Gonalitet av en algebraisk kurva
I matematik definieras gonaliteten för en algebraisk kurva C som den lägsta graden av en icke - konstant rationell karta från C till den projektiva linjen . I mer algebraiska termer, om C definieras över fältet K och K ( C ) betecknar funktionsfältet för C , så är gonaliteten det lägsta värdet som tas av graderna av fältförlängningar
- K ( C )/ K ( f )
av funktionsfältet över dess underfält genererade av enstaka funktioner f .
Om K är algebraiskt stängd, så är gonaliteten 1 just för kurvor av släkte 0. Gonaliteten är 2 för kurvor av släkte 1 ( elliptiska kurvor ) och för hyperelliptiska kurvor (detta inkluderar alla kurvor av släkte 2). För släktet g ≥ 3 är det inte längre så att släktet bestämmer gonaliteten. Gonaliteten för den generiska kurvan för släktet g är golvfunktionen för
- ( g + 3)/2.
Trigonala kurvor är de med gonalitet 3, och detta fall gav upphov till namnet i allmänhet. Trigonala kurvor inkluderar Picard-kurvorna, av släkte tre och givna av en ekvation
- y 3 = Q ( x )
där Q är av grad 4.
Gonalitetsförmodan av M. Green och R. Lazarsfeld förutsäger att gonaliteten för den algebraiska kurvan C kan beräknas med homologiska algebra- medel, från en minimal upplösning av en inverterbar bunt av hög grad. I många fall är gonaliteten två mer än Clifford-indexet . Green –Lazarsfeld-förmodan är en exakt formel i termer av de graderade Betti-talen för en grad d inbäddning i r dimensioner, för d stor med avseende på släktet. Skriva b ( C ), med avseende på en given sådan inbäddning av C och den minimala fria upplösningen för dess homogena koordinatring , för det lägsta index i för vilket β i , i + 1 är noll, då är den förmodade formeln för gonaliteten
- r + 1 - b ( C ).
Enligt Federico Amodeos ICM-tal från 1900 har begreppet (men inte terminologin) sitt ursprung i avsnitt V i Riemanns teori om Abeliska funktioner. Amodeo använde termen "gonalità" redan 1893.
- Eisenbud, David (2005). Syzygiernas geometri. En andra kurs i kommutativ algebra och algebraisk geometri . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 229. New York, NY: Springer-Verlag . s. 171, 178. ISBN 0-387-22215-4 . MR 2103875 . Zbl 1066.14001 .