Maass vågform

I matematik studeras Maass-former eller Maass-vågformer i teorin om automorfa former . Maass-former är komplext värderade jämna funktioner i det övre halvplanet, som transformeras på liknande sätt under driften av en diskret undergrupp $\Gamma$ av $\mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {R} )$ som modulära former. De är egenformer av den hyperboliska Laplace-operatorn $\Delta$ definierad på $\mathbb {H}$ och uppfyller vissa tillväxtvillkor vid cusps av en fundamental domän av $\Gamma$ . Till skillnad från de modulära formerna behöver Maass-formerna inte vara holomorfa. De studerades först av Hans Maass 1949.

Allmänna kommentarer

Gruppen

$G:=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {R} ):ad-bc=1\right\}$

fungerar på det övre halvplanet

$\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\operatörsnamn {Im} (z)>0\}$

genom fraktionerad linjär transformation:

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z:={\frac {az+b}{cz+d}}.$

Den kan utökas till en operation på $\mathbb {H} \cup \{\infty \}\cup \mathbb {\mathbb {R} }$ genom att definiera:

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\ end{pmatrix}}\cdot z:={\begin{cases}{\frac {az+b}{cz+d}}&{\text{if }}cz+d\neq 0,\\\infty & {\text{if }}cz+d=0,\end{cases}}$

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot \infty :=\lim _{\operatörsnamn {Im} (z)\to \infty }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z={\begin{cases}{\frac {a}{c}}&{\text{if }}c\neq 0\\\infty &{\text{if }}c=0\end{cases}}$

Radonmåttet

$d\mu (z):={\frac {dxdy}{y^{2}}}$

definierad på $\mathbb {H}$ är invariant under operationen av $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ .

Låt $\Gamma$ vara en diskret undergrupp av $G$ . En grundläggande domän för $\Gamma$ är en öppen mängd ${\displaystyle F\subset \mathbb {H} } ,$ så att det finns ett system av representanter $R$ av ${ \displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$ med

$F\subset R\subset {\overline {F}}{\text{ och }}\mu ({\overline {F}} \setminus F)=0.$

En fundamental domän för den modulära gruppen $\Gamma (1):=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ ges av

$F:=\left\{z\in \mathbb {H} \mid \left|\operatörsnamn {Re} (z)\right|<{\frac {1}{2}},| z|>1\right\}$

(se Modulform ).

En funktion $f:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ kallas $\Gamma$ -invariant, om ${\ displaystyle f(\gamma z)=f(z)}$ gäller för alla $\gamma \in \Gamma$ och alla $z\in \mathbb {H}$ .

För varje mätbar, $\Gamma$ -invariant funktion $f:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ ekvationen

$\int _{F}f(z)\,d\mu (z)=\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }f(z)\,d\mu (z),$

håller. Här är måttet $d\mu$ på höger sida av ekvationen det inducerade måttet på kvoten $\Gamma \backslash \mathbb {H} .$

Klassiska Maass-former

Definition av den hyperboliska Laplace-operatorn

Den hyperboliska Laplace-operatorn på $\mathbb {H}$ definieras som

$\Delta :C^{\infty }(\mathbb {H} )\to C^{\infty }(\mathbb {H} ),$

$\Delta =-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{ 2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)$

Definition av en Maass-form

En Maass-form för gruppen $\Gamma (1):=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ är en komplexvärderad smidig funktion $f$ på $\mathbb {H}$ tillfredsställer

1. $f(\gamma z)=f(z){\text{ för alla }}\gamma \in \Gamma (1),\qquad z\in \mathbb {H}$
2. ${\text{det finns }}\lambda \in \mathbb {C} {\text{ med }}\Delta (f)=\lambda f$
3. ${\text{det finns }}N\i \mathbb {N} {\text{ med }}f (x+iy)={\mathcal {O}}(y^{N}){\text{ för }}y\geq 1$

Om

$\int _{0}^{1}f(z+t)dt=0{\text{ för alla }}z\in \ mathbb {H}$

vi kallar $f$ Maass cusp form.

Relation mellan Maass-former och Dirichlet-serier

Låt $f$ vara en Maass-form. Eftersom

$\gamma :={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)$

vi har:

$\forall z\in \mathbb {H} :\qquad f(z)=f(\gamma z)=f(z+1).$

Därför har $f$ en Fourier-expansion av formen

$f(x+iy)=\summa _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y)e^{2\pi inx},$

med koefficientfunktioner $a_{n},n\in \mathbb {Z} .$

Det är lätt att visa att $f$ är Maass cusp form om och endast om $a_{0}(y)=0\;\;\forall y>0$ .

Vi kan beräkna koefficientfunktionerna på ett exakt sätt. För detta behöver vi Bessel-funktionen $K_{v}$ .

