Stokes teorem

Ej att förväxla med den generaliserade Stokes-satsen .

En illustration av Stokes sats, med ytan Σ , dess gräns ∂Σ och normalvektorn n .

Stokes sats , även känd som Kelvin–Stokes sats efter Lord Kelvin och George Stokes , grundsatsen för lockar eller helt enkelt curl theorem , är en sats i vektorkalkyl på R ³ . Givet ett vektorfält , relaterar satsen integralen av vektorfältets krullning över någon yta, till linjeintegralen av vektorfältet runt ytans gräns. Den klassiska Stokes sats kan uttryckas i en mening: Linjeintegralen för ett vektorfält över en slinga är lika med flödet av dess krullning genom den inneslutna ytan.

Stokes sats är ett specialfall av den generaliserade Stokes sats . I synnerhet kan ett vektorfält på R3 ^, betraktas som en 1-form, i vilket fall dess krullning är dess yttre derivata en 2-form.

Sats

Låt $\Sigma$ vara en slät orienterad yta i R ³ med gräns $\partial \Sigma$ . Om ett vektorfält $\mathbf { F} (x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))$ definieras och har kontinuerliga första ordningens partiella derivator i en region som innehåller $\Sigma$ , sedan

$$\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} ^{2}\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } .$$

Mer uttryckligen säger jämställdheten det

$${\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y }}{\partial z}}\right)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\ frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial F_{y}}{\ partiell x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z {\Bigr )}.\end{aligned}}$$

Den största utmaningen i ett exakt uttalande av Stokes' teorem är att definiera begreppet gräns. Ytor som Koch-snöflingan , till exempel, är välkända för att inte uppvisa en Riemann-integrerbar gräns, och begreppet ytmått i Lebesgue-teorin kan inte definieras för en icke- Lipschitz -yta. En (avancerad) teknik är att övergå till en svag formulering och sedan tillämpa maskineriet för geometrisk måttteorin ; för det tillvägagångssättet, se koareaformeln . I den här artikeln använder vi istället en mer elementär definition, baserad på det faktum att en gräns kan urskiljas för fulldimensionella delmängder av R ² .

Ett mer detaljerat uttalande kommer att ges för efterföljande diskussioner; Låt γ : [ a , b ] → R ² vara en bitvis jämn Jordan-plankurva . Jordankurvans sats innebär att γ delar R ² i två komponenter, en kompakt och en annan som är icke-kompakt. Låt D beteckna den kompakta delen; då begränsas D av γ . Det räcker nu att överföra denna föreställning om gräns längs en kontinuerlig karta till vår yta i R ³ . Men vi har redan en sådan karta: parametriseringen av Σ .

Antag att ψ : D → R ³ är styckvis jämn i närheten av D, med Σ = ψ ( D ) . Om Γ är rymdkurvan definierad av Γ( t ) = ψ ( γ ( t )) så kallar vi Γ för gränsen för Σ , skriven ∂Σ .

Med ovanstående notation, om R3 ^F är något jämnt vektorfält på , då

$$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {\Gamma } }=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} ^{2}\mathbf {\Sigma } .$$

Här representerar " ${\displaystyle \cdot } "$ Dot-produkten i R ³ .

Bevis

Beviset för satsen består av 4 steg. Vi antar Greens sats , så det som är oroande är hur man kokar ner det tredimensionella komplicerade problemet (Stokes sats) till ett tvådimensionellt rudimentärt problem (Greens sats). När man bevisar detta teorem, härleda matematiker normalt det som ett specialfall av ett mer allmänt resultat, som anges i termer av differentialformer och bevisat med hjälp av mer sofistikerat maskineri. Även om de är kraftfulla kräver dessa tekniker betydande bakgrund, så beviset nedan undviker dem och förutsätter ingen kunskap utöver en förtrogenhet med grundläggande vektorkalkyl och linjär algebra. I slutet av detta avsnitt ges ett kort alternativt bevis på Stokes sats, som en följd av den generaliserade Stokes sats.

Elementärt bevis

Första steget i det elementära beviset (parametrisering av integral)

Som i § Sats minskar vi dimensionen genom att använda ytans naturliga parametrisering. Låt ψ och γ vara som i det avsnittet, och notera att genom förändring av variabler

$${\ int {\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ( {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } ))\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } )}=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\,\mathrm {d } \gamma }}$$

där J _y ψ står för den jakobiska matrisen för ψ vid y = γ ( t ) .

Låt nu { e _u , e _v } vara en ortonormal bas i koordinatriktningarna för R ² .

