Leibniz integral regel

Den här artikeln handlar om integralregeln. För konvergenstestet för alternerande serier, se Alternerande serietest .

I kalkyl anger Leibniz- integralregeln för differentiering under integraltecknet att för en integral av formen

$$\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,$$

där $-\infty <a(x),b(x)<\infty$ och integranderna är funktioner beroende av $x,$ derivatan av denna integral kan uttryckas som

$${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b (x)}f(x,t)\,dt\right)$$

$=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x ){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x }}f(x,t)\,dt$ där den partiella derivatan ${\tfrac {\partial }{\partial x}}$ indikerar att inuti integralen, endast variationen av $f(x,t)$ med $x$ beaktas när man tar derivatan. Den är uppkallad efter Gottfried Leibniz .

I det speciella fallet där funktionerna $a(x)$ och $b(x)$ konstanter $a(x)=a$ och $b(x)=b$ med värden som inte beror på $x,$ detta förenklar till:

$${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{ \frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.$$

Om $a(x)=a$ är konstant och $b(x)=x$ , vilket är en annan vanlig situation (till exempel i beviset på Cauchys upprepade integrationsformel) blir Leibniz integralregel:

$${\frac {d}{dx }}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,x{\big )}+\int _{a}^ {x}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,$$

Detta viktiga resultat kan under vissa förhållanden användas för att byta ut de integrerade och partiella differentialoperatorerna och är särskilt användbart vid differentiering av integraltransformer . Ett exempel på en sådan är den momentgenererande funktionen i sannolikhetsteorin , en variation av Laplacetransformen , som kan differentieras för att generera momenten för en slumpvariabel . Huruvida Leibniz' integralregel gäller är i huvudsak en fråga om utbyte av gränser .

Allmän form: differentiering under integraltecknet

Sats — Låt $f(x,t)$ vara en funktion så att både $f(x,t)$ och dess partiella derivata $f_{x}(x,t)$ är kontinuerliga i $t$ och $x$ i någon region av $xt$ -plan, inklusive $a(x)\leq t\leq b(x)$ , $x_{0 }\leq x\leq x_{1}$ . Anta också att funktionerna $a(x)$ och $b(x)$ båda är kontinuerliga och båda har kontinuerliga derivator för $x_{0}\leq x\leq x_{1}$ . Sedan, för $x_{0}\leq x\leq x_{1}$ ,

$${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big ( }x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\ frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\, dt.$$

Starkare versioner av satsen kräver bara att den partiella derivatan finns nästan överallt, och inte att den är kontinuerlig. Denna formel är den allmänna formen av Leibniz integralregel och kan härledas med hjälp av kalkylens grundsats . Kalkylens (första) grundsats är bara det speciella fallet av formeln ovan där $a(x)=a\in \mathbb {R}$ , $b(x)=x$ och $f(x,t)=f(t)$ .

Om både övre och nedre gränser tas som konstanter, tar formeln formen av en operatorekvation :

$${\mathcal {I}}_{t}\partial _{x}=\partial _{x}{\mathcal {I}}_{t}$$

där $\partial _{x}$ är den partiella derivatan med avseende på $x$ och ${\mathcal {I}}_{t}$ är integraloperatorn med avseende på till $t$ över ett fast intervall . Det vill säga, det är relaterat till symmetrin hos andraderivator , men involverar såväl integraler som derivator. Detta fall är också känt som Leibniz integralregel.

Följande tre grundläggande satser om utbyte av gränser är i huvudsak ekvivalenta:

• utbytet av en derivata och en integral (differentiering under integraltecknet; dvs. Leibniz integralregel);
• ändringen av ordningen för partiella derivator;
• förändringen av integrationsordningen (integration under integraltecknet; dvs Fubinis sats ).

Tredimensionellt, tidsberoende fall

Se även: § Högre mått

Figur 1: Ett vektorfält F ( r , t ) definierat i hela rymden, och en yta Σ som begränsas av kurvan ∂Σ som rör sig med hastigheten v över vilken fältet är integrerat.

En Leibniz-integralregel för en tvådimensionell yta som rör sig i tredimensionell rymd är

$${\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} , t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\ mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,$$

var:

• F ( r , t ) är ett vektorfält vid den rumsliga positionen r vid tidpunkten t ,
• Σ är en yta som begränsas av den slutna kurvan ∂Σ ,
• d A är ett vektorelement av ytan Σ ,
• d s är ett vektorelement i kurvan ∂Σ ,
• v är rörelsehastigheten för området Σ ,
• ∇⋅ är vektordivergensen ,
• × är vektorkorsprodukten ,
• Dubbelintegralen är ytintegraler över ytan Σ , och linjeintegralen är över gränskurvan ∂Σ .

Högre dimensioner

Leibniz-integralregeln kan utvidgas till flerdimensionella integraler. I två och tre dimensioner är denna regel mer känd från området för vätskedynamik som Reynolds transportsats :

$${\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\ partiell }{\partial t}}F(\mathbf {x} ,t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} _{b }\cdot d\mathbf {\Sigma } ,$$

där $F(\mathbf {x} ,t)$ är en skalär funktion, D ( t ) och ∂ D ( t ) betecknar en tidsvarierande ansluten region av R ³ och dess gräns, $\mathbf {v} _{b}$ är den Euleriska hastigheten för gränsen (se lagrangiska och Eulerska koordinater ) och d Σ = n dS är enhetens normala komponent i ytelementet .