Definition: Bessel-funktionen $K_{v}$ definieras som

$K_{s}(y):={\ frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {y(t+t^{-1})}{2}}}t^{s}{ \frac {dt}{t}},\qquad s\in \mathbb {C} ,y>0.$

Integralen konvergerar lokalt enhetligt absolut för $y>0$ i $s\in \mathbb {C}$ och olikheten

$K_{s}(y)\leq e^{-{\frac {y}{2}}}K_{\operatörsnamn {Re} (s)}(2)$

gäller för alla $y>4$ .

Därför $|K_{s}|$ minskar exponentiellt för $y\to \infty$ . Dessutom har vi $K_{-s}(y)=K_{s}(y)$ för alla $s\in \mathbb {C} ,y>0$ .

Sats (Fourier-koefficienter för Maass-former) — Låt $\lambda \in \mathbb {C}$ vara egenvärdet för Maass-formen $f$ som motsvarar $\Delta .$ Det finns ${\displaystyle \nu \in \mathbb {C} } ,$ unikt upp till tecken, så att ${\textstyle \lambda ={\frac { 1}{4}}-\nu ^{2}}$ . Då är Fourierkoefficienterna för $f$

$${\begin{aligned}a_{n}(y)&=c_{n}{\sqrt {y}}K_{\nu}(2\pi |n|y)\quad c_{n}\ i \mathbb {C} &&n\neq 0\\a_{0}(y)&=c_{0}y^{{\frac {1}{2}}-\nu }+d_{0}y^{ {\frac {1}{2}}+\nu }\quad c_{0},d_{0}\in \mathbb {C} &&n=0\end{aligned}}$$

Bevis: Det har vi

$\Delta (f)=\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f.$

Genom definitionen av Fourierkoefficienterna får vi

$a_{n}(y)=\int _{0}^{1}f(x+iy )e^{-2\pi inx}dx$

för $n\in \mathbb {Z} .$

Tillsammans följer det

${\begin{aligned}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)a_{n}( y)&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=\int _{0}^{1}(\Delta f)(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=-y^ {2}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx+\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx \right)\\[4pt]&{\overset {(1)}{=}}-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2} {\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[ 4pt]&=-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{ 2}}}a_{n}(y)\\[4pt]&=4\pi ^{2}n^{2}y^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\ frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\end{aligned}}$

för $n\in \mathbb {Z} .$

I (1) använde vi att den n: te Fourierkoefficienten för ${\textstyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}}$ är $(2\pi in)^{2}a_{n}(y)$ för den första summeringstermen. I den andra termen ändrade vi ordningen för integration och differentiering, vilket är tillåtet eftersom f är jämnt i y . Vi får en linjär differentialekvation av andra graden:

$y^{2}{\frac {\partial ^{2 }}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)+\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}-4\pi n^{2}y ^{2}\right)a_{n}(y)=0$

För $n=0$ kan man visa att det för varje lösning $f$ finns unika koefficienter $c_{0},d_{0}\in \mathbb { C}$ med egenskapen $a_{0}(y)=c_{0}y^{{\frac {1}{2}}-\nu }+d_{0}y^{{\frac {1}{2}} +\nu }.$

För ${\displaystyle n\neq 0} har$ varje lösning $f$ koefficienter av formen

$a_{n}(y)=c_{n}{\ sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)+d_{n}{\sqrt {y}}I_{v}(2\pi |n|y)$

för unik $c_{n},d_{n}\in \mathbb {C}$ . Här är $K_{v}(s)$ och $I_{v}(s)$ Bessel-funktioner.

Bessel-funktionerna $I_{v}$ växer exponentiellt, medan Bessel-funktionerna $K_{v}$ minskar exponentiellt. Tillsammans med polynomtillväxtvillkoret 3) får vi $f:a_{n}(y)=c_{n}{\ sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)$ (även $d_{n}=0$ ) för en unik $c_{n}\ i \mathbb {C}$ . QED

Jämna och udda Maass-former: Låt $i(z):=-{\overline {z}}$ . Då fungerar i alla funktioner $f:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ med $i(f) :=f(i(z))$ och pendlar med den hyperboliska Laplacian. En Maass-form $f$ kallas jämn, om $i(f)=f$ och udda om $i(f)=-f$ . Om f är en Maass-form så är ${\tfrac {1}{2}}(f+i(f))$ en jämn Maass-form och ${\tfrac {1}{2}}(fi(f))$ en udda Maass-form och det gäller att $f={\tfrac {1}{2}}(f+i(f))+{\tfrac {1}{2}}(fi(f))$ .

Sats: L-funktionen för en Maass-form

Låta

$f(x+iy)=\summa _{n\neq 0}c_ {n}{\sqrt {y}}K_{\nu}(2\pi |n|y)e^{2\pi inx}$

vara en Maass cusp form. Vi definierar L-funktionen för $f$ som

$L(s,f)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-s}.$

Sedan konvergerar serien $L(s,f)$ för ${\textstyle \Re (s)>{\frac {3}{2}}}$ och vi kan fortsätta den till en hel funktion på $\mathbb {C}$ .