Genom att inse att kolumnerna i J _y ψ är exakt de partiella derivatorna av ψ vid y , kan vi utöka den föregående ekvationen i koordinater som

$${\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } } &=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }}) \mathbf {e} _{u}(\mathbf {e} _{u}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )+\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}( \mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{v}(\mathbf {e} _{v}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )}\\&=\oint _{\gamma }{\left(\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y})) \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F } ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(\mathbf {y} )\right )\mathbf {e} _{v}\right)\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} }\end{aligned}}$$

Andra steget i det elementära beviset (definierar tillbakadraget)

Det föregående steget föreslår att vi definierar funktionen

$$\mathbf {P} (u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial { \boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}( u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{v}$$

Om nu de skalära värdefunktionerna $P_{u}$ och $P_{v}$ definieras enligt följande,

$${P_{u}}(u,v)=\left(\mathbf { F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)$$

$${P_{v}}(u,v)=\left(\mathbf { F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)$$

sedan,

$$\mathbf {P} (u,v)={P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e } _{v}.$$

Detta är tillbakadragningen av F längs ψ , och enligt ovan uppfyller den

$$\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{\mathbf {P } (\mathbf {y} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _ {u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }$$

Vi har framgångsrikt reducerat en sida av Stokes sats till en 2-dimensionell formel; vi vänder oss nu till andra sidan.

Tredje steget i det elementära beviset (andra ekvationen)

Beräkna först de partiella derivatorna som förekommer i Greens teorem , via produktregeln :

$${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}+(\ mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial v\,\partial u}}\\[ 5pt]{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u} }\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial u\,\partial v}}\end{aligned}}$$

Lämpligen försvinner den andra termen i skillnaden, genom att blandade partier är lika . Så,

$${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}-{\frac {\partial P_{ v}}{\partial u}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial { \boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}-{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\cdot (J_ {{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}-{\frac {\partial { \boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\ psi }}}{\partial u}}&&{\text{(kedjeregel)}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\ cdot \left(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ) }^{\mathsf {T}}\right){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\end{aligned}}$$

Men betrakta nu matrisen i den kvadratiska formen – det vill säga $J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v )}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}$ . Vi hävdar att denna matris faktiskt beskriver en korsprodukt. Här representerar " ${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}} "$ Matrix-transponeringsoperatorn .

För att vara exakt, låt $A=(A_{ij})_{ij}$ vara en godtycklig 3 × 3 matris och låt

$$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_ {2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{32}-A_{23}\\A_{13}-A_{31}\\A_{21}-A_ {12}\end{bmatrix}}$$

Observera att x ↦ a × x är linjär, så den bestäms av dess verkan på baselement. Men genom direkt beräkning

$${\begin{aligned}\left(AA^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{1}&={\ börja{bmatrix}0\\a_{3}\\-a_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{1}\\\left(AA^{\ mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{2}&={\begin{bmatrix}-a_{3}\\0\\a_{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {a } \times \mathbf {e} _{2}\\\left(AA^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{3}&={\begin{bmatrix}a_{2} \\-a_{1}\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}$$

Här representerar _{för .} { e1 , e2 , e3 } _en ortonormal R3 ^bas i koordinatriktningarna

Alltså ( A − A ^T ) x = a × x för valfritt x .

Genom att ersätta A med ${(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}$ får vi

$$\left({(J_{ {\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}-{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\ mathsf {T}}\right)\mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x} ,\quad {\text{för alla}}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$$

Vi kan nu känna igen skillnaden mellan partialer som en (skalär) trippelprodukt :

$${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}-{\frac {\partial P_{v}} {\partial u}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\\&=\det {\begin{bmatrix}(\nabla \times \mathbf {F} )({\boldsymbol {\psi }}(u, v))&{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)&{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v }}(u,v)\end{bmatrix}}\end{aligned}}$$

Å andra sidan inkluderar definitionen av en ytintegral också en trippelprodukt – precis samma!

$${\begin {aligned}\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,d^{2}\mathbf {\Sigma } &=\iint _{D}{(\nabla \times \mathbf {F} )({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u, v)\ gånger {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v\right)} \\&=\iint _{D}\det {\begin{bmatrix}(\nabla \times \mathbf {F} )({\boldsymbol {\psi }}(u,v))&{\frac {\ partiell {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)&{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\end {bmatrix}}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v\end{aligned}}$$

Så vi får

$$\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F } )\cdot \,\mathrm {d} ^{2}\mathbf {\Sigma } =\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{ \frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$$

Fjärde steget av det elementära beviset (reduktion till Greens sats)