Det allmänna uttalandet av Leibniz-integralregeln kräver begrepp från differentialgeometri , särskilt differentialformer , exteriörderivator , kilprodukter och interiörprodukter . Med dessa verktyg är Leibniz integralregel i n dimensioner

$${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}i_{\mathbf {v} }(d_{x}\ omega )+\int _{\partial \Omega (t)}i_{\mathbf {v} }\omega +\int _{\Omega (t)}{\dot {\omega }},$$

där Ω( t ) är en tidsvarierande domän för integration, ω är en p -form, $\mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\ partiell t}}$ är vektorfältet för hastigheten, $i_{\mathbf {v} }$ betecknar den inre produkten med $\mathbf {v}$ , d _x ω är den yttre derivatan av ω endast med avseende på rymdvariablerna och ${\dot {\omega }}$ är tidsderivatan av ω .

Men alla dessa identiteter kan härledas från ett mest allmänt uttalande om Lie-derivat:

$$\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\int _{\operatörsnamn { im} _{\psi _{t}}(\Omega )}\omega =\int _{\Omega }{\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ,$$

Här omfattar det omgivande grenröret som differentialformen $\omega$ lever på både rum och tid.

• $\Omega$ är integrationsregionen (en undergren) vid ett givet ögonblick (det beror inte på $t$ , eftersom dess parametrisering som ett undergrenrör definierar dess position i tiden),
• ${\mathcal {L}}$ är Lie-derivatan ,
• $\Psi$ är rumtidsvektorfältet som erhålls genom att addera det enhetliga vektorfältet i tidens riktning till det rent rumsliga vektorfältet $\mathbf {v}$ från de föregående formlerna (dvs. ${\ displaystyle \Psi }$ är rymdtidshastigheten för ${\displaystyle \Omega } )$ ,
• $\psi _{t}$ är en diffeomorfism från enparametergruppen som genereras av flödet av $\Psi$ , och
• ${\text{im}}_{\psi _{t}}(\Omega )$ är bilden av $\Omega$ under sådan diffeomorfism.

Något anmärkningsvärt med denna form är att den kan förklara fallet när $\Omega$ ändrar sin form och storlek över tiden, eftersom sådana deformationer helt bestäms av $\Psi$ .

Mät teoripåstående

Låt $X$ vara en öppen delmängd av $\mathbf {R}$ , och $\Omega$ vara ett måttutrymme . Antag att $f\colon X\times \Omega \to \mathbf {R}$ uppfyller följande villkor:

1. $f(x,\omega )$ är en Lebesgue-integrerbar funktion av $\omega$ för varje $x\in X$ .
2. För nästan alla ${\displaystyle \omega \in \Omega } finns$ den partiella derivatan $f_{x}$ för alla $x\in X$ .
3. Det finns en integrerbar funktion $\theta \colon \Omega \to \mathbf {R}$ så att $|f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )$ för alla $x\in X$ och nästan varje ${\ displaystyle \omega \in \Omega }$ .

Sedan, för alla $x\in X$ ,

$${\frac {d}{dx}}\int _{\Omega }f(x,\omega )\,d\omega =\int _{\Omega }f_{x}(x,\omega ) \,d\omega .$$

Beviset bygger på den dominerade konvergenssatsen och medelvärdessatsen (detaljer nedan).

Bevis

Bevis på grundform

Vi bevisar först fallet med konstanta gränser för integration a och b .

Vi använder Fubinis teorem för att ändra integrationsordningen. För varje x och h , så att h > 0 och både x och x + h är inom ₀ [ x , x ₁ ] , har vi:

$$\int _{x}^{x+h} \int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{ x}(x,t)\,dx\,dt=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\höger)\,dt=\ int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt$$

Observera att de aktuella integralerna är väldefinierade eftersom $f_{x}(x,t)$ är kontinuerlig vid den stängda rektangeln ${\ displaystil [x_{0},x_{1}]\ gånger [a,b]}$ och därmed också enhetligt kontinuerlig där; alltså dess integraler med antingen dt eller dx är kontinuerliga i den andra variabeln och även integrerbara av den (i huvudsak beror detta på att för enhetligt kontinuerliga funktioner kan man passera gränsen genom integrationstecknet, som beskrivs nedan).

Därför:

$${\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x ,t)\,dt}{h}}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x ,t)\,dt\,dx={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}$$

Där vi har definierat:

$$F(u)\equiv \int _{x_{0}}^{u}\int _{a} ^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx$$

₀₀ (vi kan ersätta x här med vilken annan punkt som helst mellan x och x )

F är differentierbar med derivata ${\textstyle \int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt} ,$ så vi kan ta gränsen där h närmar sig noll. För vänster sida är denna gräns:

$${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt$$

Till höger får vi:

$$F'(x)=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt$$

Och vi bevisar därmed det önskade resultatet:

$${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b} f(x,t)\,dt=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt$$

Ett annat bevis med hjälp av bounded konvergenssatsen

Om integralerna till hands är Lebesgue-integraler , kan vi använda bounded konvergenssatsen (giltig för dessa integraler, men inte för Riemann-integraler ) för att visa att gränsen kan passeras genom integraltecknet.

