Gradientsats

Gradientsatsen , även känd som grundsatsen för kalkyl för linjeintegraler, säger att en linjeintegral genom ett gradientfält kan utvärderas genom att utvärdera det ursprungliga skalära fältet vid kurvans ändpunkter . Satsen är en generalisering av den andra grundläggande satsen för kalkyl till valfri kurva i ett plan eller rymd (i allmänhet n -dimensionell) snarare än bara den verkliga linjen.

För φ : U ⊆ R ⁿ → R som en differentierbar funktion och γ som varje kontinuerlig kurva i U som börjar i en punkt p och slutar i en punkt q , sedan

$$\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)$$

där ∇ φ anger gradientvektorfältet för φ .

Gradientsatsen innebär att linjeintegraler genom gradientfält är banoberoende . Inom fysiken är detta teorem ett av sätten att definiera en konservativ kraft . Genom att placera φ som potential är ∇ φ ett konservativt fält . Arbete som utförs av konservativa krafter beror inte på den väg som objektet följer, utan endast ändpunkterna, som ekvationen ovan visar.

Gradientsatsen har också en intressant motsats: vilket vägoberoende vektorfält som helst kan uttryckas som gradienten för ett skalärt fält . Precis som själva gradientsatsen har denna konversa många slående konsekvenser och tillämpningar i både ren och tillämpad matematik.

Bevis

Om φ är en differentierbar funktion från någon öppen delmängd U ⊆ R ⁿ till R och r är en differentierbar funktion från något slutet intervall [ a , b ] till U (Observera att r är differentierbar vid intervalländpunkterna a och b . För att göra detta , r definieras på ett intervall som är större än och inkluderar [ [ a , b ] a , b ] . ), sedan av den multivariata kedjeregeln är den sammansatta funktionen φ ∘ r differentierbar på :

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\ varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)$$

för alla t i [ a , b ] . Här betecknar ⋅ den vanliga inre produkten .

Antag nu att domänen U för φ innehåller den differentierbara kurvan γ med ändpunkterna p och q . (Detta är orienterat i riktningen från p till q ). Om r parametriserar γ för t i [ a , b ] (dvs. r representerar γ som en funktion av t ), då

$${\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r}) \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\ mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right ),\end{aligned}}$$

där definitionen av en linjeintegral används i den första likheten, används ovanstående ekvation i den andra likheten, och den andra grundsatsen för kalkyl används i den tredje likheten.

Även om gradientsatsen (även kallad grundsats för kalkyl för linjeintegraler ) har bevisats för en differentierbar (så sett ut som jämn) kurva hittills, är satsen också bevisad för en bitvis jämn kurva eftersom denna kurva skapas genom att sammanfoga flera differentierbara kurvor så beviset för denna kurva görs av beviset per differentierbar kurvkomponent.

Exempel

Exempel 1

Antag att γ ⊂ R ² är den cirkulära bågen orienterad moturs från (5, 0) till (−4, 3) . Med hjälp av definitionen av en linjeintegral ,

$${\begin{aligned}\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y&=\ int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}((5\sin t)(-5\sin t) +(5\cos t)(5\cos t))\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({ \frac {3}{4}}\right)}25\left(-\sin ^{2}t+\cos ^{2}t\right)\mathrm {d} t\\&=\int _{0 }^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\cos(2t)\mathrm {d} t\ =\ \left. {\tfrac {25}{2}}\sin(2t)\right|_{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\ höger)}\\[.5em]&={\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\pi -2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3 }{4}}\right)\right)\\[.5em]&=-{\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\tan ^{-1}\!\!\left( {\tfrac {3}{4}}\right)\right)\ =\ -{\frac {25(3/4)}{(3/4)^{2}+1}}=-12.\ end{aligned}}$$

Detta resultat kan erhållas mycket enklare genom att lägga märke till att funktionen $f(x,y)=xy$ har gradient ${ \displaystyle \nabla f(x,y)=(y,x)}$ , alltså av gradientsatsen:

$$\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y=\int _{\gamma }\nabla (xy)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\ =\ xy\,|_{(5,0)}^{(- 4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.$$

Exempel 2

abstrakt exempel, anta att γ ⊂ Rn ^, har ändpunkter p q , med orientering från p till q . För u i R ⁿ låt | u | beteckna den euklidiska normen för u . Om α ≥ 1 är ett reellt tal, då

$${\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\ mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^ {\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha + 1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}$$

Här följer den slutliga likheten av gradientsatsen, eftersom funktionen f ( x ) = | x | ^{α +1} är differentierbar på Rn om ^. α ≥ 1

Om α < 1 kommer denna likhet fortfarande att gälla i de flesta fall, men försiktighet måste iakttas om γ passerar genom eller omsluter origo, eftersom integrand vektorfält | x | ^{α − 1} x kommer inte att kunna definieras där. Dock är fallet α = −1 något annorlunda; i detta fall blir integranden | x | ⁻² x = ∇(log | x |) , så att den slutliga likheten blir log | q | − logg | p | .