Genom att kombinera det andra och tredje steget och sedan tillämpa Greens teorem fullbordas beviset. Greens sats hävdar följande: för vilken region D som helst som begränsas $P_{u}(u,v ),P_{v}(u,v)$ Jordans stängda kurva γ och två skalärvärdade jämna funktioner definierad på D;

$$\ oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v}) \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_ {u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$$

Vi kan ersätta slutsatsen av STEG2 till vänster sida av Greens sats ovan, och ersätta slutsatsen av STEG3 till höger sida. QED

Bevis via differentiella former

Funktionerna R ³ → R ³ kan identifieras med differential 1-formerna på R ³ via kartan

$$F_{x}\mathbf {e} _{1}+F_{y}\mathbf {e} _{2}+F_{z}\mathbf {e} _{3}\mapsto F_{x} \,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\mathrm {d} z.$$

Skriv den differentiella 1-form som är associerad med en funktion F som ω _F . Då kan man räkna ut det

$$\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }=\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} }$$

där ★ är Hodge-stjärnan och $\mathrm {d}$ är den yttre derivatan . Således, genom generaliserade Stokes sats,

$${\_igint\ \mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\gamma } }=\oint _{\partial \Sigma }{\omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }}=\iint _{\ Sigma }{\nabla \times \mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} ^{2}\mathbf {\Sigma } }}$$

Ansökningar

Irrotationsfält

I det här avsnittet kommer vi att diskutera det irrotationsfältet ( lamellärt vektorfält ) baserat på Stokes teorem.

Definition 2-1 (irrotationsfält). Ett jämnt vektorfält F på en öppen U ⊆ R ³ är irroterande ( lamellärt vektorfält ) om ∇ × F = 0 .

Detta koncept är mycket grundläggande inom mekanik; som vi kommer att bevisa senare, om F är irroterande och domänen av F är helt enkelt ansluten , då är F ett konservativt vektorfält .

Helmholtz satser

I det här avsnittet kommer vi att introducera en sats som är härledd från Stokes sats och karaktäriserar virvelfria vektorfält. Inom vätskedynamik kallas det för Helmholtz satser .

Sats 2-1 (Helmholtz sats i vätskedynamik). Låt U ⊆ R ³ vara en öppen delmängd med ett lamellärt vektorfält F och låt ₀ c , c ₁ : [0, 1] → U vara styckvis jämna slingor. Om det finns en funktion H : [0, 1] × [0, 1] → U så att

• [TLH0] H är bitvis slät,
• [TLH1] ₀ H ( t , 0) = c ( t ) för alla t ∈ [0, 1] ,
• [TLH2] H ( t , 1) = c ₁ ( t ) för alla t ∈ [0, 1] ,
• [TLH3] H (0, s ) = H (1, s ) för alla s ∈ [0, 1] .

Sedan,

$$\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=\int _{c_{1} }\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{1}$$

Vissa läroböcker som Lawrence kallar förhållandet mellan c ₀ och c ₁ som anges i sats 2-1 för "homotop" och funktionen H : [0, 1] × [0, 1] → U för "homotopi mellan c ₀ och c ₁ " . Emellertid är "homotopi" eller "homotopi" i ovannämnda betydelse olika (starkare än) typiska definitioner av "homotopi" eller "homotopi"; det senare utelämnar villkoret [TLH3]. Så från och med nu hänvisar vi till homotopi (homotop) i betydelsen av sats 2-1 som en tubulär homotopi (resp. tubulär-homotop) .

Bevis för Helmholtz satser

Definitionerna av γ ₁ , ..., γ ₄

I det följande missbrukar vi notation och använder " $\oplus$ " för sammanlänkning av banor i den fundamentala groupoiden och " $\ominus$ " för att vända orienteringen av en bana.

Låt D = [0, 1] × [0, 1] , och dela upp ∂ D i fyra linjesegment γ _j .

$${\begin{aligned}\gamma _{1}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{1}(t)= (t,0)\\\gamma _{2}:[0,1]\till D;\quad &\gamma _{2}(s)=(1,s)\\\gamma _{3}: [0,1]\till D;\quad &\gamma _{3}(t)=(1-t,1)\\\gamma _{4}:[0,1]\to D;\quad & \gamma _{4}(s)=(0,1-s)\end{aligned}}$$

så att

$$\partial D=\gamma _{1}\oplus \gamma _{2}\oplus \gamma _{3}\oplus \gamma _{4 }$$

