Power-serien

För notebook-serien, se IBM ThinkPad Power Series .

I matematik är en potensserie (i en variabel ) en oändlig serie av formen

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_ {n}\left(xc\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(xc)+a_{2}(xc)^{2}+\dots$$

där a _n representerar koefficienten för den n: te termen och c är en konstant. Potensserier är användbara i matematisk analys , där de uppstår som Taylorserier av oändligt differentierbara funktioner . Faktum är att Borels sats antyder att varje potensserie är Taylorserien med någon jämn funktion.

I många situationer är c ​​( mitten av serien) lika med noll, till exempel när man betraktar en Maclaurin-serie . I sådana fall tar effektserien den enklare formen

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots .$$

Utöver deras roll i matematisk analys förekommer effektserier också i kombinatorik som genererande funktioner (en sorts formell effektserier ) och i elektronikteknik (under namnet Z-transform ). Den välbekanta decimalnotationen för reella tal kan också ses som ett exempel på en potensserie, med heltalskoefficienter , men med argumentet x fixerat till 1 ⁄ 10 . I talteorin är begreppet p -adiska tal också nära besläktat med det för en potensserie.

Exempel

Polynom

Exponentialfunktionen (i blått) och dess förbättrande approximation med summan av de första n + 1 termerna i dess Maclaurinpotensserie ( i rött). Så n=0 ger $f(x)=1$ , n=1 $f(x)=1+x$ , n=2 $f(x)=1+x+x^{2}/2$ , n=3 ${\displaystyle f(x)=1+x+x^{2}/2+x^{3}/6$ .

Vilket polynom som helst kan lätt uttryckas som en potensserie runt vilket centrum c , även om alla utom ändligt många av koefficienterna kommer att vara noll eftersom en potensserie har oändligt många termer per definition. Till exempel kan polynomet ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ skrivas som en potensserie runt mitten ${\textstyle c=0}$ som

$$f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4} +\cdots$$

eller runt mitten ${\textstyle c=1}$ as

$$f(x)=6+4(x -1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots$$

Detta beror på Taylor-seriens expansion av f(x) runt ${\textstil x=1}$ är

$$f(x)=f(1)+{\frac {f'(1)}{1!}}(x-1)+{\frac {f'' (1)}{2!}}(x-1)^{2}+{\frac {f'''(1)}{3!}}(x-1)^{3}+\cdots ,$$

som ${\textstil f(x=1)=1+2+3=6}$ och de derivator som inte är noll är ${\textstyle f'(x)=2x+2}$ , så ${\textstyle f'(1)=4}$ och ${\textstyle f''(x) =2}$ , en konstant.

Eller faktiskt är expansionen möjlig runt vilket annat centrum som helst c . Man kan se potensserier som "polynom av oändlig grad", även om potensserier inte är polynom.

Geometriska serier, exponentialfunktion och sinus

Den geometriska serieformeln

$${\frac {1}{1-x}}=\summa _{n=0}^{ \infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$$

som gäller för ${\textstyle |x|<1}$ , är ett av de viktigaste exemplen på en potensserie, liksom exponentialfunktionsformeln

$$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^ {2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,$$

och sinusformeln

$$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1 )!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{ 7!}}+\cdots ,$$

giltig för alla riktiga x .

Dessa power-serier är också exempel på Taylor-serier .

På uppsättningen av exponenter

Negativa potenser är inte tillåtna i en potensserie; till exempel, ${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ anses inte vara en potensserie (även om det är en Laurent-serie ) . På samma sätt är bråkpotenser som ${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$ inte tillåtna (men se Puiseux-serien ). Koefficienterna ${\textstyle a_{n}}$ är inte tillåtna att bero på ${\textstyle x}$ , alltså till exempel:

$$\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x )x^{3}+\cdots$$

är inte en kraftserie.

Konvergensradie

En potensserie ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(xc)^{n}}$ är konvergent för vissa värden av variabel x , som alltid kommer att inkludera x = c (som vanligt, $(xc)^{0}$ utvärderas som 1 och summan av serien är således $a_{0}$ för x = c ). Serien kan divergera för andra värden på x . Om c inte är den enda konvergenspunkten, så finns det alltid ett tal r med 0 < r ≤ ∞ så att serien konvergerar när som helst | x – c | < r och divergerar när som helst | x – c | > r . Talet r kallas konvergensradien för potensserien; i allmänhet ges det som

$$r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}$$

eller på motsvarande sätt

$$r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}$$

(detta är Cauchy-Hadamard-satsen ; se limit superior och limit inferior för en förklaring av notationen). Relationen

$$r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|$$

är också uppfyllt, om denna gräns finns.

Mängden av de komplexa talen så att | x – c | < r kallas seriens konvergensskiva . Serien konvergerar absolut inuti sin konvergensskiva och konvergerar enhetligt på varje kompakt delmängd av konvergensskivan.

