allmänna gissningar har framförts av Paul Vojta .

Mordell-förmodan för funktionsfält bevisades av Yuri Ivanovich Manin och av Hans Grauert . 1990 Robert F. Coleman och fixade en lucka i Manins bevis.

Anteckningar

Citat

Bombieri, Enrico (1990). "Mordell-förmodan återbesökt" . Ann. Scuola Norm. Supera. Pisa Cl. Sci . 17 (4): 615–640. MR 1093712 .
Coleman, Robert F. (1990). "Manins bevis på Mordells gissning över funktionsfält" . L'Enseignement Mathématique . 2e Serie. 36 (3): 393–427. ISSN 0013-8584 . MR 1096426 . Arkiverad från originalet 2011-10-02.
Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. , red. (1986). Aritmetisk geometri. Bidrag från konferensen som hölls vid University of Connecticut, Storrs, Connecticut, 30 juli – 10 augusti 1984 . New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4613-8655-1 . ISBN 0-387-96311-1 . MR 0861969 . → Innehåller en engelsk översättning av Faltings (1983)
Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Ändlighetssatser för abelska varieteter över talfält]. Inventiones Mathematicae (på tyska). 73 (3): 349–366. Bibcode : 1983InMat..73..349F . doi : 10.1007/BF01388432 . MR 0718935 .
Faltings, Gerd (1984). "Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" . Inventiones Mathematicae (på tyska). 75 (2): 381. doi : 10.1007/BF01388572 . MR 0732554 .
Faltings, Gerd (1991). "Diofantisk approximation på abelska sorter". Ann. av matte. 133 (3): 549–576. doi : 10.2307/2944319 . JSTOR 2944319 . MR 1109353 .
Faltings, Gerd (1994). "Det allmänna fallet med S. Langs gissningar". I Cristante, Valentino; Messing, William (red.). Barsotti Symposium in Algebraic Geometry. Bidrag från symposiet som hölls i Abano Terme, 24–27 juni 1991 . Perspektiv i matematik. San Diego, CA: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-197270-4 . MR 1307396 .
Grauert, Hans (1965). "Mordells Vermutung über rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper" . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 25 (25): 131–149. doi : 10.1007/BF02684399 . ISSN 1618-1913 . MR 0222087 .
Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Diofantin geometri . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 201. New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-1210-2 . ISBN 0-387-98981-1 . MR 1745599 . → Ger Vojtas bevis på Faltings sats.
Lang, Serge (1997). Undersökning av diofantin geometri . Springer-Verlag . s. 101 -122. ISBN 3-540-61223-8 .
Lawrence, Brian; Venkatesh, Akshay (2020). "Diofantproblem och kartläggningar av $paradiska perioder".$ Uppfinna. Matematik . 221 (3): 893–999. arXiv : 1807.02721 . doi : 10.1007/s00222-020-00966-7 .
Manin, Ju. I. (1963). "Rationella punkter på algebraiska kurvor över funktionsfält" . Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matemacheskaya (på ryska). 27 : 1395-1440. ISSN 0373-2436 . MR 0157971 . (Översättning: Manin, Yu . (1966). "Rationella punkter på algebraiska kurvor över funktionsfält". American Mathematical Society Translations . Series 2. 59 : 189–234. doi : 10.1090/trans2/050/11 . ISSN 978082181 . 0065-9290 . )
McQuillan, Michael (1995). "Indelningspoäng på semi-abelska sorter". Uppfinna. Matematik . 120 (1): 143–159. doi : 10.1007/BF01241125 .
Mordell, Louis J. (1922). "Om de rationella lösningarna av den obestämda ekvationen för tredje och fjärde graden" . Proc. Cambridge Philos. Soc . 21 : 179–192.
Paršin, AN (1970). "Quelques conjectures de finitude en géométrie diophantienne" (PDF) . Actes du Congrès International des Mathématiciens . Vol. Tome 1. Nice: Gauthier-Villars (publicerad 1971). s. 467–471. MR 0427323 . Arkiverad från originalet (PDF) 2016-09-24 . Hämtad 2016-06-11 .
Parshin, AN (2001) [1994]. "Mordell gissningar" . Encyclopedia of Mathematics . EMS Tryck på .
Parshin, AN (1968). "Algebraiska kurvor över funktionsfält I". Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Matematik. 32 (5): 1191–1219. Bibcode : 1968IzMat...2.1145P . doi : 10.1070/IM1968v002n05ABEH000723 .
Shafarevich, IR (1963). "Algebraiska nummerfält". Proceedings of the International Congress of Mathematicians : 163–176.
Vojta, Paul (1991). "Siegels sats i det kompakta fallet". Ann. av matte. 133 (3): 509–548. doi : 10.2307/2944318 . JSTOR 2944318 . MR 1109352 .