Observera att detta bevis är svagare i den meningen att det bara visar att f _x ( x , t ) är Lebesgue-integrerbar, men inte att den är Riemann-integrerbar. I det förra (starkare) beviset, om f ( x , t ) är Riemann-integrerbar, så är f _x ( x , t ) det (och är således uppenbarligen också Lebesgue-integrerbar).

Låta

$$u(x)=\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt.$$

 

 

 

 

()

Enligt definitionen av derivatan,

$$u'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}.$$

 

 

 

 

()

Ersätt ekvation ( 1 ) med ekvation ( 2 ). Skillnaden mellan två integraler är lika med integralen av skillnaden, och 1/ h är en konstant, alltså

$${\begin{aligned}u'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt -\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{ b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\höger)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\int _{a} ^{b}{\frac {f(x+h,t)-f(x,t)}{h}}\,dt.\end{aligned}}$$

Vi visar nu att gränsen kan passeras genom integraltecknet.

Vi hävdar att passagen av gränsen under integraltecknet är giltig av det begränsade konvergenssatsen (en följd av den dominerade konvergenssatsen ) . För varje δ > 0, beakta skillnadskvoten

$$f_{\delta }(x,t)={\frac {f(x+\delta ,t)-f(x,t)}{\delta }}.$$

För t fast, innebär medelvärdessatsen att det finns z i intervallet [ x , x + δ ] så att

$$f_{\delta }(x,t)=f_{x}(z,t).$$

Kontinuitet för f x ₍ x , t ) och domänens kompakthet innebär tillsammans att f _x ( x , t ) är avgränsad. Ovanstående tillämpning av medelvärdessatsen ger därför en enhetlig (oberoende av $t$ ) bunden på $f_{\delta }(x,t)$ . Skillnadskvoterna konvergerar punktvis till den partiella derivatan f _x genom att anta att den partiella derivatan existerar.

Argumentet ovan visar att för varje sekvens { δ _{n } → 0} är sekvensen $\{f_{\delta _{n}}(x,t)\}$ likformigt avgränsad och konvergerar punktvis till f _x . Begränsad konvergenssatsen säger att om en sekvens av funktioner på en uppsättning av ändliga mått är enhetligt begränsad och konvergerar punktvis, då är passage av gränsen under integralen giltig. Speciellt kan gränsen och integralen bytas ut för varje sekvens { δ _n } → 0. Därför kan gränsen som δ → 0 passeras genom heltecknet.

Variabel gränser form

För en kontinuerlig reellt värderad funktion g av en reell variabel och reellt värderade differentierbara funktioner $f_{1}$ och $f_{2}$ av en reell variabel,

$${\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=g \left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.$$

Detta följer av kedjeregeln och den första grundläggande satsen i kalkylen . Definiera

$$G(x)=\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}( x)}g(t)\,dt,$$

och

$$\Gamma (x)=\int _{0}^{x}g(t)\,dt.$$

(Den nedre gränsen måste bara vara ett tal i domänen för $g$ )

Sedan kan $G(x)$ skrivas som en komposition : $G( x)=(\Gamma \circ f_{2})(x)-(\Gamma \circ f_{1})(x)$ . Kedjeregeln innebär då det

$$G'(x)=\Gamma '\left(f_{2}(x)\right)f_{2}'(x)-\Gamma '\left(f_{1}(x)\right) f_{1}'(x).$$

Enligt den första grundläggande satsen i kalkylen , $\Gamma '(x)=g(x)$ . Därför, genom att ersätta detta resultat ovan, får vi den önskade ekvationen:

$$G'(x)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_ {1}'(x)}.$$

Obs: Denna form kan vara särskilt användbar om uttrycket som ska differentieras är av formen:

$$\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x) g(t)\,dt$$

Eftersom $h(x)$ inte beror på integrationens gränser, kan den flyttas ut under integraltecknet, och formuläret ovan kan användas med produktregeln , dvs.

$${\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt\ höger)={\frac {d}{dx}}\left(h(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\ höger)=h'(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt+h(x){\frac {d}{dx }}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)$$

Allmän form med variabla gränser

Uppsättning

$$\varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,$$

där a och b är funktioner av α som uppvisar inkrement Δ a respektive Δ b , när α ökas med Δ α . Sedan,

$${\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^ {b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=\ int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\ ,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\, dx\\[4pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f( x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx .\end{aligned}}$$

En form av medelvärdessatsen , ${\textstil \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(ba )f(\xi )}$ , där a < ξ < b , kan tillämpas på den första och sista integralen av formeln för Δ φ ovan, vilket resulterar i

$$\Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \ alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).$$

Dividera med Δ α och låt Δ α → 0. Lägg märke till ξ ₁ → a och ξ ₂ → b . Vi kan passera gränsen genom integraltecknet:

$$\lim _{\Delta \alpha \to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )} {\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx,$$