Om $f$ är jämnt eller udda får vi

$\Lambda (s,f):=\pi ^{-s}\Gamma \left({\frac {s+\varepsilon +\nu}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {s+\varepsilon -\nu }{2}}\höger)L(s,f).$

Här är $\varepsilon =0$ om $f$ är jämnt och $\varepsilon =-1$ om $f$ är udda. Då $\Lambda$ den funktionella ekvationen

$\Lambda (s,f)=(-1)^{\varepsilon }\Lambda (1-s,f).$

Exempel: Den icke-holomorfa Eisenstein-serien E

Den icke-holomorfa Eisenstein-serien är definierad för $z=x+iy\in \mathbb {H}$ och $s\in \mathbb {C}$ som

$E(z,s):=\pi ^{-s}\Gamma (s){\frac {1}{2}}\summa _{(m,n)\neq (0,0 )}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}}$

där $\Gamma (s)$ är gammafunktionen .

Serien konvergerar absolut i $z\in \mathbb {H}$ för $\Re (s)>1$ och lokalt enhetligt i ${\displaystyle \mathbb {H} \times \{\Re (s)>1\}} ,$ eftersom man kan visa att serien

$S(z,s):=\summa _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{|mz+n|^{s}}}$

konvergerar absolut i $z\in \mathbb {H}$ , om $\Re (s)>2$ . Mer exakt konvergerar den likformigt på varje uppsättning ${\displaystyle K\times \{\Re (s)\geq \alpha \}} ,$ för varje kompakt uppsättning $K \subset \mathbb {H}$ och varje $\alpha >2$ .

E är en Maass-form

Vi visar bara $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ -invarians och differentialekvationen. Ett bevis på jämnheten finns i Deitmar eller Bump. Tillväxtvillkoret följer av Fourier-expansionen av Eisenstein-serien.

Vi kommer först att visa $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ -invariansen. Låta

$\Gamma _{\infty }:=\pm {\begin{pmatrix}1&\mathbb {Z} \\0&1\\\end{pmatrix}}$

vara stabilisatorgruppen $\infty$ som motsvarar operationen för $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ på ${\ displaystyle \mathbb {H} \cup \{\infty \}}$ .

Förslag. E är $\Gamma (1)$ -invariant.

Bevis. Definiera:

${\tilde {E}}(z,s):=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}.$

(a) ${\tilde {E}}$ konvergerar absolut i $z\in \mathbb {H}$ för $\Re (s)> 1$ och $E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s).$

Eftersom

$\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)\Longrightarrow \Im (\gamma z)={\frac {\Im ( z)}{|cz+d|^{2}}},$

vi får

${\tilde {E}}(z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}=\summa _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}.$

Det bevisar den absoluta konvergensen i $z\in \mathbb {H}$ för $\operatorname {Re} (s)>1.$

Dessutom följer det

$\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}\sum _{(c, d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}=\summa _{n=1}^{\infty } \sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|ncz+nd|^{2s}}}=\summa _{(m ,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}},$

sedan kartan

${\begin{cases}\mathbb {N} \times \{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}:(x ,y)=1\}\to \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}\\(n,(x,y))\mapsto (nx,ny)\end{cases }}$

är en bijektion (a) följer.

(b) Vi har $E(\gamma z,s)=E(z,s)$ för alla $\ gamma \in \Gamma (1)$ .

För ${\tilde {\gamma }}\in \Gamma (1)$ får vi

${\tilde {E}}({\tilde {\gamma }}z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im ({\tilde {\gamma }}\gamma z)^{s}=\summa _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}={\tilde { E}}(\gamma z,s).$

Tillsammans med (a) är $E$ också invariant under $\Gamma (1)$ . QED

Förslag. E är en egenform av den hyperboliska Laplace-operatorn

Vi behöver följande Lemma:

Lemma: $\Delta$ pendlar med operationen av $G$ på $C^{\infty }(\mathbb {H} )$ . Mer exakt för alla $g\in G$ har vi: $L_{g}\Delta =\Delta L_{g}.$

Bevis: Gruppen $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ genereras av elementen i formuläret

${\begin{pmatrix}a&0\\0&{\frac {1}{a}}\\\end{pmatrix}},a\in \mathbb {R} ^{\times };\quad {\ start{pmatrix}1&x\\0&1\\\end{pmatrix}},x\in \mathbb {R} ;\quad S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}} .$

Man beräknar kravet för dessa generatorer och får kravet för alla $g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ . QED

Eftersom $E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\ zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)$ det räcker att visa differentialekvationen för ${\tilde {E}}$ . Vi har:

$elta ($

Dessutom har man

$\Delta \left(\Im (z)^{s}\right)=\Delta (y^{s})=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2} y^{s}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial y^{2}}}\right)=s(1 -s)y^{s}.$

Eftersom Laplace-operatören pendlar med driften av $\Gamma (1)$ får vi

$\forall \gamma \in \Gamma (1):\quad \Delta \ left(\Im (\gamma z)^{s}\right)=s(1-s)\Im (\gamma z)^{s}$

och så

$\Delta {\tilde {E}}(z,s)=s(1-s){\tilde {E}}(z,s).$

Därför gäller differentialekvationen för E i $\Re (s)>3$ . För att erhålla anspråket för alla $s\in \mathbb {C} }$$\Delta E(z,s)-s(1-s)E(z,s)$ , överväg funktionen . Genom att explicit beräkna Fourierexpansionen av denna funktion får vi att den är meromorf. Eftersom det försvinner för ${\displaystyle \Re (s)>3} ,$ måste det vara nollfunktionen av identitetsteoremet .