Observera att om n = 1 , så är detta exempel helt enkelt en liten variant av den välbekanta potensregeln från enkelvariabelkalkyl.

Exempel 3

Antag att det finns n punktladdningar ordnade i tredimensionellt rum, och den och _i : te punktladdningen har R3 ^laddning Qi är belägen vid position pi _i . Vi skulle vilja beräkna det arbete som utförs på en laddningspartikel q när den färdas från en punkt a till en punkt b i R ³ . Med hjälp av Coulombs lag kan vi enkelt bestämma att kraften på partikeln i position r kommer att vara

$$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}$$

Här | u | betecknar den euklidiska normen för vektorn u i R ³ , och ₀ k = 1/(4 πε ) , där ε ₀ är vakuumpermittiviteten .

Låt γ ⊂ R ³ − { p ₁ , ..., p _n } vara en godtycklig differentierbar kurva från a till b . Då är arbetet gjort på partikeln

$$W=\int _{\gamma }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\gamma }\left(kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _ {i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =kq \sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left| \mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)$$

Nu för varje i visar direkt beräkning det

$${\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}} }=-\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}.$$

Alltså, fortsätter uppifrån och använder gradientsatsen,

$$W=-kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma}\nabla {\frac {1}{\left|\ mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=kq\sum _{i=1}^{n}Q_{ i}\left({\frac {1}{\left|\mathbf {a} -\mathbf {p} _{i}\right|}}-{\frac {1}{\left|\mathbf {b } -\mathbf {p} _{i}\right|}}\right)$$

Vi är klara. Naturligtvis kunde vi enkelt ha slutfört denna beräkning med hjälp av det kraftfulla språket för elektrostatisk potential eller elektrostatisk potentiell energi (med de välbekanta formlerna W = −Δ U = − q Δ V ). Men vi har ännu inte definierat potentiell eller potentiell energi, eftersom motsatsen till gradientsatsen krävs för att bevisa att dessa är väldefinierade, differentierbara funktioner och att dessa formler håller ( se nedan ). Således har vi löst detta problem med endast Coulombs lag, definitionen av arbete och gradientsatsen.

Motsatsen till gradientsatsen

Gradientsatsen säger att om vektorfältet F är gradienten för någon skalärt värderad funktion (dvs. om F är konservativ ), så är F ett vägoberoende vektorfält (dvs. integralen av F över någon bitvis differentierbar kurva är endast beroende av slutpunkter). Detta teorem har en kraftfull motsats:

Sats — Om F är ett vägoberoende vektorfält, så är F gradienten för någon funktion med skalärt värde.

Det är enkelt att visa att ett vektorfält är vägoberoende om och endast om integralen av vektorfältet över varje sluten slinga i dess domän är noll. Det omvända kan alltså alternativt uttryckas på följande sätt: Om integralen av F över varje sluten slinga i domänen av F är noll, så är F gradienten för någon skalärt värderad funktion.

Bevis på motsatsen

Antag att F : U → Rn ^U är en öppen , vägbunden delmängd av Rn ^{kontinuerligt} , och är ett och vägoberoende vektorfält. Fixa något element a i U , och definiera f : U → R med

$$f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x } ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$$

Här är γ [ a , x ] vilken som helst (differentieringsbar) kurva i U som kommer från a och slutar vid x . Vi vet att f är väldefinierat eftersom F är vägoberoende.