återigen av den gränsade konvergenssatsen. Detta ger den allmänna formen av Leibniz-integralregeln,

$${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\ ,dx+f(b,\alpha ){\frac {db}{d\alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {da}{d\alpha }}.$$

Alternativt bevis på den allmänna formen med variabla gränser, med hjälp av kedjeregeln

Den allmänna formen av Leibniz integralregel med variabla gränser kan härledas som en konsekvens av den grundläggande formen av Leibniz integralregel, multivariabelkedjeregeln och den första grundläggande satsen i kalkylen . Antag att $f$ definieras i en rektangel i $xt$ -planet, för $x\in [x_{1},x_{2} ]$ och $t\in [t_{1},t_{2}]$ . Antag också att $f$ och den partiella derivatan ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ båda är kontinuerliga funktioner på denna rektangel. Antag att $a,b$ är differentierbara verkliga funktioner definierade på $[x_{1},x_{2}]$ , med värden i $[t_{1},t_{2}]$ (dvs. för varje $x\in [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)\ i [t_{1},t_{2}]$ ). Nu, ställ in

$$F(x,y)= \int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt,\qquad {\text{för}}~x\in [x_{1},x_{2}]~{\ text{och}}~y\i [t_{1},t_{2}]$$

och

$$G(x)=\int _{a(x)} ^{b(x)}f(x,t)\,dt,\quad {\text{för}}~x\in [x_{1},x_{2}]$$

Sedan kan vi skriva med egenskaperna hos bestämda integraler

$${\begin{aligned}G(x)&=\int _{t_{1}}^{b(x)}f(x,t)\,dt-\int _{t_{ 1}}^{a(x)}f(x,t)\,dt\\[4pt]&=F(x,b(x))-F(x,a(x))\end{aligned} }$$

Eftersom funktionerna $F,a,b$ alla är differentierbara (se anmärkningen i slutet av beviset), följer det av Multivariable Chain Rule att $G$ är differentierbar, och dess derivata ges av formeln:

$$G'(x)=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,b(x ))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,b(x))b'(x)\right)-\left({\frac {\partial F}{\partial x} }(x,a(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,a(x))a'(x)\right)$$

 

Notera nu att för varje $x\in [x_{1},x_{2}]$ , och för varje $y \i [t_{1},t_{2}]$ har vi att ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\ partiell x}}(x,t)\,dt}$ , för när vi tar partialderivatan med avseende på $x$ av $F$ , håller vi $y$ fixerad i uttrycket ${\textstil \int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt}$ ; alltså grundläggande form av Leibniz' Integral Regel med konstanta gränser för integration gäller. Därefter, genom den första grundläggande satsen i kalkylen , har vi att ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y )=f(x,y)}$ ; eftersom när man tar partialderivatan med avseende på $y$ av $F$ , den första variabeln $x$ är fixerad, så grundsatsen kan verkligen tillämpas.

Att ersätta dessa resultat i ekvationen för $G'(x)$ ovan ger:

$${\begin{aligned}G'(x)&=\left(\int _{t_{1} }^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,b(x))b'(x)\right)-\ vänster(\int _{t_{1}}^{a(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,a(x)) a'(x)\höger)\\[2pt]&=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int _{a (x)}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt,\end{aligned}}$$

som önskat.

Det finns en teknisk punkt i beviset ovan som är värd att notera: att tillämpa kedjeregeln på $G$ kräver att $F$ redan är differentierbar . Det är här vi använder våra antaganden om $f$ . Som nämnts ovan ges de partiella derivatorna av $F$ av formlerna ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$ och ${\textstyle {\frac {\partial F}{\ partiell y}}(x,y)=f(x,y)}$ . Eftersom ${\textstyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}}$ är kontinuerlig, är dess integral också en kontinuerlig funktion, och eftersom $f$ också är kontinuerlig, visar dessa två resultat att båda partialderivatorna av $F$ är kontinuerliga. Eftersom kontinuitet för partiella derivator innebär differentierbarhet av funktionen, $F$ verkligen differentierbar.

Tredimensionell, tidsberoende form

Se även: § Högre mått

Vid tidpunkten t innehåller ytan Σ i figur 1 en uppsättning punkter arrangerade kring en tyngdpunkt $\mathbf {C} (t)$ . Funktionen $\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)$ kan skrivas som

$$\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf { r} -\mathbf {C} (t),t)=\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),$$

med $\mathbf {I}$ oberoende av tid. Variabler flyttas till en ny referensram kopplad till den rörliga ytan, med ursprung vid $\mathbf {C} (t)$ . För en styvt översättande yta är integrationens gränser då oberoende av tid, så:

$${\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right)=\iint _{\Sigma }d\mathbf {A} _{\mathbf {I} }\cdot {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\ mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),$$

där integrationens gränser som begränsar integralen till regionen Σ inte längre är tidsberoende så differentiering passerar genom integrationen för att endast verka på integranden:

$${\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)+\mathbf {v\cdot \nabla F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t )=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t),$$

med ytans rörelsehastighet definierad av

$$\mathbf {v} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {C} (t).$$

Denna ekvation uttrycker fältets materialderivata , det vill säga derivatan med avseende på ett koordinatsystem fäst vid den rörliga ytan. Efter att ha hittat derivatan kan variabler växlas tillbaka till den ursprungliga referensramen. Det märker vi (se artikel om curl )

$$\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf { F} \right)=(\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \ cdot \nabla )\mathbf {F} ,$$

och att Stokes teorem likställer ytintegralen av krullen över Σ med en linjeintegral över ∂Σ :

$${\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \right )=\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\mathbf {F\cdot \nabla} \right )\mathbf {v} +\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {F} {\big )}\ cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {s} .$$