För | x – c | = r , det finns inget allmänt påstående om seriens konvergens. Abels teorem säger dock att om serien är konvergent för något värde z så att | z – c | = r , då är summan av serien för x = z gränsen för summan av serien för x = c + t ( z – c ) där t är en reell variabel mindre än 1 som tenderar till 1 .

Operationer på kraftserier

Addition och subtraktion

När två funktioner f och g bryts upp i potensserier runt samma centrum c , kan potensserien av summan eller skillnaden av funktionerna erhållas genom termvis addition och subtraktion. Det vill säga om

$$f(x)=\summa _{n=0}^{\infty }a_{n}(xc)^{n}$$

och

$$g(x)=\summa _{n=0}^{\infty }b_{n}(xc)^{n}$$

sedan

$$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(xc)^{n}.$$

Det är inte sant att om två potensserier ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ och ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$ har samma konvergensradie, då ${ \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}} har också denna konvergensradie$ . Om ${\textstyle a_{n}=(-1)^{n}}$ och ${\textstyle b_{n }=(-1)^{n+1}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)} , då har båda serierna samma konvergensradie på 1,$ men serie ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n }+b_{n}\right)x^{n}=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x ^{n}}$ har en konvergensradie på 3.

Summan av två potensserier kommer åtminstone att ha en konvergensradie av den minsta av de två konvergensradierna för de två serierna (och den kan vara högre än någondera, som framgår av exemplet ovan).

Multiplikation och division

Med samma definitioner för $f(x)$ och $g(x)$ kan potensserien för produkten och funktionernas kvot erhållas enligt följande:

$${\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty}a_{n}(xc)^{n}\right)\ vänster(\summa _{n=0}^{\infty }b_{n}(xc)^{n}\right)\\&=\summa _{i=0}^{\infty }\summa _{ j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(xc)^{i+j}\\&=\summa _{n=0}^{\infty }\left(\summa _{ i=0}^{n}a_{i}b_{ni}\right)(xc)^{n}.\end{aligned}}$$

Sekvensen ${\textstyle m_{n}=\summa _{i=0}^{n}a_{i}b_{ni}}$ är känd som faltningen av sekvenserna $a_{n}$ och $b_{n}$ .

För division, om man definierar sekvensen $d_{n}$ med

$${ \frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(xc)^{n}}{\summa _{ n=0}^{\infty }b_{n}(xc)^{n}}}=\summa _{n=0}^{\infty }d_{n}(xc)^{n}$$

sedan

$$f(x)=\left(\summa _{n= 0}^{\infty }b_{n}(xc)^{n}\right)\left(\summa _{n=0}^{\infty}d_{n}(xc)^{n}\right )$$

och man kan lösa rekursivt för termerna $d_{n}$ genom att jämföra koefficienter.

Lösning av motsvarande ekvationer ger formlerna baserade på determinanter för vissa matriser för koefficienterna för $f(x)$ och $g(x)$

$$d_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}$$

$$d_{n}={\frac {1}{b_{0}^{n+1}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{ n}\\a_{n-1}&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-1}\\a_{n-2}&0&b_{0}&\cdots &b_{n-2}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&0&0&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}$$

Differentiering och integration

När en funktion ${\displaystyle f(x)} väl$ ges som en potensserie enligt ovan, är den differentierbar på det inre av konvergensdomänen. Det kan enkelt differentieras och integreras genom att behandla varje term separat:

$${\begin{aligned}f'(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(xc)^{n-1}=\summa _{n= 0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(xc)^{n},\\\int f(x)\,dx&=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(xc)^{n+1}}{n+1}}+k=\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1 }(xc)^{n}}{n}}+k.\end{aligned}}$$

Båda dessa serier har samma konvergensradie som den ursprungliga.

Analytiska funktioner

Huvudartikel: Analytisk funktion

En funktion f definierad på någon öppen delmängd U av R eller C kallas analytisk om den är lokalt given av en konvergent potensserie. Detta betyder att varje a ∈ U har ett öppet område V ⊆ U , så att det finns en potensserie med centrum a som konvergerar till f ( x ) för varje x ∈ V .

Varje potensserie med en positiv konvergensradie är analytisk på det inre av dess konvergensregion. Alla holomorfa funktioner är komplexanalytiska. Summor och produkter av analytiska funktioner är analytiska, liksom kvoter så länge som nämnaren inte är noll.

Om en funktion är analytisk är den oändligt differentierbar, men i det verkliga fallet är det omvända i allmänhet inte sant. För en analytisk funktion kan koefficienterna a _n beräknas som

$$a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}$$

där $f^{(n)}(c)$ betecknar den n: te derivatan av f vid c , och $f^{ (0)}(c)=f(c)$ . Detta innebär att varje analytisk funktion representeras lokalt av dess Taylor-serie .