Genom vårt antagande att c ₀ och c ₁ är bitvis jämn homotop, finns det en bitvis jämn homotopi H : D → M

$${\begin{aligned}\Gamma _{i}(t)&=H(\gamma _{i}(t))&&i=1,2,3,4\\\Gamma (t) &=H(\gamma (t))=(\Gamma _{1}\oplus \Gamma _{2}\oplus \Gamma _{3}\oplus \Gamma _{4})(t)\end{aligned }}$$

Låt S vara bilden av D under H . Den där

$$\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} S=\oint _{\Gamma }\mathbf { F} \,\mathrm {d} \Gamma$$

följer omedelbart av Stokes sats. F är lamellär, så vänster sida försvinner, dvs

$$0=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma =\sum _{i =1}^{4}\oint _{\Gamma _{i}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma$$

Eftersom H är rörformigt (uppfyller [TLH3]), $\Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}$ och $\Gamma _{ 2}=\ominus \Gamma _{4}$ . Således upphäver linjeintegralerna Γ4 s ₎ och längs ₍ Γ2 ( s ) och lämnar

$$0=\oint _{\Gamma _{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma +\oint _{\ Gamma _{3}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma$$

Å andra sidan, c ₁ = Γ ₁ , $c_{3}=\ominus \Gamma _{3}$ , så att den önskade likheten följer nästan direkt.

Konservativa krafter

Ovanför Helmholtz sats ger en förklaring till varför arbetet som utförs av en konservativ kraft för att ändra ett objekts position är vägoberoende. Först introducerar vi Lemma 2-2, som är en följd av och ett specialfall av Helmholtz teorem.

Lemma 2-2. Låt U ⊆ R ³ vara en öppen delmängd , med ett lamellärt vektorfält F och en bitvis slät slinga ₀ c : [0, 1] → U . Fixera en punkt p ∈ U , om det finns en homotopi H : [0, 1] × [0, 1] → U så att

• [SC0] H är bitvis jämn ,
• [SC1] ₀ H ( t , 0) = c ( t ) för alla t ∈ [0, 1] ,
• [SC2] H ( t , 1) = p för alla t ∈ [0, 1] ,
• [SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p för alla s ∈ [0, 1] .

Sedan,

$$\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0$$

Ovan Lemma 2-2 följer av sats 2–1. I Lemma 2-2 är förekomsten av H som uppfyller [SC0] till [SC3] avgörande; frågan är om en sådan homotopi kan tas för godtyckliga loopar. Om U helt enkelt är ansluten finns ett sådant H. Definitionen av enkelt anslutet utrymme följer:

Definition 2-2 (enkelt sammankopplat utrymme). Låt M ⊆ R ⁿ vara icke-tom och vägbunden . M kallas helt enkelt kopplad om och endast om det för någon kontinuerlig slinga, c : [0, 1] → M finns en kontinuerlig rörformig homotopi H : [0, 1] × [0, 1] → M från c till en fast punkt p ∈ c ; det är,

• [SC0'] H är kontinuerlig ,
• [SC1] H ( t , 0) = c ( t ) för alla t ∈ [0, 1] ,
• [SC2] H ( t , 1) = p för alla t ∈ [0, 1] ,
• [SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p för alla s ∈ [0, 1] .

Påståendet att "för en konservativ kraft är arbetet som görs för att ändra ett objekts position banoberoende" kan tyckas följa omedelbart om M:et är helt enkelt kopplat. Kom dock ihåg att enkel anslutning endast garanterar existensen av en kontinuerlig homotopi som uppfyller [SC1-3]; vi söker en bitvis jämn homotopi som uppfyller dessa villkor istället.

Lyckligtvis löses gapet i regularitet av Whitneys approximationssats. Med andra ord, möjligheten att hitta en kontinuerlig homotopi, men att inte kunna integreras över den, elimineras faktiskt med fördelen av högre matematik. Vi får alltså följande sats.

Sats 2-2. Låt U ⊆ R ³ vara öppen och enkelt kopplad till ett irrotationsvektorfält F . För alla styckvis jämna öglor c : [0, 1] → U

$$\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0$$

Maxwells ekvationer

Se även: Maxwells ekvationer § Cirkulation och curl

elektromagnetismens fysik ger Stokes teorem motiveringen för ekvivalensen av differentialformen av Maxwell-Faraday-ekvationen och Maxwell-Ampère-ekvationen och integralformen av dessa ekvationer. För Faradays lag tillämpas Stokes teorem på det elektriska fältet, $\mathbf {E}$ :

$$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf { E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .$$

För Ampères lag tillämpas Stokes teorem på magnetfältet, $\mathbf {B}$ :

$$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf { B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .$$