Plücker formel

Inom matematiken är en Plücker-formel , uppkallad efter Julius Plücker , en av en familj av formler, av en typ som först utvecklades av Plücker på 1830-talet, som relaterar vissa numeriska invarianter av algebraiska kurvor till motsvarande invarianter av deras dubbla kurvor . Den invariant som kallas släktet , gemensam för både kurvan och dess dubbla, är ansluten till de andra invarianterna med liknande formler. Dessa formler, och det faktum att var och en av invarianterna måste vara ett positivt heltal, sätter ganska strikta begränsningar för deras möjliga värden.

Plücker-invarianter och grundläggande ekvationer

En kurva i detta sammanhang definieras av en icke-degenererad algebraisk ekvation i det komplexa projektiva planet . Linjer i detta plan motsvarar punkter i det dubbla projektiva planet och linjerna som tangerar en given algebraisk kurva C motsvarar punkter i en algebraisk kurva C ^* som kallas den dubbla kurvan . I överensstämmelsen mellan det projektiva planet och dess dual, motsvarar punkter på C linjer tangent C ^* , så dualen av C ^* kan identifieras med C .

De två första invarianterna som omfattas av Plückerformlerna är graden d på kurvan C och graden d ^* , klassiskt kallad klassen C. Geometriskt är d antalet gånger en given linje skär C med korrekt räknade multipliciteter. (Detta inkluderar komplexa punkter och punkter i oändligheten eftersom kurvorna anses vara delmängder av det komplexa projektiva planet.) På samma sätt d ^* antalet tangenter till C som är linjer genom en given punkt på planet; så till exempel en konisk sektion har grad och klass både 2. Om C inte har några singulariteter , säger den första Plücker-ekvationen att

$d^{*}=d(d-1)\,$

men detta måste korrigeras för singulära kurvor.

Av de dubbla punkterna i C , låt δ vara talet som är ordinärt, dvs som har distinkta tangenter (dessa kallas också noder ) eller är isolerade punkter , och låt κ vara talet som är cusps , dvs som har en enkel tangent (spinoder) ). Om C har högre ordning singulariteter räknas dessa som multipla dubbelpoäng enligt en analys av singularitetens natur. Till exempel räknas en vanlig trippelpoäng som 3 dubbelpoäng. Återigen, komplexa punkter och punkter i oändligheten ingår i dessa räkningar. Den korrigerade formen är av den första Plücker-ekvationen är

$d^{*}=d(d-1)-2\delta -3\kappa .\,$

På liknande sätt, låt δ ^* vara antalet vanliga dubbelpunkter och κ ^* antalet cusps av C ^* . Då säger den andra Plücker-ekvationen

$\kappa ^{*}=3d(d-2)-6\delta -8\kappa .\,$

Den geometriska tolkningen av en vanlig dubbelpunkt av C ^* är en linje som tangerar kurvan vid två punkter ( dubbeltangens ) och den geometriska tolkningen av en cusp av C ^* är en böjningspunkt (stationär tangent).

Tänk till exempel på fallet med en slät kubik:

$d=3,\ \delta =\kappa =0$

Ovanstående formel visar att den har

$\kappa ^{*}=9\,$

böjningar. Om kubiken urartar och får en dubbelpunkt, så konvergerar 6 punkter till singularpunkten och endast 3 böjningar återstår längs singularkurvan. Om kubiken urartar och får en cusp så återstår bara en böjning.

Observera att de två första Plücker-ekvationerna har dubbla versioner:

$d=d^{*}(d^{*}-1)-2\delta ^{*}-3\kappa ^{*},\,$

$\kappa =3d^{*}(d^{*}-2)-6\delta ^{*}-8\kappa ^{*}.\,$

De fyra ekvationerna hittills är i själva verket beroende, så vilka tre som helst kan användas för att härleda den återstående. Utifrån dem, givet vilka som helst tre av de sex invarianterna, d , d ^* , δ, δ ^* , κ, κ ^* , kan de återstående tre beräknas.

Slutligen kan släktet C , klassiskt känt som bristen på C , definieras som

$g={1 \over 2}(d-1)(d-2)-\delta -\kappa .$

Detta är lika med den dubbla kvantiteten

$g={1 \över 2}(d^{*}-1)(d^{*}-2 )-\delta ^{*}-\kappa ^{*}$

och är ett positivt heltal.

Sammanlagt finns det fyra oberoende ekvationer i 7 okända, och med dem kan vilka tre av dessa invarianter som helst användas för att beräkna de återstående fyra.

Icke-singular kurvor

Ett viktigt specialfall är när kurvan C är icke-singular, eller ekvivalent δ och κ är 0, så de återstående invarianterna kan beräknas endast i termer av d . I det här fallet är resultaten:

$d^{*}=d(d-1)\,$

${\ displaystyle \delta ^{*}={1 \over 2}d(d-2)(d-3)(d+3)} κ ∗ = 3 d ( d −$

$} =3d(d-2)\,}$

$g={1 \over 2}(d-1)(d-2).$

Så, till exempel, en icke-singular kvartsplanskurva är av släkte 3 och har 28 bitangenter och 24 böjningspunkter.

Kurvtyper

Kurvor klassificeras i typer enligt deras Plücker-invarianter. Plücker-ekvationerna tillsammans med begränsningen att Plücker-invarianterna alla måste vara naturliga tal begränsar i hög grad antalet möjliga typer för kurvor av en given grad. Kurvor som är projektivt ekvivalenta har samma typ, även om kurvor av samma typ i allmänhet inte är projektivt ekvivalenta. Kurvor av grad 2, koniska sektioner, har en enda typ som ges av d = d ^* =2, δ=δ ^* =κ=κ ^* = g =0.

För kurvor av grad 3 finns det tre möjliga typer, angivna av:

Typ	d	d *	δ	δ *	κ	κ *	g
(i)	3	6	0	0	0	9	1
(ii)	3	4	1	0	0	3	0
(iii)	3	3	0	0	1	1	0

ii ) och (iii) är de rationella kubiken och är anropsnodala respektive cuspidala . Kurvor av typ (i) är de icke-singulära kubiken ( elliptiska kurvor) .

För kurvor av grad 4 finns det 10 möjliga typer, angivna av:

Typ	d	d *	δ	δ *	κ	κ *	g
(i)	4	12	0	28	0	24	3
(ii)	4	10	1	16	0	18	2
(iii)	4	9	0	10	1	16	2
(iv)	4	8	2	8	0	12	1
(v)	4	7	1	4	1	10	1
(vi)	4	6	0	1	2	8	1
(vii)	4	6	3	4	0	6	0
(viii)	4	5	2	2	1	4	0
(ix)	4	4	1	1	2	2	0
(x)	4	3	0	1	3	0	0

• Shokurov, VV (2001) [1994], "Plücker-formler" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Salmon, George (1879) A Treatise on the Higher Plane Curves s. 64ff.