Linjeintegralens tecken baseras på högerregeln för val av riktning för linjeelementet d s . För att fastställa detta tecken, antag till exempel att fältet F pekar i den positiva z -riktningen, och att ytan Σ är en del av xy -planet med omkretsen ∂Σ. Vi antar normalen till Σ för att vara i den positiva z -riktningen. Positiv traversering av ∂Σ sker sedan moturs (högerregel med tummen längs z -axeln). Då bestämmer integralen på vänster sida ett positivt flöde av F genom Σ. Antag att Σ translaterar i den positiva x -riktningen vid hastigheten v . Ett element av gränsen för Σ parallellt med y -axeln, säg d s , sveper ut ett område v t × d s i tiden t . Om vi ​​integrerar runt gränsen ∂Σ moturs, v t × d s i negativ z -riktning på vänster sida av ∂Σ (där d s pekar nedåt), och i den positiva z -riktningen på höger sida av ∂Σ (där d s pekar uppåt), vilket är vettigt eftersom Σ rör sig åt höger, lägger till område till höger och förlorar det till vänster. På grundval av detta ökar flödet av F till höger om ∂Σ och minskar till vänster. Dock är v × F ⋅ d s = − F × v ⋅ d s = − F ⋅ v × d prickprodukten s . Följaktligen tas tecknet för linjeintegralen som negativt.

Om v är en konstant,

$${\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right) \mathbf {v} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\ cdot \,d\mathbf {s} ,$$

vilket är det citerade resultatet. Detta bevis tar inte hänsyn till möjligheten att ytan deformeras när den rör sig.

Alternativ härledning

Lemma. En har:

$${\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=-f(a).$$

Bevis. Från beviset för kalkylens grundsats ,

$${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _ {\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a} ^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b} ^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b )\Delta b+O\left(\Delta b^{2}\right)\right]\\[6pt]&=f(b),\end{aligned}}$$

och

$${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _ {\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a} ^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\ Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f( a)\Delta a+O\left(\Delta a^{2}\right)\right]\\[6pt]&=-f(a).\end{aligned}}$$

₀ Antag att a och b är konstanta, och att f ( x ) involverar en parameter α som är konstant i integrationen men kan variera för att bilda olika integraler. Antag att f ( x , α ) är en kontinuerlig funktion av x och α i den kompakta mängden {( x , α ) : α ≤ α ≤ α ₁ och a ≤ x ≤ b }, och att den partiella derivatan f _α ( x , α ) existerar och är kontinuerlig. Om man definierar:

$$\varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,$$

då kan $\varphi$ differentieras med avseende på α genom att differentiera under heltecknet, dvs.

$${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\ ,dx.$$

Enligt Heine-Cantor-satsen är den enhetligt kontinuerlig i den mängden. Med andra ord , för alla ε > 0 finns det Δ α så att för alla värden på x i [ a , b ]

$$|f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .$$

Å andra sidan,

$${\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a}^{b} f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a}^ {b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\,dx\\[6pt]&\leq \varepsilon (ba).\end{aligned }}$$

Därför är φ ( α ) en kontinuerlig funktion.

På liknande sätt om ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )} existerar och är kontinuerlig, så$ finns det för alla ε > 0 Δ α så att:

$$\forall x\in [a,b],\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha } }-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .$$

Därför,

$${\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x ,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,dx +R,$$

var

$$|R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (ba).$$

Nu, ε → 0 som Δ α → 0, alltså

$$\lim _{{\Delta \alpha }\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}={\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\ int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.$$

Det här är formeln vi försökte bevisa.

Antag nu

$$\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx=\varphi (\alpha ),$$

där a och b är funktioner av α som tar steg Δ a respektive Δ b , när α ökas med Δ α . Sedan,

$${\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^ {b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\ int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\ ,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\, dx\\[6pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f( x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx .\end{aligned}}$$

En form av medelvärdessatsen , ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=( ba)f(\xi ),}$ där a < ξ < b , kan appliceras på den första och sista integralen av formeln för Δ φ ovan, vilket resulterar i

$$\Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha + \Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).$$

Dividera med Δ α , låta Δ α → 0, lägga märke till ξ ₁ → a och ξ ₂ → b och använda ovanstående härledning för

$${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx$$

ger

$${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\ ,dx+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.$$

Detta är den allmänna formen av Leibniz-integralregeln.

Exempel

Exempel 1: Fasta gränser

Tänk på funktionen

$$\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\,dx.$$

Funktionen under heltecknet är inte kontinuerlig i punkten ( x , α ) = (0, 0), och funktionen φ ( α ) har en diskontinuitet vid α = 0 eftersom φ ( α ) närmar sig ± π /2 som α → 0 ^± .

