Hyperelliptisk kurva

Fig. 1: Grafen för den hyperelliptiska kurvan $C:y^{2}=f(x)$ där

$$f(x)=x^{5}-2x^{4}-7x^{3}+8x^{2}+12x=x(x+1)(x-3)(x+2) (x-2).$$

I algebraisk geometri är en hyperelliptisk kurva en algebraisk kurva av släktet g > 1, given av en ekvation av formen

$$y^{2}+h(x)y=f(x)$$

där f ( x ) är ett polynom av grad n = 2 g + 1 > 4 eller n = 2 g + 2 > 4 med n distinkta rötter, och h ( x ) är ett polynom med grad < g + 2 (om egenskapen av markfältet inte är 2, man kan ta h ( x ) = 0).

En hyperelliptisk funktion är en del av funktionsfältet för en sådan kurva, eller av den jakobianska varianten på kurvan; dessa två begrepp är identiska för elliptiska funktioner , men olika för hyperelliptiska funktioner.

Släktet av kurvan

Graden av polynomet bestämmer släktet för kurvan: ett polynom på grad 2 g + 1 eller 2 g + 2 ger en kurva av släktet g . När graden är lika med 2 g + 1 kallas kurvan en imaginär hyperelliptisk kurva . Under tiden kallas en kurva på grad 2 g + 2 för en riktig hyperelliptisk kurva . Detta påstående om släktet förblir sant för g = 0 eller 1, men dessa kurvor kallas inte "hyperelliptiska". Snarare är fallet g = 1 (om vi väljer en särskiljande punkt) en elliptisk kurva . Därav terminologin.

Formulering och val av modell

Även om denna modell är det enklaste sättet att beskriva hyperelliptiska kurvor, kommer en sådan ekvation att ha en singulär punkt vid oändligheten i det projektiva planet . Denna egenskap är specifik för fallet n > 3. Därför, när man ger en sådan ekvation för att specificera en icke-singular kurva, antas det nästan alltid att en icke-singular modell (även kallad en jämn komplettering ), ekvivalent i betydelsen av birational geometri , avses.

För att vara mer exakt definierar ekvationen en kvadratisk förlängning av C ( x ), och det är det funktionsfältet som avses. Den singulära punkten vid oändligheten kan tas bort (eftersom detta är en kurva) genom normaliseringsprocessen ( integrerad stängning ). Det visar sig att efter att ha gjort detta finns det ett öppet lock över kurvan av två affina diagram: det som redan ges av

$$y^{2}=f(x)$$

och en annan ges av

$$w^{2}=v^{2g+2}f(1/v).$$

Limkartorna mellan de två diagrammen ges av

$$(x,y)\mapsto (1/x,y/x^{g+1})$$

och

$$(v,w)\mapsto (1/v,w/v^{g+1}),$$

var de än definieras.

I själva verket antas geometrisk stenografi, där kurvan C definieras som en förgrenad dubbel täckning av den projektiva linjen , varvid förgreningen sker vid rötterna av f , och även för udda n vid punkten vid oändligheten. På detta sätt kan fallen n = 2 g + 1 och 2 g + 2 förenas, eftersom vi lika gärna kan använda en automorfism av det projektiva planet för att flytta vilken förgreningspunkt som helst bort från oändligheten.

Använder Riemann-Hurwitz formel

₀ Med hjälp av Riemann–Hurwitz-formeln definieras den hyperelliptiska kurvan med släktet g av en ekvation med grad n = 2 g + 2. Antag att f : X → P ¹ är en grenad täckning med förgreningsgrad 2 , där X är en kurva med släkte g och P ¹ är Riemann-sfären . Låt g ₁ = g och g vara släktet för P ¹ ( = 0 ), då visar sig Riemann-Hurwitz-formeln vara

$2-2g_{1}=2(2-2g_{0})-\summa _{s\ i X}(e_{s}-1)$

där s är över alla förgrenade punkter på X . Antalet förgrenade punkter är n , så n = 2 g + 2.

Förekomst och tillämpningar

Alla kurvor av släkte 2 är hyperelliptiska, men för släkte ≥ 3 är den generiska kurvan inte hyperelliptisk. Detta ses heuristiskt genom en modulrumsdimensionskontroll . Räknekonstanter, med n = 2 g + 2, har samlingen av n punkter som är föremål för verkan av automorfismerna i den projektiva linjen (2 g + 2) − 3 frihetsgrader, vilket är mindre än 3 g − 3, antal moduler i en kurva av släktet g , om inte g är 2. Mycket mer är känt om det hyperelliptiska stället i modulutrymmet för kurvor eller abelska varianter , även om det är svårare att uppvisa allmänna icke-hyperelliptiska kurvor med enkla modeller. En geometrisk karakterisering av hyperelliptiska kurvor är via Weierstrass-punkter . Mer detaljerad geometri för icke-hyperelliptiska kurvor läses från teorin om kanoniska kurvor , den kanoniska kartläggningen är 2-till-1 på hyperelliptiska kurvor men 1-till-1 annars för g > 2. Trigonala kurvor är de som motsvarar att ta en kubrot, snarare än en kvadratrot, av ett polynom.

Definitionen av det rationella funktionsfältet genom kvadratiska förlängningar fungerar för fält i allmänhet utom i egenskap 2; i alla fall är den geometriska definitionen som en förgrenad dubbel täckning av den projektiva linjen tillgänglig, om förlängningen antas vara separerbar.

Hyperelliptiska kurvor kan användas i hyperelliptisk kurvkryptografi för kryptosystem baserat på det diskreta logaritmproblemet .

Hyperelliptiska kurvor uppträder också som består av hela sammankopplade komponenter av vissa skikt av modulutrymmet för abelianska differentialer.

- kurvor användes för att bevisa Gromovs förmodan om fyllningsområde i fallet med fyllningar av släktet =1.

Klassificering

Hyperelliptiska kurvor av givet släkte g har ett modulrum, nära besläktat med ringen av invarianter av en binär form av grad 2 g +2.

Historia

Hyperelliptiska funktioner publicerades först av Adolph Göpel (1812-1847) i hans senaste artikel Abelsche Transcendenten erster Ordnung (Abeliska transcendenter av första ordningen) (i Journal für reine und angewandte Mathematik , vol. 35, 1847). Johann G. Rosenhain arbetade självständigt med den saken och publicerade Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung (i Mémoires des savants etc., vol. 11, 1851).

Se även

• Bolza yta
• Superelliptisk kurva

• "Hyperelliptisk kurva" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• En användarguide till lokal aritmetik för hyperelliptiska kurvor