Trapetsformad regel

Den här artikeln handlar om en regel för approximering av integraler. För trapetsregeln som används för initialvärdesproblem, se Trapetsregel (differentialekvationer) och Heuns metod .

Funktionen f ( x ) (i blått) approximeras av en linjär funktion (i rött).

I kalkyl är den trapetsformade regeln (även känd som trapetsregeln eller trapetsregeln ; se trapetsformen för mer information om terminologi) en teknik för att approximera den bestämda integralen .

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$$

Trapetsregeln fungerar genom att approximera området under grafen för funktionen $f(x)$ som en trapets och beräkna dess area. Det följer att

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (ba)\cdot {\tfrac {1}{2}}(f(a)+f(b)).$$

En animation som visar vad den trapetsformade regeln är och hur felet i approximationen minskar när stegstorleken minskar

Den trapetsformade regeln kan ses som ett resultat som erhålls genom att medelvärdesbeloppet för Riemann till vänster och höger , och definieras ibland på detta sätt. Integralen kan approximeras ännu bättre genom att partitionera integrationsintervallet , tillämpa trapetsregeln på varje delintervall och summera resultaten. I praktiken är denna "kedjade" (eller "sammansatta") trapetsformade regel vanligtvis vad som menas med "integrering med trapetsregeln". Låt $\{x_{k}\}$ vara en partition av $[a,b]$ så att ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b} och Δ x$ k $\Delta x_{k} }$ vara längden på $k$ -th delintervallet (det vill säga $\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1 }$ ), sedan

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f( x_{k})}{2}}\Delta x_{k}.$$

När partitionen har ett regelbundet mellanrum, som ofta är fallet, det vill säga när alla $\Delta x_{k}$ har samma värde $\Delta x,$ formeln kan förenklas för beräkningseffektivitet genom att faktorisera $\Delta x$ ut:.

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {\Delta x}{2}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1 })+2f(x_{2})+2f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_{N})\höger) .$$

Approximationen blir mer exakt när upplösningen på partitionen ökar (det vill säga för större $N$ minskar alla ${\displaystyle \Delta x_{k}}) .$

Som diskuteras nedan är det också möjligt att sätta felgränser på noggrannheten av värdet av en bestämd integral som uppskattas med hjälp av en trapetsformad regel.

Illustration av "kedjad trapetsformad regel" som används på en partition med oregelbundet mellanrum av $[a,b]$ .

Historia

En vetenskapsartikel från 2016 rapporterar att trapetsregeln användes i Babylon före 50 f.Kr. för att integrera Jupiters hastighet längs ekliptikan .

Numerisk implementering

Ojämnt rutnät

När rutnätsavståndet är ojämnt kan man använda formeln

$$\int _{a}^{b}f(x) \,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k},$$

varvid $\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}.$

Enhetligt rutnät

För en domän diskretiserad till $N$ jämnt fördelade paneler kan avsevärd förenkling inträffa. Låta

$$\Delta x_{k}=\Delta x={\frac {ba}{N}}$$

approximationen till integralen blir

$${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {\Delta x}{2}}\sum _{k=1}^{ N}\left(f(x_{k-1})+f(x_{k})\right)\\[1ex]&={\frac {\Delta x}{2}}{\Biggl (}f (x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\dotsb +2f(x_{N-1})+f(x_{N} ){\Biggr )}\\[1ex]&=\Delta x\left(\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})+{\frac {f(x_{N })+f(x_{0})}{2}}\höger).\end{aligned}}$$

Felanalys

En animation som visar hur den trapetsformade regelapproximationen förbättras med fler remsor för ett intervall med $a=2$ och $b=8$ . När antalet intervaller $N$ ökar, ökar också noggrannheten i resultatet.

Felet i den sammansatta trapetsformade regeln är skillnaden mellan värdet på integralen och det numeriska resultatet:

$${ \text{E}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {ba}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\summa _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {ba}{N}}\right)\right]$$

Det finns ett tal ξ mellan a och b , så att

$${\text{E}}=-{\frac {(ba)^{3}}{12N^{2}}}f ''(\xi)$$

Det följer att om integranden är konkav uppåt (och därmed har en positiv andraderivata), så är felet negativt och trapetsregeln överskattar det sanna värdet. Detta kan också ses från den geometriska bilden: trapetserna omfattar hela området under kurvan och sträcker sig över den. På liknande sätt ger en konkav nedåtriktad funktion en underskattning eftersom arean inte redovisas under kurvan, men ingen räknas ovan. Om intervallet för integralen som approximeras inkluderar en böjningspunkt är felet svårare att identifiera.

