Helt verkligt talfält
I talteorin kallas ett talfält F helt reellt om bilden för varje inbäddning av F i de komplexa talen ligger inuti de reella talen . Ekvivalenta villkor är att F genereras över Q av en rot av ett heltalspolynom P , där alla rötter av P är reella; eller att tensorproduktalgebra av F med det reella fältet, över Q , är isomorf till en tensorpotens av R .
Till exempel är kvadratiska fält F av grad 2 över Q antingen reella (och sedan helt reella) eller komplexa, beroende på om kvadratroten av ett positivt eller negativt tal är anslutet till Q . I fallet med kubiska fält kommer ett kubiskt heltalspolynom P som är irreducibelt över Q att ha minst en reell rot. Om den har en reell och två komplexa rötter kommer den motsvarande kubiska förlängningen av Q som definieras genom att gränsa till den reella roten inte att vara helt reell, även om det är ett fält av reella tal.
De helt reella talfälten spelar en betydande speciell roll i algebraisk talteori . En abelsk förlängning av Q är antingen helt reell eller innehåller ett helt reellt delfält över vilket den har grad två.
Alla talfält som är Galois över rationalerna måste antingen vara helt verkliga eller helt imaginära .
Se även
- Helt tänkt talfält
- CM-fält , en helt imaginär kvadratisk förlängning av ett helt verkligt fält
- Hida, Haruzo (1993), Elementary theory of L-functions and Eisenstein series , London Mathematical Society Student Texts, vol. 26, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43569-7