Fourier-expansionen av E

Den icke-holomorfa Eisenstein-serien har en Fourier-expansion

$E(z,s)=\summa _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y,s)e^{2\pi inx}$

var

${\begin{aligned}a_{0}(y,s)&= \pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)y^{s}+\pi ^{s-1}\Gamma (1-s)\zeta (2(1-s))y^ {1-s}\\a_{n}(y,s)&=2|n|^{s-{\frac {1}{2}}}\sigma _{1-2s}(|n|) {\sqrt {y}}K_{s-{\frac {1}{2}}}(2\pi |n|y)&&n\neq 0\end{aligned}}$

Om $z\in \mathbb {H}$ , har $E(z,s)$ en meromorf fortsättning på $\mathbb {C}$ . Det är holomorft förutom enkla poler vid $s=0,1.$

Eisenstein-serien uppfyller den funktionella ekvationen

$E(z,s)=E(z,1-s)$

för alla $z\in \mathbb {H}$ .

Lokalt enhetligt i $x\in \mathbb {R}$ tillväxtvillkoret

$E(x+iy,s)={\mathcal {0}}(y^{\sigma })$

$\sigma =\max(\operatörsnamn {Re} (s),1-\operatörsnamn {Re} (s)).$ där

Den meromorfa fortsättningen av E är mycket viktig i spektralteorin för den hyperboliska Laplace-operatorn.

Maass former av vikt k

Kongruensundergrupper

För $N\in \mathbb {N}$ låt $\Gamma (N)$ vara kärnan i den kanoniska projektionen

$\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ).$

Vi kallar $\Gamma (N)$ huvudkongruensundergrupp för nivå $N$ . En undergrupp $\Gamma \subseteq \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ kallas kongruensundergrupp, om det finns $N\ i \mathbb {N}$ , så att $\Gamma (N)\subseteq \Gamma$ . Alla kongruensundergrupper är diskreta.

Låta

${\overline {\Gamma (1)}}:=\Gamma (1)/\{\pm 1\}.$

För en kongruensundergrupp $\Gamma ,$ låt ${\overline {\Gamma }}$ vara bilden av $\Gamma$ i ${\ överlinje {\Gamma (1)}}$ . Om S är ett system av representanter för ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}\backslash {\overline {\Gamma (1)}}},$ då

$SD=\bigcup _{\gamma \in S}\gamma D$

är en grundläggande domän för $\Gamma$ . Uppsättningen $S$ bestäms unikt av den grundläggande domänen $SD$ . Dessutom $S$ ändlig.

Punkterna $\gamma \infty$ för $\gamma \in S$ kallas cusps av den fundamentala domänen $SD$ . De är en delmängd av $\mathbb {Q} \cup \{\infty \}$ .

För varje cusp $c$ finns det $\sigma \in \Gamma (1)$ med $\sigma \infty =c$ .

Maass former av vikt k

Låt $\Gamma$ vara en kongruensundergrupp och $k\in \mathbb {Z} .$

Vi definierar den hyperboliska Laplace-operatorn $\Delta _{k}$ av vikten $k$ som

$\Delta _{k}:C^{\infty }(\mathbb {H} )\to C^{\infty }(\mathbb { H} ),$

$\Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2 }}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}.$

Detta är en generalisering av den hyperboliska Laplace-operatorn $\Delta _{0}=\Delta$ .

Vi definierar en operation av $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ på $C^{\infty }(\mathbb { H} )$ av

$f_{||k}g(z):=\left({\frac {cz+ d}{|cz+d|}}\right)^{-k}f(gz)$

var

$z\in \mathbb {H} ,g={\begin{pmatrix}\ast &\ast \\c&d\\\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ).$

Det kan man visa

$(\Delta _{k}f)_{||k}g=\Delta _{k}(f_{||k}g)$

gäller för alla $f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ),k\in \mathbb {Z}$ och varje $g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ .

Därför verkar $\Delta _{k}$ på vektorrymden

$C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k):=\{f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ):f_{||k}\gamma =f\forall \gamma \in \Gamma \}$ .

Definition. En Maass-form av vikt $k\in \mathbb {Z}$ för $\Gamma$ är en funktion $f\in C^ {\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ som är en egenfunktion av $\Delta _{k}$ och har måttlig tillväxt vid cusps.