Om vi ​​differentierar φ ( α ) med avseende på α under heltecknet får vi

$${\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right)\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {x^ {2}-\alpha ^{2}}{(x^{2}+\alpha ^{2})^{2}}}dx=\left.-{\frac {x}{x^{2} +\alpha ^{2}}}\right|_{0}^{1}=-{\frac {1}{1+\alpha ^{2}}},$$

vilket naturligtvis är sant för alla värden på α utom α = 0. Detta kan integreras (med avseende på α ) för att hitta

$$\varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&\alpha =0,\\ -\arctan({\alpha })+{\frac {\pi }{2}},&\alpha \neq 0.\end{cases}}$$

Exempel 2: Variabla gränser

Ett exempel med variabla gränser:

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{\sin x}^{\cos x}\cosh t^{2}\,dt&=\cosh \left(\ cos ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\cos x)-\cosh \left(\sin ^{2}x\right){\frac {d}{dx}} (\sin x)+\int _{\sin x}^{\cos x}{\frac {\partial }{\partial x}}(\cosh t^{2})\,dt\\[6pt] &=\cosh(\cos ^{2}x)(-\sin x)-\cosh(\sin ^{2}x)(\cos x)+0\\[6pt]&=-\cosh(\ cos ^{2}x)\sin x-\cosh(\sin ^{2}x)\cos x.\end{aligned}}$$

Ansökningar

Utvärdera bestämda integraler

Formeln

$${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x) }^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}} b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{ b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt$$

kan vara till nytta vid utvärdering av vissa bestämda integraler. När den används i detta sammanhang är Leibniz-integralregeln för differentiering under integraltecknet också känd som Feynmans knep för integration.

Exempel 3

Överväga

$$\varphi (\alpha )=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}\right)\ ,dx,\qquad |\alpha |\neq 1.$$

Nu,

$${\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }{\frac {-2\cos(x )+2\alpha }{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{\alpha }}\int _{0 }^{\pi }\left(1-{\frac {1-\alpha ^{2}}{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}\right)dx\\ [6pt]&=\left.{\frac {\pi }{\alpha }}-{\frac {2}{\alpha }}\left\{\arctan \left({\frac {1+\alpha } {1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right\}\right|_{0}^{\pi }.\end{aligned} }$$

Eftersom $x$ varierar från $0$ till $\pi$ , har vi

$${\begin{cases}{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\geq 0,&|\ alfa |<1,\\{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\leq 0,&|\alpha | >1.\end{cases}}$$

Därav,

$$\left.\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right |_{0}^{\pi }={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&|\alpha |<1,\\-{\frac {\pi }{2} },&|\alpha |>1.\end{cases}}$$

Därför,

$${\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&|\alpha |<1,\\{\frac {2\pi }{\alpha }},&|\alpha |>1.\end{cases}}$$

Genom att integrera båda sidor med avseende på $\alpha$ , får vi:

$$\varphi (\alpha )={\begin{cases}C_{1},&|\alpha |<1,\\2\pi \ln |\alpha |+C_{2},& |\alpha |>1.\end{cases}}$$

$C_{1}=0$ följer av att utvärdera $\varphi (0)$ :

$$\varphi (0)=\int _{0}^{\pi }\ln(1)\,dx= \int _{0}^{\pi }0\,dx=0.$$

För att bestämma $C_{2}$ på samma sätt bör vi behöva ersätta ett värde på $\alpha$ större än 1 i $\varphi (\alpha )$ . Detta är något obekvämt. Istället ersätter vi ${\textstil \alpha ={\frac {1}{\beta }}} ,$ där $|\beta |<1$ . Sedan,

$${\begin{aligned}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }\left(\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^ {2}\right)-2\ln |\beta |\right)dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\beta \cos(x )+\beta ^{2}\right)\,dx-\int _{0}^{\pi }2\ln |\beta |dx\\[6pt]&=0-2\pi \ln |\ beta |\\[6pt]&=2\pi \ln |\alpha |.\end{aligned}}$$

Därför är $C_{2}=0$

Definitionen av $\varphi (\alpha )$ är nu klar:

$$\varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&|\alpha |<1,\\2\pi \ln |\alpha |,&|\alpha |>1.\ slut{cases}}$$

Ovanstående diskussion gäller naturligtvis inte när ${\displaystyle \alpha =\pm 1} ,$ eftersom villkoren för differentiabilitet inte är uppfyllda.

Exempel 4

$$\mathbf {I} =\int _{0}^{\pi / 2}{\frac {1}{(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x)^{2}}}\,dx,\qquad a,b>0.$$

Först beräknar vi:

$${\begin{aligned}\mathbf {J} &=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{a\cos ^{2}x+b\sin ^{ 2}x}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\frac {1}{\cos ^{2}x}}{a+b{ \frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sek ^{2}x}{a+b\tan ^{2}x}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{b}}\int _{0}^{\pi /2} {\frac {1}{\left({\sqrt {\frac {a}{b}}}\right)^{2}+\tan ^{2}x}}\,d(\tan x)\ \[6pt]&=\left.{\frac {1}{\sqrt {ab}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {b}{a}}}\tan x\right)\right |_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}.\end{aligned}}$$

Gränserna för integration är oberoende av ${\displaystyle a} ,$ vi har:

$${\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial a} }=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\ höger)^{2}}}\,dx$$

Å andra sidan:

$${\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial a}}={\frac {\partial }{\partial a}}\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}\right)=-{\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.$$

Att likställa dessa två relationer ger då

$$\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\ höger)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.$$

På ett liknande sätt ger ${\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial b}}$ avkastning

$$\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\ höger)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab^{3}}}}}.$$

Att lägga till de två resultaten ger sedan

$$\mathbf {I} =\int _{0 }^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\ frac {\pi }{4{\sqrt {ab}}}}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right),$$

som beräknar $\mathbf {I}$ enligt önskemål.

