Riemann–Hurwitz formel

Inom matematik beskriver Riemann –Hurwitz-formeln , uppkallad efter Bernhard Riemann och Adolf Hurwitz , förhållandet mellan Euler-egenskaperna hos två ytor när den ena är en förgrenad täckning av den andra. Den förbinder därför förgreningen med algebraisk topologi , i detta fall. Det är ett prototypresultat för många andra och används ofta i teorin om Riemann-ytor (som är dess ursprung) och algebraiska kurvor .

Påstående

För en kompakt , sammankopplad , orienterbar yta $S$ är Euler-karakteristiken $\chi (S)$

$\chi (S)=2-2g$ ,

där g är släktet ( antalet handtag ), eftersom Betti-talen är $\displaystyle 1,2g,1,0,0,\dots }$ . I fallet med en ( oförgrenad ) täckande karta över ytor

$\pi \colon S'\to S$

det är surjektiv och av graden $N$ , vi har formeln

$\chi (S')=N\cdot \chi (S).$

Det beror på att varje simplex av $S$ bör täckas av exakt $N$ i $S'$ , åtminstone om vi använder en tillräckligt fin triangulering av $S$ , som vi har rätt att göra eftersom Euler-karaktäristiken är en topologisk invariant . Vad Riemann-Hurwitz-formeln gör är att lägga till en korrigering för att tillåta förgreningar ( ark samlas) .

Antag nu att $S$ och $S'$ är Riemannytor , och att kartan $\pi$ är komplex analytisk . Kartan $\pi$ sägs vara förgrenad i en punkt P i S ′ om det finns analytiska koordinater nära P och π( P ) så att π har formen π( z ) = z ⁿ , och n > 1. Ett likvärdigt sätt att tänka på detta är att det finns ett litet område U av P så att π( P ) har exakt en förbild i U , men bilden av vilken annan punkt som helst i U har exakt n förbilder i U . Talet n kallas förgreningsindex vid P och betecknas även med e _P . När vi beräknar Euler-karakteristiken för S ′ lägger vi märke till förlusten av e _P − 1 kopior av P ovanför π( P ) (det vill säga i den omvända bilden av π( P )). Låt oss nu välja triangulering av S och S′ med hörn vid gren- respektive förgreningspunkter, och använda dessa för att beräkna Euler-egenskaperna. Då S′ att ha samma antal d -dimensionella ytor för d som skiljer sig från noll, men färre än förväntade hörn. Därför hittar vi en "korrigerad" formel

$\chi (S')=N\cdot \chi (S)-\summa _{P\in S'}(e_{P}-1)$

eller som det också brukar skrivas, med att $\chi (X)=2-2g(X)$ och multiplicera med -1 :

$2g(S')-2=N\cdot (2g(S) )-2)+\summa _{P\in S'}(e_{P}-1)$

(alla utom ändligt många P har e _P = 1, så detta är ganska säkert). Denna formel är känd som Riemann-Hurwitz-formeln och även som Hurwitzs teorem .

En annan användbar form av formeln är:

$\chi (S')-r=N\cdot (\chi (S)-b)$

där r är antalet punkter i S' där omslaget har icke-trivial förgrening ( förgreningspunkter ) och b är antalet punkter i S som är bilder av sådana punkter ( grenpunkter ). I själva verket, för att erhålla denna formel, ta bort disjunkta skivkvarter för förgreningspunkterna från S och disjunkta skivkvarter för förgreningspunkterna i S' så att begränsningen av $\pi$ är en täckning. Applicera sedan den allmänna gradformeln på begränsningen, använd det faktum att skivans Euler-karaktär är lika med 1 och använd additiviteten för Euler-karakteristiken under sammankopplade summor.

Exempel

Weierstrass karta $\wp$ -funktionen , betraktad som en meromorf funktion med värden i Riemann-sfären , ger en från en elliptisk kurva (släkte 1) till den projektiva linjen (släkte 0). Det är ett dubbelt omslag ( N = 2), med förgreningar endast vid fyra punkter, där e = 2. Riemann–Hurwitz-formeln lyder då

$0=2\cdot 2-4\cdot (2-1)$

med summeringen över fyra förgreningspunkter.

Formeln kan också användas för att beräkna släktet av hyperelliptiska kurvor .

Som ett annat exempel mappar Riemann-sfären till sig själv med funktionen z ⁿ , som har förgreningsindex n vid 0, för vilket heltal som helst n > 1. Det kan bara finnas annan förgrening vid punkten i oändligheten. För att balansera ekvationen

$2=n\cdot 2-(n-1)-(e_{\infty }-1)$

vi måste också ha förgreningsindex n i oändligheten.

Konsekvenser

Flera resultat i algebraisk topologi och komplex analys följer.

För det första finns det inga förgrenade täckande kartor från en kurva av lägre släkte till en kurva av högre genus - och därför, eftersom icke-konstanta meromorfa kartor av kurvor är förgrenade täckande utrymmen, finns det inga icke-konstanta meromorfa kartor från en kurva med lägre genus till en kurva av högre genus.

Som ett annat exempel visar det omedelbart att en kurva av släktet 0 inte har någon täckning med N > 1 som är oförgrenad överallt: eftersom det skulle ge upphov till en Euler-egenskap > 2.

Generaliseringar

För en korrespondens av kurvor finns det en mer allmän formel, Zeuthens sats , som ger förgreningskorrigeringen till den första approximationen att Euler-egenskaperna är i det omvända förhållandet till graderna av överensstämmelsen.

En orbifold -täckning av grad N mellan orbifoldytor S' och S är en grenad täckning, så Riemann-Hurwitz-formeln innebär den vanliga formeln för täckningar

$\chi (S')=N\cdot \chi (S)\,$

betecknar med $\chi \,$ Euler-karaktäristiken.

•     Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157 , OCLC 13348052 , avsnitt IV.2.