Begreppet måttlig tillväxt vid cusps behöver förtydligas. Infinity är en cusp för $\Gamma ,$ en funktion $f\in C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} , k)$ har måttlig tillväxt vid $\infty$ om $f(x+iy)$ begränsas av ett polynom i y som $y\to \infty$ . Låt $c\in \mathbb {Q}$ vara en annan cusp. Då finns det $\theta \in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ med $\theta (\infty )=c$ . Låt $f':=f_{||k}\theta$ . Sedan ${\displaystyle f'\in C^{\infty }(\Gamma '\backslash \mathbb {H} ,k)} , där$ Γ $\displaystyle \ Gamma '}$ är kongruensundergruppen $\theta ^{-1}\Gamma \theta$ . Vi säger att $f$ har måttlig tillväxt vid cusp $c$ , om $f'$ har måttlig tillväxt vid $\infty$ .

Definition. Om $\Gamma$ innehåller en huvudkongruensundergrupp av nivå $N$ , säger vi att $f$ är cuspidal i oändligheten, om

$\forall z\in \mathbb {H} :\quad \int _{0}^{N}f(z+u) du=0.$

Vi säger att $f$ är cuspidal vid cusp $c$ om $f'$ är cuspidal i oändlighet. Om $f$ är cuspidal vid varje cusp, kallar vi $f$ en cusp form .

Vi ger ett enkelt exempel på en Maass-form av vikt $k>1$ för den modulära gruppen:

Exempel. Låt $g:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ vara en modulär form av jämn vikt $k$ för $\Gamma (1).$ Sedan $f(z):=y^{\frac {k}{2}}g(z)$ är en Maass-form av vikt $k$ för gruppen $\Gamma (1)$ .

Det spektrala problemet

Låt $\Gamma$ vara en kongruensundergrupp av $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ och låt $L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ vara vektorrummet för alla mätbara funktioner $f:\mathbb {H} \to \mathbb { C}$ med $f_{||k}\gamma =f$ för alla $\gamma \in \Gamma$ uppfyller

$\|f\|^{2}:=\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }|f(z)|^{2}d\mu ( z)<\infty$

modulo funktioner med $\|f\|=0.$ Integralen är väldefinierad, eftersom funktionen $|f(z)|^{2}$ är $\Gamma$ -invariant. Detta är ett Hilbert-utrymme med inre produkt

$\langle f,g\rangle =\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }f(z){\overline {g(z)}}d\mu (z).$

Operatorn $\Delta _{k}$ kan definieras i ett vektorrum ${\displaystyle B\subset L^ {2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)} som är tät$ i $L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ . Där $\Delta _{k}$ en positiv semidefinit symmetrisk operator. Det kan visas att det finns en unik självadjoint fortsättning på $L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k).$

Definiera $C(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ som utrymmet för alla cusp-former ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k).} Sedan Δ$ k $displaystyle \Delta _{k}}$ arbetar på $C(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ och har ett diskret spektrum. Spektrum som tillhör det ortogonala komplementet har en kontinuerlig del och kan beskrivas med hjälp av (modifierade) icke-holomorfa Eisenstein-serier, deras meromorfa fortsättningar och deras rester. (Se Bump eller Iwaniec ).

Om $\Gamma$ är en diskret (torsionsfri) undergrupp av ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )} ,$ så att kvoten $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ är kompakt, spektralproblemet förenklas. Detta beror på att en diskret cocompact undergrupp inte har några spetsar. Här är hela utrymmet $L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ summan av egenrum.

Inbäddning i utrymmet L ² (Γ \ G )

$G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ är en lokalt kompakt unimodulär grupp med topologin $\mathbb {R} ^{4}.$ Låt $\Gamma$ vara en kongruensundergrupp. Eftersom $\Gamma$ är diskret i $G$ är den stängd i $G$ också. Gruppen $G$ är unimodulär och eftersom räknemåttet är ett Haar-mått på den diskreta gruppen $\Gamma$ , är $\Gamma$ också unimodulär. Med kvotintegralformeln finns det ett $G$ -höger-invariant Radonmått $dx$ på det lokalt kompakta utrymmet $\Gamma \backslash G$ . Låt $L^{2}(\Gamma \backslash G)$ vara motsvarande $L^{2}$ -mellanslag. Detta utrymme sönderdelas till ett Hilbert-rum direkt summa:

$L^{2}(\Gamma \backslash G)=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} } L^{2}(\Gamma \backslash G,k)$

var

$\ displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G,k):=\left\{\phi \in L^{2}(\Gamma \backslash G)\mid \phi (xk_{\theta })=e ^{ik\theta }F(x)\forall x\in \Gamma \backslash G\forall \theta \in \mathbb {R} \right\}}$

och

$k_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\\\end{pmatrix }}\i SO(2),\theta \in \mathbb {R} .$

Hilbert-utrymmet $L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ kan bäddas in isometriskt i Hilbert-utrymmet $L^{2}(\Gamma \backslash G,k)$ . Isometrin ges av kartan

${\begin{cases}\psi _{k}:L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\to L^{2}(\Gamma \ omvänt snedstreck G,k)\\\psi _{k}(f)(g):=f_{||k}\gamma (i)\end{case}}$

Därför kan alla Maass-cusp-former för kongruensgruppen $\Gamma$ ses som element av $L^{2}(\Gamma \backslash G)$ .

