ELSV formel

Inom matematik är ELSV-formeln , uppkallad efter dess fyra författare Torsten Ekedahl , Sergei Lando , Michael Shapiro, Alek Vainshtein, en likhet mellan ett Hurwitz-tal (räknat förgrenade täckningar av sfären) och en integral över modulrum av stabila kurvor .

Flera grundläggande resultat i skärningsteorin för modulrum av kurvor kan härledas från ELSV-formeln, inklusive Witten-förmodan , Virasoro-begränsningarna och $\lambda _{g}$ -förmodan .

Det generaliseras av Gopakumar-Mariño-Vafa-formeln.

Formeln

Definiera Hurwitz-numret

$h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}$

som antalet förgrenade täckningar av den komplexa projektiva linjen ( Riemann-sfär , $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ))$ som är sammankopplade kurvor av släktet g , med n numrerade förbilder av punkten i oändligheten med multipliciteter $k_{1},\dots ,k_{n}$ och m fler enkla grenpunkter . Om en beläggning här har en icke-trivial automorfismgrupp G ska den räknas med vikt $1/|G|$ .

ELSV-formeln lyder då

$h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}={\dfrac {m!}{\#{\text{Aut}}(k_{1},\ldots ,k_{n })}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\ psi _{n})}}.$

Här är notationen som följer:

• $g\geq 0$ är ett icke-negativt heltal;
• $n\geq 1$ är ett positivt heltal;
• $k_{1},\dots ,k_{n}$ är positiva heltal;
• $\#\operatörsnamn {Aut} (k_{1},\ldots ,k_{n})$ är antalet automorfismer av n -tupeln $(k_{1},\ldots ,k_{n});$
• $m=\sum k_{i}+n+2g-2;$
• ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ är modulutrymmet för stabila kurvor av släktet g med n markerade punkter;
• E är Hodge-vektorbunten och c(E*) den totala Chern-klassen för dess dubbla vektorbunt;
• ψ _i är den första Chern-klassen av cotangenslinjebunten till den i -te markerade punkten.

Siffrorna

$h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}$

i vänster sida har en kombinatorisk definition och uppfyller egenskaper som kan bevisas kombinatoriskt. Var och en av dessa egenskaper översätts till ett uttalande om integralerna på höger sida av ELSV-formeln ( Kazarian 2009 ).

Hurwitz-siffrorna

Hurwitz-siffrorna

$h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}$

har också en definition i rent algebraiska termer. Med K = k ₁ + ... + k _n och m = K + n + 2 g − 2 _, låt τ ₁ , ..., τ _m vara transpositioner i den symmetriska gruppen SK och σ en permutation med n numrerade cykler av längderna k ₁ , ..., k _n . Sedan

$(\tau _{1},\dots ,\tau _{m},\sigma )$

är en transitiv faktorisering av identitet av typ ( k ₁ , ..., k _n ) om produkten

$\tau _{1}\cdots \tau _{m}\sigma$

är lika med identitetspermutationen och den grupp som genereras av

$\tau _{1},\dots ,\tau _{m}$

är transitiv .

Definition. $h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}$ är antalet transitiva faktoriseringar av typens identitet ( k ₁ , ..., k _{n )} dividerat av K !.

Exempel A. Antalet $h_{g;k}$ är 1/ k ! gånger antalet listor med transpositioner $(\tau _{1},\dots ,\tau _{k+2g-1})$ vars produkt är en k -cykel. Med andra ord, $h_{g;k}$ är 1/ k gånger antalet faktoriseringar av en given k -cykel till en produkt av k + 2 g − 1 transpositioner.

Motsvarigheten mellan de två definitionerna av Hurwitz-tal (att räkna förgrenade täckningar av sfären, eller räkna transitiva faktoriseringar) fastställs genom att beskriva en förgrenad täckning av dess monodromi . Närmare bestämt: välj en baspunkt på sfären, numrera dess förbilder från 1 till K (detta introducerar en faktor av K !, vilket förklarar uppdelningen av den), och överväg monodromerna för täckningen kring grenpunkten. Detta leder till en transitiv faktorisering.

Integralen över modulutrymmet

Modulutrymmet ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ är en jämn Deligne–Mumford-stapel med (komplex) dimension 3 g − 3 + n . (Heuristiskt beter sig detta ungefär som ett komplext grenrör, förutom att integraler av karakteristiska klasser som är heltal för grenrör är rationella tal för Deligne–Mumford-stackar.)

