Brings kurva

En tidig bild av Brings kurva som en golvmosaik av Paolo Uccello , 1430

I matematik är Brings kurva (även kallad Brings yta ) kurvan som ges av ekvationerna

v+w+x +y+z=v^{2}+w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=v^{3}+w^{3}+x^{ 3}+y^{3}+z^{3}=0.

Den fick sitt namn av Klein (2003 , s.157) efter Erland Samuel Bring som studerade en liknande konstruktion 1786 i en Promotionschrift som lämnades in till Lunds universitet .

Kurvans automorfismgrupp är den symmetriska gruppen S5 av ordningen 120, given av permutationer av de 5 koordinaterna _. Detta är den största möjliga automorfismgruppen av en komplex kurva av släkte 4.

Kurvan kan realiseras som ett trippelt täcke av sfären som är förgrenad i 12 punkter, och är Riemannytan som är associerad med den lilla stellerade dodekaedern . Den har släkte 4. Hela gruppen av symmetrier (inklusive reflektioner) är den direkta produkten ${\displaystyle S_{5}\times \mathbb {Z} _{2}} ,$ som har ordning 240.

Fundamental domän och systole

Brings kurva kan erhållas som en Riemann-yta genom att associera sidor av en hyperbolisk ikonsagon (se fundamental polygon ) . Identifieringsmönstret anges i det intilliggande diagrammet. Icosagonen (av area $12\pi$ , av Gauss-Bonnet-satsen ) kan tesselleras med 240 (2,4,5) trianglar. De åtgärder som transporterar en av dessa trianglar till en annan ger hela gruppen av automorfismer av ytan (inklusive reflektioner). Om vi diskonterar reflektioner får vi de 120 automorfismer som nämns i inledningen. Observera att 120 är mindre än 252, det maximala antalet orienteringsbevarande automorfismer som tillåts för en yta av ett släkte 4, enligt Hurwitzs automorfismteorem . Därför är Brings yta inte en Hurwitz-yta . Detta säger oss också att det inte finns en Hurwitz-yta av släkte 4.

Den grundläggande ikonen för Brings yta, komplett med sidoidentifikationer.

Hela gruppen av symmetrier har följande presentation:

\langle r,\,s,\, t\,|\,r^{5}=s^{2}=t^{2}=rtrt=stst=(rs)^{4}=(sr^{3}sr^{2})^{ 2}=e\rangle

,

där $e$ är identitetsåtgärden, $r$ är en rotation av ordning 5 kring mitten av den fundamentala polygonen, $s$ är en rotation av ordning 2 vid vertex där 4 ( 2,4,5) trianglar möts i tessellationen, och $t$ är reflektion i den reella linjen. Från denna presentation kan information om den linjära representationsteorin för symmetrigruppen på Brings yta beräknas med hjälp av GAP . Speciellt har gruppen fyra 1-dimensionella, fyra 4-dimensionella, fyra 5-dimensionella och två 6-dimensionella irreducerbara representationer, och vi har

4(1^{2})+4(4^{ 2})+4(5^{2})+2(6^{2})=4+64+100+72=240

som förväntat.

Ytans systole har längd

12\sinh ^{-1}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)} }\right)\approx 4,60318.

På samma sätt som Klein-kvartiken maximerar inte Brings yta systolelängden bland kompakta Riemann-ytor i sin topologiska kategori (det vill säga ytor som har samma genus) trots att storleken på automorfismgruppen maximeras. Systolen maximeras förmodligen av ytan som refereras till en M4 i ( Schmutz 1993) . Systolelängden på M4 är

2\cosh ^{-1}\left({\tfrac {1}{2}}(5+3{\sqrt { 3}})\right)\approx 4,6245,

och har multiplicitet 36.

Spektral teori

Lite är känt om spektralteorin om Brings yta, men den kan potentiellt vara av intresse inom detta område. Bolza -ytan och Klein-kvartiken har de största symmetrigrupperna bland kompakta Riemann-ytor med konstant negativ krökning i släkten 2 respektive 3, och därför har det antagits att de maximerar det första positiva egenvärdet i Laplace-spektrumet. Det finns starka numeriska bevis för att stödja denna hypotes, särskilt när det gäller Bolza-ytan, även om det fortfarande är ett öppet problem att tillhandahålla ett rigoröst bevis. Efter detta mönster kan man rimligen gissa att Brings yta maximerar det första positiva egenvärdet för Laplacian (bland ytor i dess topologiska klass).

Se även

Bring, Erland Samuel; Sommelius, Sven Gustaf (1786), Meletemata quædam mathematica circa transformationem æquationem algebraicarum , Promotionschrift, Lunds universitet
Edge, WL (1978), "Bring's curve", Journal of the London Mathematical Society , 18 (3): 539–545, doi : 10.1112/jlms/s2-18.3.539 , ISSN 0024-6107 , MR 0518240
Klein, Felix (2003) [1884], Föreläsningar om icosahedron och lösningen av ekvationer av femte graden , Dover Phoenix Editions, New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49528-6 , MR 0080930
Riera, G.; Rodriguez, R. (1992), "The period matrices of Bring's curve", Pacific J. Math. , 154 (1): 179–200, doi : 10.2140/pjm.1992.154.179 , MR 1154738
Schmutz, P. (1993), "Riemann-ytor med kortaste geodetiska av maximal längd", GAFA , 3 (6): 564–631, doi : 10.1007/BF01896258
Weber, Matthias (2005), "Kepler's small stellated dodecahedron as a Riemann surface", Pacific J. Math. , 220 : 167–182, doi : 10.2140/pjm.2005.220.167