$L^{2}(\Gamma \backslash G)$ är ett Hilbert-utrymme som bär en operation av gruppen $G$ , den så kallade högra reguljära representationen:

$R_{g}\phi :=\phi (xg),{\text{ där }}x\i \Gamma \backslash G{\text{ och }}\phi \i L^{2}(\ Gamma \backslash G).$

Man kan enkelt visa att $R$ är en enhetsrepresentation av $G$ på Hilbertutrymmet $L^{2}(\Gamma \backslash G)$ . Man är intresserad av en nedbrytning till irreducerbara subrepresentationer. Detta är endast möjligt om $\Gamma$ är kokompakt. Om inte, finns det också en kontinuerlig Hilbert-integral del. Det intressanta är att lösningen av detta problem också löser det spektrala problemet med Maass-former. (se Bump , C. 2.3)

Maass cusp form

En Maass cusp form , en delmängd av Maass former, är en funktion på det övre halvplanet som transformeras som en modulär form men behöver inte vara holomorf . De studerades först av Hans Maass i Maass (1949) .

Definition

Låt k vara ett heltal, s vara ett komplext tal och Γ vara en diskret undergrupp av SL ₂ ( R ) . En Maass-form av vikt k för Γ med Laplace-egenvärde s är en jämn funktion från det övre halvplanet till de komplexa talen som uppfyller följande villkor:

• För alla ${\displaystyle \gamma =\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma } och$ alla $z\in \mathbb {H}$ , vi har $f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{k }F Z).$
• Vi har $\Delta _{k}f=sf$ , där $\Delta _{k}$ är vikten k hyperbolisk Laplacian definierad som
  $$\Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2 }}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}.$$
• Funktionen $f$ har som mest polynomtillväxt vid cusps .

En svag Maass-form definieras på liknande sätt men med det tredje villkoret ersatt av "Funktionen $f$ har som mest linjär exponentiell tillväxt vid cusps". Dessutom sägs ${\displaystyle f} vara$ harmonisk om den förintas av den laplaciska operatorn.

Stora resultat

Låt $f$ vara en vikt 0 Maass cusp form. Dess normaliserade Fourierkoefficient vid ett primtal p begränsas av p ^7/64 + p ^−7/64 . Detta teorem beror på Henry Kim och Peter Sarnak . Det är en approximation mot Ramanujan-Peterssons gissning .

Högre dimensioner

Maass cusp former kan betraktas som automorfa former på GL(2). Det är naturligt att definiera Maass-kuspformer på GL( n ) som sfäriska automorfa former på GL( n ) över det rationella talfältet. Deras existens bevisas av Miller, Mueller, etc.

Automorfa representationer av adele-gruppen

Gruppen GL ₂ (A)

Låt $R$ vara en kommutativ ring med enhet och låt $G_{R}:=\mathrm {GL} _{2}(R)$ vara gruppen av $2\times 2$ matriser med poster i $R$ och inverterbar determinant. Låt ${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }} vara$ ringen av rationella adeles, $\mathbb {A} _{\text{ fin}}$ ringen av de finita (rationella) adeles och för ett primtal $p\in \mathbb {N}$ låt $\mathbb {Q} _{p}$ vara fältet för p -adiska tal. Låt dessutom $\mathbb {Z} _{p}$ vara ringen av de p-adiska heltalen (se Adele ring ). Definiera $G_{p}:=G_{\mathbb {Q} _{p}}$ . Både $G_{p}$ och $G_{\mathbb {R} }$ är lokalt kompakta unimodulära grupper om man utrustar dem med subrymdstopologierna för $\mathbb {Q } _{p}^{4}$ respektive $\mathbb {R} ^{4}$ . Sedan:

$G_{\text{fin}}:=G_{\mathbb {A} _{\text{fin}}}\cong {\widehat {\prod _{p<\infty }^{K_{p} }}}G_{p}.$

Den högra sidan är den begränsade produkten, gällande de kompakta, öppna undergrupperna $K_{p}:=G_{\mathbb {Z} _{p}}$ av $G_ {p}$ . Sedan $G_{\text{fin}}$ lokalt kompakt grupp, om vi utrustar den med den begränsade produkttopologin.

Gruppen $G_{\mathbb {A} }$ är isomorf till

$G_{\text{fin}}\times G_{\mathbb {R} }$

och är en lokalt kompakt grupp med produkttopologin, eftersom $G_{\text{fin}}$ och $G_{\mathbb {R} }$ båda är lokalt kompakta.

