Prym sort
Inom matematiken är Prym- varietetskonstruktionen (uppkallad efter Friedrich Prym ) en metod inom algebraisk geometri för att göra en abelsk variant från en morfism av algebraiska kurvor . I sin ursprungliga form applicerades den på en oförgrenad dubbel beläggning av en Riemann-yta och användes av F. Schottky och HWE Jung i samband med Schottky-problemet, som det nu kallas, med att karakterisera jakobianska sorter bland abelska sorter. Det sägs ha dykt upp först i Riemanns sena arbete , och studerades omfattande av Wirtinger 1895, inklusive degenererade fall.
Givet en icke-konstant morfism
- φ: C 1 → C 2
av algebraiska kurvor, skriv J i för den jakobianska varianten av C i . Konstruera sedan motsvarande morfism från φ
- ψ: J 1 → J 2 ,
som kan definieras på en divisorklass D av grad noll genom att applicera φ på varje punkt i divisorn. Detta är en väldefinierad morfism, ofta kallad normhomomorfism . Då är Prym-varianten av φ kärnan i ψ. För att kvalificera det något, för att få en abelsk sort , kan den kopplade komponenten av identiteten för det reducerade schemat som ligger bakom kärnan vara avsedd. Eller med andra ord ta den största abelska undervarianten av J 1 där ψ är trivial.
Teorin om Prym-sorter var vilande under lång tid, tills den återupplivades av David Mumford omkring 1970. Den spelar nu en betydande roll i vissa samtida teorier, till exempel om Kadomtsev–Petviashvili-ekvationen . En fördel med metoden är att den tillåter en att tillämpa teorin om kurvor för att studera en bredare klass av abelska sorter än jakobianer. Till exempel huvudsakligen polariserade abelska varianter (ppav) med dimension > 3 i allmänhet inte jakobiska, men alla ppav med dimension 5 eller mindre är Prym-varianter. Det är av denna anledning som ppavs är ganska väl förstådda upp till dimension 5.
- Birkenhake, Christina; Lange, Herbert (2004). "Prym-sorter". Komplexa Abeliska sorter . New York: Springer-Verlag. s. 363–410. ISBN 3-540-20488-1 .
- Mumford, David (1974), "Prym varianter. I", i Ahlfors, Lars V.; Kra, Irwin; Nirenberg, Louis; et al. (red.), Contributions to analysis (en samling artiklar tillägnad Lipman Bers) , Boston, MA: Academic Press , s. 325–350, ISBN 978-0-12-044850-0 , MR 0379510