Den globala formen av en analytisk funktion bestäms helt av dess lokala beteende i följande mening: om f och g är två analytiska funktioner definierade på samma anslutna öppna mängd U , och om det finns ett element c ∈ U så att f ^{( n )} ( c ) = g ^{( n )} ( c ) för alla n ≥ 0 , sedan f ( x ) = g ( x ) för alla x ∈ U .

Om en potensserie med konvergensradie r ges kan man överväga analytiska fortsättningar av serien, dvs analytiska funktioner f som definieras på större mängder än { x | | x − c | < r } och stämmer överens med den givna potensserien på denna uppsättning. Talet r är maximalt i följande mening: det finns alltid ett komplext tal x med | x − c | = r så att ingen analytisk fortsättning av serien kan definieras vid x .

Potensserieexpansionen av den inversa funktionen av en analytisk funktion kan bestämmas med hjälp av Lagranges inversionssats .

Beteende nära gränsen

Summan av en potensserie med en positiv konvergensradie är en analytisk funktion vid varje punkt i konvergensskivans inre. Däremot kan olika beteende förekomma vid punkter på gränsen för den skivan. Till exempel:

1. Divergens medan summan sträcker sig till en analytisk funktion : ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}} har$ konvergensradien lika med $1$ och divergerar vid varje punkt av $|z|=1$ . Icke desto mindre är summan i $|z|<1$ är ${\textstyle {\frac {1}{1-z}}} ,$ vilket är analytiskt vid varje punkt i planet utom för $z=1$ .
2. Konvergent på vissa punkter divergent på andra : ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}} har radien$ på konvergens $1$ . Den konvergerar för $z=-1$ , medan den divergerar för $z=1$ .
3. Absolut konvergens vid varje punkt på gränsen : ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2} }}}$ har konvergensradien $1$ , medan den konvergerar absolut och enhetligt vid varje punkt i $|z|=1$ på grund av Weierstrass M-test tillämpat med den hyper-harmoniska konvergenta serien ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{ \frac {1}{n^{2}}}}$ .
4. Konvergent vid stängningen av konvergensskivan men inte kontinuerlig summa : Sierpiński gav ett exempel på en potensserie med konvergensradien ${\displaystyle 1} ,$ konvergent i alla punkter med $|z|=1$ , men summan är en obegränsad funktion och i synnerhet diskontinuerlig. Ett tillräckligt villkor för ensidig kontinuitet vid en gränspunkt ges av Abels sats .

Formell maktserie

Huvudartikel: Formell maktserie

I abstrakt algebra försöker man fånga essensen av potensserier utan att vara begränsad till fälten för reella och komplexa tal, och utan att behöva prata om konvergens. Detta leder till begreppet formella kraftserier , ett koncept med stor nytta i algebraisk kombinatorik .

Effektserier i flera variabler

En utökning av teorin är nödvändig för multivariabelkalkyl . En potensserie definieras här som en oändlig serie av formen

$$f(x_ {1},\dots ,x_{n})=\summa _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n }}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k})^{j_{k}},$$

där j = ( j ₁ , …, j _n ) är en vektor av naturliga tal, koefficienterna a _{( j 1 , …, j n )} är vanligtvis reella eller komplexa tal, och mitten c = ( c ₁ , …, c _n ) och argument x = ( x ₁ , …, x _n ) är vanligtvis reella eller komplexa vektorer. Symbolen $\Pi$ är produktsymbolen , som betecknar multiplikation. I den mer bekväma multiindexnotationen kan detta skrivas

$$f(x)=\summa _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }(xc)^{\alpha }.$$

där $\mathbb {N}$ är mängden naturliga tal , och så är $\mathbb {N} ^{n}$ mängden ordnade n - tuplar av naturliga tal.

Teorin för sådana serier är knepigare än för serier med en variabel, med mer komplicerade konvergensområden. Till exempel är potensserien ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$ absolut konvergent i mängden $\{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}$ mellan två hyperboler. (Detta är ett exempel på en log-konvex uppsättning , i den meningen att uppsättningen punkter $(\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)$ , där $(x_{1},x_{2})$ ligger i ovanstående region, är en konvex mängd. Mer generellt kan man visa att när c=0 är det inre av området med absolut konvergens alltid en log-konvex mängd i denna mening.) Å andra sidan kan man i det inre av denna konvergensregion differentiera och integrera under serietecknet, precis som man kan med vanliga kraftserier.

Ordning av en kraftserie

Låt α vara ett multiindex för en potensserie f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) . Ordningen för potensserien f definieras som det minsta värdet $r$ så att det finns en α _≠ 0 med ${\displaystyle r=|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}, eller$ ∞ $\ displaystyle \infty }$ om f ≡ 0. Speciellt för en potensserie f ( x ) i en enda variabel x är ordningen på f den minsta potensen av x med en koefficient som inte är noll. Denna definition sträcker sig lätt till Laurent-serien .

Anteckningar

• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Power series" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Formal Power Series" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Power Series" . MathWorld .
• Powers of Complex Numbers av Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project .