Låta

${\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p<\infty }\mathbb {Z} _{p}.$

Undergruppen

$G_{\widehat {\mathbb {Z} }}:=\prod _{p<\infty }K_{p}$

är en maximal kompakt, öppen undergrupp av $G_{\text{fin}}$ och kan ses som en undergrupp av ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }} ,$ när vi betraktar bädda in $x_{\text{fin}}\mapsto (x_{\text{fin}},1_{\infty })$ .

Vi definierar $Z_{\mathbb {R} }$ som mitten av $G_{\infty }$ , det betyder att $Z_{\mathbb {R} }$ är grupp av alla diagonala matriser av formen ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &\\&\lambda \\\end{pmatrix}}} ,$ där $\lambda \ i \mathbb {R} ^{\times }$ . Vi tänker på $Z_{\mathbb {R} }$ som en undergrupp av $G_{\mathbb {A} }$ eftersom vi kan bädda in gruppen med $z\mapsto (1_{G_{\text{fin}}},z)$ .

Gruppen $G_{\mathbb {Q} }$ är inbäddad diagonalt i ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }} ,$ vilket är möjligt eftersom alla fyra inmatningarna av a ${ \displaystyle x\in G_{\mathbb {Q} }}$ kan bara ha ändliga mängder primtalsdelare och därför $x\in K_{p}$ för alla utom ändligt många primtal ${ \displaystyle p\in \mathbb {N} }$ .

Låt $G_{\mathbb {A} }^{1}$ vara gruppen av alla $x\in G_{\mathbb {A} }$ med $|\det(x)|=1$ . (se Adele Ring för en definition av det absoluta värdet av en Idele). Man kan lätt räkna ut att $G_{\mathbb {Q} }$ är en undergrupp av $G_{\mathbb {A} }^{1}$ .

Med en-till-en-kartan $G_{\mathbb {A} }^{1}\hookrightarrow G_{\mathbb {A} }$ kan vi identifiera grupperna $G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}$ och $G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }$ med varandra.

Gruppen $G_{\mathbb {Q} }$ är tät i $G_{\text{fin}}$ och diskret i $G_{\mathbb {A} }$ . Kvotienten $G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }=G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}$ är inte kompakt men har ändligt Haar-mått.

Därför är $G_{\mathbb {Q} }$ ett gitter av $G_{\mathbb {A} }^{1},$ liknande det klassiska fallet för den modulära gruppen och $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ . Genom övertonsanalys får man också att $G_{\mathbb {A} }^{1}$ är unimodulär.

Adelisering av cuspformer

Vi vill nu bädda in de klassiska Maass cusp-formerna av vikt 0 för den modulära gruppen i $Z_{\mathbb {R} }G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }$ . Detta kan uppnås med "stark approximationssats", som säger att kartan

$\psi :G_{\mathbb {Z} }x_{\infty }\mapsto G_{\mathbb {Q} }(1, x_{\infty })G_{\widehat {\mathbb {Z} }}$

är en $G_{\mathbb {R} }$ -ekvivariant homeomorfism. Så vi får

$G_{\mathbb {Z} }\backslash G_{\mathbb {R} }{\overset {\sim }{\to }}G_ {\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }}$

och dessutom

$G_{\mathbb {Z} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {R} }{\overset {\sim }{\to }}G_{\mathbb {Q} }Z_ {\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }}.$

Maass cuspforms med vikt 0 för modulgrupp kan bäddas in i

$L^{2}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\backslash \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ))\cong L^{2 }(\mathrm {GL} _{2}(\mathbb {Z} )Z_{\mathbb {R} }\backslash \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {R} )).$

Genom den starka approximationssatsen är detta utrymme enhetligt isomorft till

${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{$

$L^{2}(G_{\mathbb {Q}}Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }).$ delrum av

På samma sätt kan man bädda in de klassiska holomorfa spetsformerna. Med en liten generalisering av approximationssatsen kan man bädda in alla Maass-kuspformer (liksom de holomorfa cuspformerna) av vilken vikt som helst för vilken kongruensundergrupp som helst $\Gamma$ i $L^{2}(G_{\mathbb {Q}}Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })$ .

Vi kallar $L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })$ utrymmet för automorfa former av adelegruppen.

Cuspformer av adelegruppen

Låt $R$ vara en ring och låt $N_{R}$ vara gruppen av alla ${\begin{pmatrix}1&r\\&1\\\end {pmatrix}},$ där $r\in R$ . Denna grupp är isomorf till den additiva gruppen av R.

Vi kallar en funktion $f\in L^{2}(G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1} )$ cusp form, if

$\int _{N_{\mathbb {Q} }\backslash N_{\mathbb {A} }}f(nx)dn=0$

gäller för nästan alla $x\in G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}$ . Låt $L_{\text{cusp}}^{2}(G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1} )$ (eller bara $L_{\text{cusp}}^{2}$ ) vara vektorutrymmet för dessa cusp-former. $L_{\text{cusp}}^{2}$ är ett slutet delrum av $L^{2}(G_{\mathbb {Q } }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })$ och den är invariant under den rätta reguljära representationen av $G_{\mathbb {A} }^{1}.$

Man är återigen intresserad av en nedbrytning av $L_{\text{cusp}}^{2}$ till irreducerbara slutna delrum.