Hodge-bunten E är rang- g -vektorbunten över modulutrymmet ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ vars fiber över en kurva ( C , x ₁ , ..., x _n ) med n markerade punkter är utrymmet för abelska differentialer på C . Dess Chern-klasser betecknas med

$\lambda _{j}=c_{j}(E)\in H^{2j}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} ).$

Vi har

$c(E^{*})=1-\lambda _{1}+\lambda _{2}-\cdots +(-1)^{g}\lambda _{g}.$

ψ-klasserna. Introducera linjebuntar ${\mathcal {L}}_{1},\ldots ,{\mathcal {L}}_{n}$ över ${ \overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ . Fibern i ${\mathcal {L}}_{i}$ över en kurva ( C , x ₁ , ..., x _n ) är den kotangenslinjen till C vid x _i . Den första Chern-klassen av ${\mathcal {L}}_{i}$ betecknas med

$\psi _{i}=c_{1}({\mathcal {L}}_{i})\in H^{2}({\overline {\mathcal {M}}}_{g, n},\mathbf {Q} ).$

Integranden. Bråket $1/(1-k_{i}\psi _{i})$ tolkas som ${\displaystyle 1+k_{i}\psi _{i}+k_{i}^{2}\psi _{i}^{2}+\cdots } , där summan kan skäras i$ grad 3 g − 3 + n (dimensionen av modulutrymmet). Integranden är alltså en produkt av n + 1 faktorer. Vi expanderar denna produkt, extraherar delen av grad 3 g − 3 + n från den och integrerar den över modulutrymmet.

Integralen som ett polynom. Därav följer att integralen

$\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g, n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}$

är ett symmetriskt polynom i variablerna k ₁ , ..., k _n , vars monomer har grader mellan 3 g − 3 + n och 2 g − 3 + n . Koefficienten för monomialen ${\displaystyle k_{1}^{d_{1}}\cdots k_{n}^{d_{n}}} är$ lika med

$\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}(- 1)^{j}\lambda _{j}\psi _{1}^{d_{1}}\cdots \psi _{n}^{d_{n}},$

var

$j=3g-3+n-\sum d_{i}.$

Anmärkning. Talens polynomitet

${\frac {h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}{m!}}\prod _{i=1}^{n}{\frac { k_{i}!}{k_{i}^{k_{i}}}}$

antogs först av IP Goulden och DM Jackson. Inget bevis som är oberoende av ELSV-formeln är känt.

Exempel B. Låt g = n = 1. Sedan

$\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{ 1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1- \lambda _{1}}{1-k_{1}\psi _{1}}}=\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k_{1}-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right].$

Exempel

Låt n = g = 1. För att förenkla notationen, beteckna k ₁ med k . Vi har m = K + n + 2 g − 2 = k + 1.

Enligt exempel B lyder ELSV-formeln i detta fall

$h_{1;k}=(k+1)!{\frac {k^{k}}{k!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1, 1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k\psi _{1}}}=(k+1)k^{k}\left\{\left[\int _{ {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1 ,1}}\lambda _{1}\right]\right\}.$

Å andra sidan, enligt exempel A, är Hurwitz-talet _h 1 _{, k} lika med 1/ k gånger antalet sätt att dekomponera en k -cykel i den symmetriska gruppen Sk till en produkt av k + 1-transpositioner. Speciellt h _{1, 1} = 0 (eftersom det inte finns några transpositioner i S ₁ ), medan h _{1, 2} = 1/2 (eftersom det finns en unik faktorisering av transpositionen (1 2) i S ₂ till en produkt av tre införlivningar).

Att plugga in dessa två värden i ELSV-formeln hittar vi

$\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1 ,1}}\lambda _{1}={\frac {1}{24}}.$

Vilket vi drar slutsatser av

$h_{1;k}={\frac {(k^{2}-1)k^{k}}{24}}.$

Historia

ELSV-formeln tillkännagavs av Ekedahl et al. (1999) , men med ett felaktigt tecken. Fantechi & Pandharipande (2002) bevisade det för k ₁ = ... = k _n = 1 (med det korrigerade tecknet). Graber & Vakil (2003) bevisade formeln i full allmänhet med hjälp av lokaliseringstekniker. Beviset som tillkännagavs av de fyra första författarna följde ( Ekedahl et al. 2001) . Nu när utrymmet för stabila kartor till den projektiva linjen i förhållande till en punkt har konstruerats av Li (2001), kan ett bevis erhållas omedelbart genom att tillämpa den virtuella lokaliseringen på detta utrymme.