Låt v vara vilken vektor som helst som inte är noll i R ⁿ . Enligt definitionen av riktningsderivatan ,

$${\begin{aligned}{\frac {\partial f (\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f (\mathbf {x} )}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} +t\ mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} -\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ] }\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} }{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\ int _{\gamma [\mathbf {x} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} \end{aligned}}$$

För att beräkna integralen inom slutgränsen måste vi parametrisera γ [ x , x + t v ] . Eftersom F är banoberoende, U är öppen och t närmar sig noll, kan vi anta att denna väg är en rät linje och parametrisera den som u ( s ) = x + s v för 0 < s < t . Nu, eftersom u' ( s ) = v , blir gränsen

$$\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf { u} (s))\cdot \mathbf {u} '(s)\,\mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0 }^{t}\mathbf {F} (\mathbf {x} +s\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} s{\bigg |}_{t=0} =\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$$

där den första likheten är från definitionen av derivatan med ett faktum att integralen är lika med 0 vid t = 0, och den andra likheten är från den första fundamentalsatsen för kalkyl . Vi har alltså en formel för ∂ _v f , (ett av sätten att representera riktningsderivatan ) där v är godtycklig; för ${\displaystyle f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf { x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} } ($ se dess fullständiga definition ovan), dess riktningsderivata med avseende på v är

$${\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \ mathbf {v} }}=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\ mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$$

där de två första likheterna bara visar olika representationer av riktningsderivatan. Enligt definitionen av gradienten för en skalär funktion f , $\nabla f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )$ , sålunda har vi hittat en skalärvärderad funktion f vars gradient är det vägoberoende vektorfältet F (dvs. F är ett konservativt vektorfält.), enligt önskemål.

Exempel på den omvända principen

Huvudartikel: Elektrisk potentiell energi

För att illustrera kraften i denna omvända princip, citerar vi ett exempel som har betydande fysiska konsekvenser. I klassisk elektromagnetism är den elektriska kraften en vägoberoende kraft; dvs arbetet som utförs på en partikel som har återgått till sin ursprungliga position inom ett elektriskt fält är noll (förutsatt att inga förändrade magnetiska fält finns).

Därför antyder ovanstående sats att det elektriska kraftfältet F _e : S → R ³ är konservativt (här är S någon öppen , vägbunden delmängd av R ³ som innehåller en laddningsfördelning ). Efter idéerna från ovanstående bevis kan vi sätta någon referenspunkt a i S , och definiera en funktion U _e : S → R med

$$U_{e}(\mathbf {r} ):=-\int _{\gamma [\mathbf { a} ,\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$$

Med hjälp av ovanstående bevis vet vi att U _e är väldefinierad och differentierbar, och F _e = −∇ U _e (från denna formel kan vi använda gradientsatsen för att enkelt härleda den välkända formeln för att beräkna arbete utfört av konservativa krafter: W = −Δ U ). Denna funktion U _e hänvisas ofta till som den elektrostatiska potentiella energin för laddningssystemet i S (med hänvisning till nollpotentialen a ). I många fall antas domänen S vara obegränsad och referenspunkten a antas vara "oändlig", vilket kan göras rigoröst med användning av begränsande tekniker. Denna funktion U _e är ett oumbärligt verktyg som används i analysen av många fysiska system.

Generaliseringar

Huvudartiklar: Stokes' teorem och Slutna och exakta differentialformer

Många av de kritiska satserna för vektorkalkyl generaliserar elegant till påståenden om integrationen av differentialformer på grenrör . På språket för differentialformer och yttre derivator anger gradientsatsen att

$$\int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi$$

för vilken 0-form som helst , ϕ , definierad på någon differentierbar kurva γ ⊂ R ^{n (här} förstås integralen av ϕ över gränsen för γ som utvärderingen av ϕ vid ändpunkterna för γ ).

Lägg märke till den slående likheten mellan detta uttalande och den generaliserade versionen av Stokes' sats , som säger att integralen av en kompakt understödd differentialform ω över gränsen för något orienterbart grenrör Ω är lika med integralen av dess yttre derivata d ω över hela av Ω , dvs.

$$\int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega$$

Detta kraftfulla uttalande är en generalisering av gradientsatsen från 1-former definierade på endimensionella grenrör till differentialformer definierade på grenrör av godtycklig dimension.

Det omvända uttalandet av gradientsatsen har också en kraftfull generalisering i termer av differentialformer på grenrör. Antag särskilt att ω är en form definierad på en sammandragbar domän och integralen av ω över varje sluten grenrör är noll. Då finns det en form ψ så att ω = d ψ . Således, på en sammandragbar domän, är varje stängd form exakt . Detta resultat sammanfattas av Poincaré-lemmat .

Se även

• Statlig funktion
• Skalär potential
• Jordans kurvsats
• Differential för en funktion
• Klassisk mekanik
• Linjeintegral § Banoberoende
• Konservativt vektorfält § Banoberoende