Vi har följande teorem :

Mellanrummet $L_{\text{cusp}}^{2}$ bryts ner i en direkt summa av irreducerbara Hilbert-mellanslag med ändliga multipliciteter $N_{\text{cusp }}(\pi )\in \mathbb {N} _{0}$ :

$L_{\text{cusp}}^{2}={\widehat {\bigoplus _{\pi \in {\widehat {G }}_{\mathbb {A} }}}}N_{\text{cusp}}(\pi )\pi$

Beräkningen av dessa multipliciteter $N_{\text{cusp}}(\pi )$ är ett av de viktigaste och svåraste problemen i teorin om automorfa former.

Cuspidala representationer av adele-gruppen

En irreducerbar representation $\pi$ av gruppen $G_{\mathbb {A} }$ kallas cuspidal, om den är isomorf till en underrepresentation av $L_{\text{ cusp}}^{2}$ .

En irreducerbar representation $\pi$ av gruppen $G_{\mathbb {A} }$ kallas tillåten om det finns en kompakt undergrupp $K$ av $K\subset G_{\mathbb {A} }$ , så att $\dim _{K}(V_{\pi },V_{\tau })< \infty$ för alla $\tau \in {\widehat {G}}_{\mathbb {A} }$ .

Man kan visa att varje cuspidal representation är tillåten.

Tillåtligheten behövs för att bevisa den så kallade Tensorprodukt-Theorem anzuwenden, som säger att varje irreducerbar, enhetlig och tillåten representation av gruppen $G_{\mathbb {A} }$ är isomorf till en oändlig tensorprodukt

$\bigotimes _{p\leq \infty }\pi _{p}.$

π $\pi _{p}$ är irreducerbara representationer av gruppen $\displaystyle G_{p}}$ . Nästan alla av dem behöver omramifieras.

(En representation $\pi _{p}$ av gruppen $G_{p}$$(p<\infty )$ kallas unramified, om vektorn Plats

$V_{\pi _{p}}^{K_{p}}=\left\ {v\in V_{\pi _{p}}\mid \pi _{p}(k)v=v\forall k\in K_{p}\right\}$

är inte nollutrymmet.)

En konstruktion av en oändlig tensorprodukt finns i Deitmar ,C.7.

Automorfa L-funktioner

Låt $\pi$ vara en irreducerbar, tillåten enhetsrepresentation av $G_{\mathbb {A} }$ . Enligt tensorproduktsatsen $\pi$ av formen ${\textstyle \pi =\bigotimes _{p\leq \infty }\pi _{p}} ($ se cuspidal representationer av adele-gruppen)

Låt $S$ vara en ändlig uppsättning platser som innehåller $\infty$ och alla förgrenade platser . Man definierar den globala Hecke - funktionen för $\pi$ som

$L^{S}(s,\pi ):=\prod _{p\notin S}L(s,\ pi _{p})$

där $L(s,\pi _{p})$ är en så kallad lokal L-funktion av den lokala representationen $\pi _{p}$ . En konstruktion av lokala L-funktioner finns i Deitmar C. 8.2.

Om $\pi$ är en kuspidal representation, har L-funktionen $L^{S}(s,\pi )$ en meromorf fortsättning på $\mathbb {C}$ . Detta är möjligt eftersom $L^{S}(s,\pi )$ , uppfyller vissa funktionella ekvationer.

Se även

• Harmonisk Maass-form
• Mock modulär form
• Riktig analytisk Eisenstein-serie
• Automorf form
• Modulär form
• Voronoi formel

•   Bringmann, Kathrin ; Folsom, Amanda (2014) , "Nästan harmoniska Maass-former och Kac–Wakimoto-karaktärer", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 694 : 179–202, arXiv : 1112.4726 , doi : 10.1502 12-02 12-02 12-02 12-02 12-02 12-02 12-02 5
•    Bump, Daniel (1997), Automorphic former and representations , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 55, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511609572 , ISBN 978-0-521-55098-7 , MR 1431508
•   Anton Deitmar: Automorphe Formen . Springer, Berlin/ Heidelberg ua 2010, ISBN 978-3-642-12389-4 .
•   Duke, W. ; Friedlander, JB ; Iwaniec, H. (2002), "The subconvexity problem for Artin L -functions", Inventiones Mathematicae , 149 (3): 489–577, doi : 10.1007/s002220200223 , MR 1923476
•   Henryk Iwaniec : Spektrala metoder för automorfa former (Forskarstudier i matematik) . American Mathematical Society ; Auflage: 2. (november 2002), ISBN 978-0821831601 .
• Maass, Hans ( 1949), "Über eine neue Art von nichtanalytischen automorphen Funktionen und die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen", Mathematische Annalen , 121 : 141–183, doi : 10.1007/ BF013296,19296