Belyis sats

Inom matematiken säger Belyis sats om algebraiska kurvor att varje icke-singular algebraisk kurva C , definierad av algebraiska antal koefficienter, representerar en kompakt Riemann yta som är en förgrenad täckning av Riemann sfären , förgrenad på tre punkter endast.

Detta är ett resultat av GV Belyi från 1979. På den tiden ansågs det överraskande, och det sporrade Grothendieck att utveckla sin teori om dessins d'enfant , som beskriver icke-singulära algebraiska kurvor över de algebraiska talen med hjälp av kombinatoriska data.

Kvotienter för det övre halvplanet

Härav följer att Riemannytan i fråga kan anses vara kvoten

H /Γ

(där H är det övre halvplanet och Γ är en undergrupp av ändligt index i den modulära gruppen ) kompakterad av cusps . Eftersom den modulära gruppen har icke-kongruensundergrupper , är det inte slutsatsen att någon sådan kurva är en modulär kurva .

Belyi funktioner

En Belyi-funktion är en holomorf karta från en kompakt Riemann-yta S till den komplexa projektiva linjen P ¹ ( C ) förgrenad endast över tre punkter, som efter en Möbius-transformation kan anses vara $\{ 0,1,\infty \}$ . Belyi-funktioner kan beskrivas kombinatoriskt av dessins d'enfants .

Belyi funktioner och dessins d'enfants – men inte Belyis sats – dateras åtminstone till Felix Kleins arbete ; han använde dem i sin artikel ( Klein 1879 ) för att studera ett 11-faldigt omslag av den komplexa projektiva linjen med monodromigruppen PSL(2,11).

Ansökningar

Belyis sats är en existenssats för Belyi-funktioner, och har senare använts mycket i det omvända Galois-problemet .

•    Serre, Jean-Pierre (1997). Föreläsningar om Mordell-Weils sats . Aspekter av matematik. Vol. 15. Översatt från franskan av Martin Brown från anteckningar av Michel Waldschmidt (tredje upplagan). Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig. doi : 10.1007/978-3-663-10632-6 . ISBN 3-528-28968-6 . MR 1757192 .
• Klein, Felix (1879). "Über die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen" [Om elliptiska funktioners omvandling av elfte ordningen]. Mathematische Annalen (på tyska). 15 (3–4): 533–555. doi : 10.1007/BF02086276 .
•   Belyĭ, Gennadiĭ Vladimirovich (1980). Översatt av Neal Koblitz . "Galois-förlängningar av ett maximalt cyklotomiskt fält". Matematik. USSR Izv . 14 (2): 247–256. doi : 10.1070/IM1980v014n02ABEH001096 . MR 0534593 .

Vidare läsning

•    Girondo, Ernesto; González-Diez, Gabino (2012), Introduktion till kompakta Riemann-ytor och dessins d'enfants , London Mathematical Society Student Texts, vol. 79, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-74022-7 , Zbl 1253.30001
•   Wushi Goldring (2012), "Förenande teman som föreslås av Belyi's Theorem", i Dorian Goldfeld; Jay Jörgenson; Peter Jones; Dinakar Ramakrishnan; Kenneth A. Ribet; John Tate (red.), Talteori, analys och geometri. Till minne av Serge Lang , Springer, s. 181–214, ISBN 978-1-4614-1259-5