Denna härledning kan vara generaliserad. Observera att om vi definierar

$$\mathbf {I} _{n}=\int _{0}^{\pi /2 }{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{n}}}\,dx,$$

det kan man lätt visa

$$(1-n)\mathbf {I} _{n}={\frac {\partial \mathbf { I} _{n-1}}{\partial a}}+{\frac {\partial \mathbf {I} _{n-1}}{\partial b}}$$

Givet $\mathbf {I} _{1}$ kan denna integralreduktionsformel användas för att beräkna alla värden för $\mathbf {I} _{n}$ för $n>1$ . Integraler som $\mathbf {I}$ och $\mathbf {J}$ kan också hanteras med Weierstrass-substitutionen .

Exempel 5

Här betraktar vi integralen

$$\mathbf {I} (\alpha )=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}} \,dx,\qquad 0<\alpha <\pi .$$

Genom att differentiera under integralen med avseende på $\alpha$ , har vi

$${\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}\mathbf {I} (\alpha )&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\ partiell }{\partial \alpha }}\left({\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\right)\,dx\\[6pt]&=- \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha \cos x}}\,dx\\&=-\int _{0}^{ \pi /2}{\frac {\sin \alpha }{\left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2} }\right)+\cos \alpha \left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)}} \,dx\\[6pt]&=-{\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\ cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}{\frac {1}{{\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}+\tan ^{2 }{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^ {\pi /2}{\frac {{\frac {1}{2}}\sec ^{2}{\frac {x}{2}}}{{\frac {2\cos ^{2}{ \frac {\alpha }{2}}}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}} }\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\left(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right) }{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\ frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\ \[6pt]&=-2\cot {\frac {\alpha }{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\ [6pt]&=-2\arctan \left(\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {x}{2}}\right){\bigg |}_{0}^ {\pi /2}\\[6pt]&=-\alpha .\end{aligned}}$$

Därför:

$$\mathbf {I} (\alpha )=C-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.$$

Men ${\textstyle \mathbf {I} \left({\frac {\pi }{2}}\right)=0}$ per definition så ${\textstyle C={\ frac {\pi ^{2}}{8}}}$ och

$$\mathbf {I} (\alpha )={\frac {\pi ^{2}}{8}}-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.$$

Exempel 6

Här betraktar vi integralen

$$\int _{0}^{2\pi}e^{\cos \theta }\cos(\sin \theta )\,d\theta .$$

Vi introducerar en ny variabel φ och skriver om integralen som

$$f(\varphi )=\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\,d\theta .$$

När φ = 1 är detta lika med den ursprungliga integralen. Denna mer allmänna integral kan dock differentieras med avseende på $\varphi$ :

$${\begin{aligned}{\frac {df}{d\varphi }}&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\ vänster(e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\right)\,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }e ^{\varphi \cos \theta }\left(\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right)\,d\theta . \end{aligned}}$$

Fixa nu φ , och betrakta vektorfältet på $\mathbf {R} ^{2}$ definierat av $\mathbf {F} (x,y)=(F_{1}(x,y),F_{2}(x,y)):=(e^{\varphi x }\sin(\varphi y),e^{\varphi x}\cos(\varphi y))$ . Välj vidare den positiva orienterade parametriseringen av enhetscirkeln $S^{1}$ som ges av $\mathbf {r} \colon [0,2\pi )\to \mathbf {R} ^{2}$ , ${\displaystyle \mathbf {r} (\theta ):=(\cos \theta ,\sin \theta )} ,$ så att $\mathbf {r} '(t)=(-\sin \theta ,\cos \theta )$ . Då är den slutliga integralen ovan precis

$${\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left(\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )- \sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right)\,d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi}(e^{\varphi \ cos \theta }\sin(\varphi \sin \theta ),e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta ))\cdot (-\sin \theta ,\cos \theta ) \,d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi}\mathbf {F} (\mathbf {r} (\theta ))\cdot \mathbf {r} ' (\theta )\,d\theta \\[6pt]={}&\oint _{S^{1}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\ oint _{S^{1}}F_{1}\,dx+F_{2}\,dy,\end{aligned}}$$

linjeintegralen av $\mathbf {F}$ över $S^{1}$ . Enligt Greens sats är detta lika med dubbelintegralen

$$\iint _{D}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_ {1}}{\partial y}}\,dA,$$

där $D$ är den slutna enhetens skiva . Dess integrand är identiskt 0, så $df/d\varphi$ är likaså identiskt noll. Detta innebär att f ( φ ) är konstant. Konstanten kan bestämmas genom att utvärdera $f$ vid $\varphi =0$ :

$$f(0)=\int _{0}^{2\pi }1\,d\theta =2\pi .$$

Därför är den ursprungliga integralen också lika med $2\pi$ .

