AF+BG-sats
Inom algebraisk geometri är AF +BG-satsen (även känd som Max Noethers fundamentalsats ) ett resultat av Max Noether som hävdar att om ekvationen för en algebraisk kurva i det komplexa projektiva planet lokalt (vid varje skärningspunkt) tillhör idealet genereras av ekvationerna för två andra algebraiska kurvor, så tillhör den globalt detta ideal.
Påstående
Låt F , G och H vara homogena polynom i tre variabler, där H har högre grad än F och G ; låt a = deg H − deg F och b = deg H − deg G (båda positiva heltal) vara skillnaderna mellan polynomens grader. Antag att den största gemensamma delaren för F och G är en konstant, vilket betyder att de projektiva kurvorna som de definierar i det projektiva planet P 2 har en skärning bestående av ett ändligt antal punkter. För varje punkt P i denna skärningspunkt genererar polynomen F och G ett ideal ( F , G ) P för den lokala ringen av P 2 vid P (denna lokala ring är ringen av fraktionerna n / d , där n och d är polynom i tre variabler och d ( P ) ≠ 0). Teoremet hävdar att om H ligger i ( F , G ) P för varje skärningspunkt P , så ligger H i idealet ( F , G ); det vill säga det finns homogena polynom A och B av grader a respektive b , så att H = AF + BG . Dessutom skiljer sig två val av A med en multipel av G , och på samma sätt skiljer sig två val av B med en multipel av F.
Relaterade resultat
Denna sats kan ses som en generalisering av Bézouts identitet , som ger ett villkor under vilket ett heltal eller ett univariat polynom h kan uttryckas som ett element av idealet som genereras av två andra heltal eller univariata polynom f och g : en sådan representation existerar exakt när h är en multipel av den största gemensamma divisorn för f och g . AF+BG-villkoret uttrycker, i termer av divisorer (uppsättningar av punkter, med multipliciteter), ett liknande villkor under vilket ett homogent polynom H i tre variabler kan skrivas som ett element av idealet som genereras av två andra polynom F och G .
Denna sats är också en förfining, för detta speciella fall, av Hilberts Nullstellensatz , som ger ett villkor som uttrycker att någon potens av ett polynom h (i valfritt antal variabler) tillhör idealet som genereras av en finit uppsättning polynom.
- Fulton, William (2008), "5.5 Max Noether's Fundamental Theorem and 5.6 Applications of Noether's Theorem", Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry (PDF) , s. 60–65 .
- Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978), Principles of Algebraic Geometry , John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9 .