Mordell-Weils sats

Mordell-Weils sats
Fält	Talteori
Förmodat av	Henri Poincaré
Gissade in	1901
Första beviset av	André Weil
Första beviset in	1929
Generaliseringar	; ; Faltings teorem Bombieri–Lang gissning Mordell–Lang gissning

Inom matematik anger Mordell –Weil-satsen att för en abelsk variant $A$ över ett talfält $K$ , gruppen $A(K)$ av K -rationella punkter av $A$ är en finitely-genererad abelsk grupp , kallad Mordell–Weil-gruppen . Fallet med $A$ en elliptisk kurva $E$ och $K$ fältet av rationella siffror är Mordells sats , som svarar på en fråga som tydligen ställdes av Henri Poincaré runt 1901; det bevisades av Louis Mordell 1922. Det är en grundläggande teorem för diofantisk geometri och aritmetiken för abelska sorter .

Historia

Tangent -ackord-processen (en form av additionssats på en kubisk kurva ) hade varit känd så långt tillbaka som på 1600-talet. Processen med oändlig härkomst av Fermat var välkänd, men Mordell lyckades fastställa ändligheten av kvotgruppen $E(\mathbb {Q} )/2E(\mathbb {Q } )$ vilket utgör ett stort steg i bevisningen. Visst är ändligheten för denna grupp ett nödvändigt villkor för att $E(\mathbb {Q} )$ ska genereras ändligt; och det visar att rangordningen är ändlig. Detta visar sig vara den väsentliga svårigheten. Det kan bevisas genom direkt analys av dubbleringen av en punkt på E .

Några år senare tog André Weil upp ämnet och producerade generaliseringen till jakobianer av högre släktkurvor över godtyckliga nummerfält i sin doktorsavhandling publicerad 1928. Mer abstrakta metoder krävdes för att utföra ett bevis med samma grundstruktur. Den andra halvan av beviset behöver någon typ av höjdfunktion , i termer av vilken man kan binda "storleken" på punkterna i $A(K)$ . Ett visst mått på koordinaterna räcker; höjder är logaritmiska, så att det (i grova drag) är en fråga om hur många siffror som krävs för att skriva ner en uppsättning homogena koordinater . För en abelsk sort finns det dock ingen a priori föredragen representation som en projektiv sort .

Båda halvorna av beviset har förbättrats avsevärt genom efterföljande tekniska framsteg: i Galois kohomologi som tillämpas på härkomst, och i studiet av de bästa höjdfunktionerna (som är kvadratiska former ).

Ytterligare resultat

Teoremet lämnar fortfarande ett antal frågor obesvarade:

Beräkning av rang. Detta är fortfarande ett krävande beräkningsproblem och har inte alltid effektiva lösningar .
Innebörden av rangen: se Birch och Swinnerton-Dyer gissningar .
Möjliga torsionsundergrupper: Barry Mazur bevisade 1978 att Mordell-Weil-gruppen bara kan ha ändligt många torsionsundergrupper. Detta är fallet med den elliptiska kurvan för torsionsförmodan .
För en kurva $C$ i dess jakobiska variant som $A$ , kan skärningspunkten mellan $C$ och $A(K)$ vara oändlig? På grund av Faltings teorem är detta falskt om inte $C=A$ .
$C$ i samma sammanhang innehålla oändligt många torsionspunkter av $A$ ? På grund av Manin-Mumford-förmodan , bevisad av Michel Raynaud, är detta falskt om det inte är det elliptiska kurvfallet.

Se även

Weil, André (1929). "L'arithmétique sur les courbes algébriques". Acta Mathematica . Vol. 52, nr. 1. s. 281–315. doi : 10.1007/BF02592688 . MR 1555278 .
Mordell, Louis Joel (1922). "Om de rationella lösningarna av de obestämda ekvationerna i tredje och fjärde graden" . Proc. Camb. Phil. Soc . Vol. 21. s. 179–192.
Joseph H., Silverman (1986). Aritmetiken för elliptiska kurvor . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 106. Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-0-387-09494-6 . ISBN 0-387-96203-4 . MR 2514094 .