Andra problem att lösa

Det finns otaliga andra integraler som kan lösas med hjälp av differentieringstekniken under integraltecknet. Till exempel, i vart och ett av följande fall kan den ursprungliga integralen ersättas med en liknande integral med en ny parameter $\alpha$ :

$${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }e^ {-\alpha x}{\frac {\sin x}{x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\pi /2}{\frac {x}{\tan x}} \,dx&\to \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\tan ^{-1}(\alpha \tan x)}{\tan x}}dx,\\[6pt] \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+x^{2})}{1+x^{2}}}\,dx&\to \int _{0}^{ \infty }{\frac {\ln(1+\alpha ^{2}x^{2})}{1+x^{2}}}dx\\[6pt]\int _{0}^{1 }{\frac {x-1}{\ln x}}\,dx&\to \int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln x}}dx .\end{aligned}}$$

Den första integralen, Dirichlet-integralen , är absolut konvergent för positiv α men endast villkorligt konvergent när $\alpha =0$ . Därför är differentiering under integraltecknet lätt att motivera när ${\displaystyle \alpha >0} ,$ men att bevisa att den resulterande formeln förblir giltig när $\alpha =0$ kräver noggrant arbete.

Oändlig serie

Den måttteoretiska versionen av differentiering under integraltecknet gäller även summering (finit eller oändlig) genom att tolka summation som räknemått . Ett exempel på en tillämpning är det faktum att effektserier är differentierbara i sin konvergensradie.

I populärkulturen

Differentiering under integraltecknet nämns i den bortgångne fysikern Richard Feynmans bästsäljande memoarer Visst skämtar du, Mr. Feynman! i kapitlet "En annan låda med verktyg". Han beskriver att lära sig det, medan han gick i gymnasiet , från en gammal text, Advanced Calculus (1926), av Frederick S. Woods (som var professor i matematik vid Massachusetts Institute of Technology ). Tekniken lärdes inte ofta ut när Feynman senare fick sin formella utbildning i kalkyl , men med den här tekniken kunde Feynman lösa annars svåra integrationsproblem när han kom till forskarskolan vid Princeton University :

En sak jag aldrig lärde mig var konturintegrering . Jag hade lärt mig att göra integraler med olika metoder som visades i en bok som min gymnasielärare i fysik, Mr. Bader, hade gett mig. En dag sa han till mig att stanna kvar efter lektionen. "Feynman," sa han, "du pratar för mycket och du låter för mycket. Jag vet varför. Du är uttråkad. Så jag ska ge dig en bok. Du går upp där bak, i hörnet , och studera den här boken, och när du vet allt som står i den här boken, kan du prata igen." Så varje fysiklektion ägnade jag ingen uppmärksamhet åt vad som pågick med Pascals lag, eller vad de nu gjorde. Jag var längst bak med den här boken: "Advanced Calculus" , av Woods. Bader visste att jag hade studerat "Calculus for the Practical Man" lite, så han gav mig de riktiga verken - det var för en junior- eller seniorkurs på college. Den hade Fourier-serien , Bessel-funktioner , determinanter , elliptiska funktioner — alla möjliga underbara saker som jag inte visste något om. Den boken visade också hur man särskiljer parametrar under integraltecknet - det är en viss operation. Det visar sig att det inte lärs ut särskilt mycket på universiteten; de betonar det inte. Men jag fattade hur man använder den metoden, och jag använde det där jäkla verktyget om och om igen. Så eftersom jag var självlärd med den boken, hade jag speciella metoder för att göra integraler. Resultatet var, när killar på MIT eller Princeton hade problem med att göra en viss integral, det berodde på att de inte kunde göra det med de standardmetoder de hade lärt sig i skolan. Om det var konturintegration skulle de ha hittat det; om det var en enkel serieexpansion skulle de ha hittat den. Sedan kommer jag och provar att särskilja under integraltecknet, och ofta fungerade det. Så jag fick ett gott rykte för att göra integraler, bara för att min låda med verktyg skilde sig från alla andras, och de hade provat alla sina verktyg på den innan de gav mig problemet.

Se även

• Kedjeregel
• Differentiering av integraler
• Leibniz-regeln (generaliserad produktregel)
• Reynolds transportsats , en generalisering av Leibniz regel

Vidare läsning

•   Amazigo, John C.; Rubenfeld, Lester A. (1980). "Enstaka integraler: Leibnitz regel; Numerisk integration" . Avancerad kalkyl och dess tillämpningar för teknik- och fysikaliska vetenskaper . New York: Wiley. s. 155–165 . ISBN 0-471-04934-4 .
• Kaplan, Wilfred (1973). "Integraler beroende på en parameter - Leibnitz regel". Advanced Calculus (2:a upplagan). Läsning: Addison-Wesley. s. 285–288.

externa länkar

• Harron, Rob. "Leibniz-regeln" (PDF) . MAT-203 .