Pfeffer integral

Inom matematik är Pfeffer-integralen en integrationsteknik skapad av Washek Pfeffer som ett försök att utöka Henstock-Kurzweil-integralen till en flerdimensionell domän. Detta skulle göras på ett sådant sätt att kalkylens grundsats skulle gälla analogt för satsen i en dimension, med så få förutsättningar för den aktuella funktionen som möjligt. Integralen tillåter också analoger till kedjeregeln och andra satser i integralkalkylen för högre dimensioner.

Definition

Konstruktionen är baserad på Henstock- eller gauge-integralen, men Pfeffer bevisade att integralen, åtminstone i det endimensionella fallet, är mindre generell än Henstock-integralen. Den förlitar sig på vad Pfeffer refererar till som en uppsättning av begränsad variation , detta är ekvivalent med en Caccioppoli-uppsättning . Riemann-summorna av Pfeffer-integralen tas över partitioner som består av sådana uppsättningar, snarare än intervaller som i Riemann- eller Henstock-integralen. En mätare används, precis som i Henstock-integralen, förutom att mätarfunktionen kan vara noll på en försumbar uppsättning.

Egenskaper

Pfeffer definierade ett begrepp om generaliserad absolut kontinuitet ${\displaystyle ACG^{*}} ,$ nära men inte lika med definitionen av en funktion som är $ACG_{*}$ , och bevisade att en funktion är Pfeffer-integrerbar om den är derivatan av en $ACG^{*}$ funktion. Han visade också en kedjeregel för Pfeffer-integralen. I en dimension indikerar hans arbete såväl som likheter mellan Pfeffer-integralen och McShane-integralen att integralen är mer allmän än Lebesgue-integralen och ändå mindre allmän än Henstock-Kurzweil-integralen .

Bibliografi

• Bongiorno, Benedetto; Pfeffer, Washek (1992), "Ett begrepp om absolut kontinuitet och en integral av Riemann-typ", Kommentar. Matematik. Univ. Carolinae , 33 (2): 189–196
• Pfeffer, Washek (1992), "A Riemann-typdefinition av en variationsintegral", Proc. Amer. Matematik. Soc. , 114 : 99–106, doi : 10.1090/s0002-9939-1992-1072090-2