Kazarian (2009) , som bygger på tidigare arbete av flera personer, gav ett enhetligt sätt att härleda de flesta kända resultaten i intersektionsteorin för ${\overline {\mathcal {M}}}_{g, n}$ från ELSV-formeln.

Idé om bevis

Låt ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}} vara$ utrymmet för stabila kartor f från en genus g -kurva till P ¹ ( C ) så att f har exakt n poler av ordningsföljder $k_{1},\dots ,k_{n}$ .

₀₀ Förgreningsmorfismen br eller Lyashko $f\in {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}$ Looijenga-kartan tilldelar ; den oordnade mängden av dess m grenpunkter i C med multipliciteter beaktats. Egentligen fungerar denna definition bara om f är en jämn karta. Men det har en naturlig förlängning till utrymmet av stallkartor. Till exempel anses värdet av f på en nod vara en dubbelgrenpunkt, vilket kan ses genom att titta på familjen av kurvor C _t som ges av ekvationen xy = t och familjen av kartor f _t ( x , y ) = x + y . Som t → 0, tenderar två grenpunkter av f _t mot värdet av f vid noden av C .

Förgreningsmorfismen är av ändlig grad, men har oändliga fibrer. Vårt mål är nu att beräkna dess examen på två olika sätt.

Det första sättet är att räkna förbilderna av en generisk punkt i bilden. Med andra ord, vi räknar de förgrenade beläggningarna av P ¹ ( C ) med en grenpunkt av typen ( k ₁ , ..., k _n ) vid ∞ och m mer fixerade enkla grenpunkter. Detta är just Hurwitz-talet $h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}$ .

Det andra sättet att hitta graden av br är att titta på förbilden av den mest degenererade punkten, nämligen att sätta alla m grenpunkter tillsammans vid 0 i C .

Förbilden av denna punkt i ${\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}$ är en oändlig fiber av br isomorf till modulutrymmet ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ . Givet en stabil kurva med $z\mapsto z^{k_{1}},\dots ,z\mapsto z^{k_{n}}$ markerade punkter skickar vi denna kurva till 0 i P ¹ ( C ) och fäster till dess markerade punkter n rationella komponenter på vilka den stabila kartan har formen . Sålunda få vi alla stabila kartor i ${\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}$ oframifierad utanför 0 och ∞. Standardmetoder för algebraisk geometri gör att man kan hitta graden av en karta genom att titta på en oändlig fiber och dess normala bunt. Resultatet uttrycks som en integral av vissa karakteristiska klasser över den oändliga fibern. I vårt fall råkar denna integral vara lika med den högra sidan av ELSV-formeln.

Således uttrycker ELSV-formeln likheten mellan två sätt att beräkna graden av grenmorfismen.

•   Ekedahl, T.; Lando, S.; Shapiro, M.; Vainshtein, A. (1999). "Om Hurwitz-tal och Hodge-integraler". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 328 (12): 1175–1180. arXiv : math/9902104 . Bibcode : 1999CRASM.328.1175E . doi : 10.1016/S0764-4442(99)80435-2 . S2CID 15218497 .
•   Ekedahl, T.; Lando, S.; Shapiro, M.; Vainshtein, A. (2001). "Hurwitz-tal och skärningspunkter på modulrum av kurvor". Inventiones Mathematicae . 146 (2): 297–327. arXiv : math/0004096 . Bibcode : 2001InMat.146..297E . doi : 10.1007/s002220100164 . S2CID 10881259 .
•   Fantechi, B.; Pandharipande, R. (2002). "Stallkartor och grendelare". Compositio Mathematica . 130 (3): 345–364. arXiv : math/9905104 . Bibcode : 1999math......5104F . doi : 10.1023/A:1014347115536 ​​. S2CID 1124032 .
•   Graber, T.; Vakil, R. (2003). "Hodge-integraler och Hurwitz-tal via virtuell lokalisering". Compositio Mathematica . 135 (1): 25–36. arXiv : math/0003028 . Bibcode : 2000math......3028G . doi : 10.1023/A:1021791611677 . S2CID 15706096 .
• Kazarian, Maxim (2009). "KP-hierarki för Hodge-integraler" . Framsteg i matematik . 221 (1): 1–21. arXiv : 0809.3263 . doi : 10.1016/j.aim.2008.10.017 .
• Li, juni (2001). "Stabila morfismer till singulära scheman och relativa stabila morfismer" . Journal of Differential Geometry . 57 (3): 509–578. arXiv : math/0009097 . doi : 10.4310/jdg/1090348132 .