Meromorf funktion

Inom det matematiska området komplex analys är en meromorf funktion på en öppen delmängd D av det komplexa planet en funktion som är holomorf på hela D förutom en uppsättning isolerade punkter , som är poler av funktionen. Termen kommer från grekiskan meros ( μέρος ), som betyder "del".

Varje meromorf funktion på D kan uttryckas som förhållandet mellan två holomorfa funktioner (med nämnaren inte konstant 0) definierade på D : vilken pol som helst måste sammanfalla med en noll i nämnaren.

Gammafunktionen är meromorf i hela det komplexa planet .

Heuristisk beskrivning

Intuitivt är en meromorf funktion ett förhållande mellan två väluppfostrade (holomorfa) funktioner. En sådan funktion kommer fortfarande att fungera väl, utom möjligen vid de punkter där bråkets nämnare är noll. Om nämnaren har en nolla vid z och täljaren inte har det, kommer värdet på funktionen att närma sig oändligheten; om båda delarna har en nolla vid z måste man jämföra multipliciteten av dessa nollor.

Ur en algebraisk synvinkel, om funktionens domän är ansluten , är uppsättningen av meromorfa funktioner fältet av fraktioner av den integrala domänen av uppsättningen holomorfa funktioner. Detta är analogt med förhållandet mellan de rationella talen och heltalen .

Före, alternativ användning

Både det studieområde där termen används och den exakta innebörden av termen förändrades under 1900-talet. På 1930-talet, i gruppteorin , var en meromorf funktion (eller meromorf ) en funktion från en grupp G in i sig själv som bevarade produkten på gruppen. Bilden av denna funktion kallades en automorfism av G . På liknande sätt var en homomorf funktion (eller homomorf ) en funktion mellan grupper som bevarade produkten, medan en homomorfism var bilden av en homomorf. Denna form av termen är nu föråldrad, och den relaterade termen meromorph används inte längre i gruppteorin. Termen endomorfism används nu för själva funktionen, utan något speciellt namn ges till bilden av funktionen.

En meromorf funktion är inte nödvändigtvis en endomorfism, eftersom de komplexa punkterna vid dess poler inte är i dess domän, men kan vara inom dess område.

Egenskaper

Eftersom polerna för en meromorf funktion är isolerade finns det på sin höjd oräkneligt många. Uppsättningen poler kan vara oändlig, vilket exemplifieras av funktionen

f(z)=\csc z={\frac {1}{\sin z}}.

Genom att använda analytisk fortsättning för att eliminera borttagbara singulariteter kan meromorfa funktioner adderas, subtraheras, multipliceras och kvoten $f/g$ kan bildas om inte $g(z)=0$ på en ansluten komponent i D . Således, om D är ansluten, bildar de meromorfa funktionerna ett fält , i själva verket en fältförlängning av de komplexa talen .

Högre dimensioner

I flera komplexa variabler definieras en meromorf funktion som lokalt en kvot av två holomorfa funktioner. Till exempel är $f(z_{1},z_{2})=z_{1}/z_{2}$ en meromorf funktion på de två -dimensionellt komplext affint utrymme. Här är det inte längre $(0,0)$ att varje meromorf funktion kan betraktas som en holomorf funktion med värden i Riemann-sfären : Det finns en uppsättning av "obestämdhet" av kodimension två (i det givna exemplet består denna mängd av ursprunget ).

Till skillnad från i dimension ett, i högre dimensioner finns det kompakta komplexa grenrör där det inte finns några icke-konstanta meromorfa funktioner, till exempel, mest komplexa tori .

Exempel

Alla rationella funktioner , till exempel $f(z)={\frac {z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z -1}},$ är meromorfa på hela det komplexa planet.
Funktionerna $f(z)={\frac {e^{z}}{z}}\quad {\text {and}}\quad f(z)={\frac {\sin {z}}{(z-1)^{2}}}$ såväl som gammafunktionen och Riemann zetafunktionen är meromorfa på hela det komplexa planet.
Funktionen $f(z)=e^{\frac {1}{z}}$ definieras i hela det komplexa planet förutom origo, 0. Emellertid är 0 inte en pol för denna funktion, snarare en väsentlig singularitet . Således är denna funktion inte meromorf i hela det komplexa planet. Det är dock meromorft (även holomorft) på $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ .
Den komplexa logaritmfunktionen $f(z)=\ln(z)$ är inte meromorft på hela det komplexa planet, eftersom det inte kan definieras på hela det komplexa planet samtidigt som det endast exkluderar en uppsättning isolerade punkter.
Funktionen $f(z)=\csc {\frac {1}{z}}={\frac {1}{\sin \left( {\frac {1}{z}}\right)}}$ är inte meromorf i hela planet, eftersom punkten $z=0$ är en ackumuleringspunkt av poler och därför inte är en isolerad singularitet.
Funktionen $f(z)=\sin {\frac {1}{z}}$ är inte heller meromorf, eftersom den har en väsentlig singularitet vid 0.

På Riemann-ytor

På en Riemann-yta tillåter varje punkt ett öppet område som är biholomorft till en öppen delmängd av det komplexa planet. Därmed kan begreppet meromorf funktion definieras för varje Riemann-yta.

När D är hela Riemann-sfären är fältet för meromorfa funktioner helt enkelt fältet för rationella funktioner i en variabel över det komplexa fältet, eftersom man kan bevisa att vilken meromorf funktion som helst på sfären är rationell. (Detta är ett specialfall av den så kallade GAGA -principen.)

För varje Riemann-yta är en meromorf funktion detsamma som en holomorf funktion som mappar till Riemann-sfären och som inte är den konstanta funktionen lika med ∞. Polerna motsvarar de komplexa tal som är mappade till ∞.

På en icke-kompakt Riemann-yta kan varje meromorf funktion realiseras som en kvot av två (globalt definierade) holomorfa funktioner. Däremot, på en kompakt Riemann-yta, är varje holomorf funktion konstant, medan det alltid finns icke-konstanta meromorfa funktioner.

Se även

Fotnoter