En asymptotisk feluppskattning för N → ∞ ges av

$${\text{E}}=-{\frac {(ba)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\ stor ]}+O(N^{-3}).$$

Ytterligare termer i denna feluppskattning ges av Euler-Maclaurins summationsformel.

Flera tekniker kan användas för att analysera felet, inklusive:

1. Fourier-serier
2. Restkalkyl
3. Euler-Maclaurin summeringsformel
4. Polynominterpolation

Det hävdas att konvergenshastigheten för den trapetsformade regeln återspeglar och kan användas som en definition av klasser av jämnhet hos funktionerna.

Bevis

Antag först att $h={\frac {ba}{N}}$ och $a_{k}=a+(k-1 )h$ . Låta

$$g_{k}(t)={ \frac {1}{2}}t[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]-\int _{a_{k}}^{a_{k}+t}f( x)\,dx$$

vara funktionen sådan att $|g_{k}(h)|$ är felet i trapetsregeln på ett av intervallen, $[a_{k},a_{k}+h ]$ . Sedan

$${dg_ {k} \over dt}={1 \over 2}[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]+{1 \over 2}t\cdot f'(a_{k} +t)-f(a_{k}+t),$$

och

$${d^{2}g_{k} \over dt^{2}}={1 \over 2}t\cdot f''(a_{k}+t).$$

Anta nu att ${\displaystyle \left|f''(x)\right|\leq \left|f''(\xi )\right|,} som gäller$ om $f$ är tillräckligt jämn. Sedan följer det

$$\left|f''(a_{k}+t)\right|\leq f''(\xi)$$

vilket är ekvivalent med $-f''(\xi )\leq f''(a_{k}+t)\ leq f''(\xi)$ , eller $-{\frac {f''(\xi )t}{2}}\leq g_{k}''(t)\leq {\frac {f''(\xi )t}{2} }.$

Eftersom $g_{k}'(0)=0$ och $g_{k}(0)=0$ ,

$$\int _{0}^{t}g_{k}''(x)dx=g_{k}'(t)$$

och

$$\int _{0}^{t}g_{k}'(x)dx=g_{k}(t).$$

Med hjälp av dessa resultat finner vi

$$-{\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}} \leq g_{k}'(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}$$

och

$$-{\frac {f''(\xi)t^{3}}{12}}\ leq g_{k}(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}$$

Låter vi $t=h$ finner vi

$$-{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq g_{k}(h)\leq {\frac {f''(\xi )h^{ 3}}{12}}.$$

Att summera alla lokala feltermer vi hittar

$$\sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)={\frac {ba}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2} +\summa _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {ba}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f (x)dx.$$

Men det har vi också

$$-\sum _{k=1 }^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)\leq \ summa _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}$$

och

$$\sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi ) h^{3}}{12}}={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}},$$

så att

$$-{\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}\leq {\frac {ba}{N}}\left[{f(a)+f(b ) \over 2}+\summa _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {ba}{N}}\right)\right]-\int _{a} ^{b}f(x)dx\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}.$$

Därför är det totala felet begränsat av

$${\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {ba}{N}}\left[{f(a)+f( b) \över 2}+\summa _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {ba}{N}}\right)\right]={\frac {f ''(\xi )h^{3}N}{12}}={\frac {f''(\xi )(ba)^{3}}{12N^{2}}}.$$

Periodiska och toppfunktioner

Den trapetsformade regeln konvergerar snabbt för periodiska funktioner. Detta är en enkel konsekvens av Euler-Maclaurins summationsformel , som säger att om $f$ är $p$ gånger kontinuerligt differentierbar med period $T$

$${ \displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}f(kh)h=\int _{0}^{T}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{\ lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(T)-f^{(2k-1)}(0)) -(-1)^{p}h^{p}\int _{0}^{T}{\tilde {B}}_{p}(x/T)f^{(p)}(x) \,dx}$$

där $h:=T/N$ och ${\tilde {B}}_{p}$ är den periodiska förlängningen av $p$ th Bernoulli polynom. På grund av periodiciteten avbryts derivatorna vid ändpunkten och vi ser att felet är $O(h^{p})$ .

En liknande effekt är tillgänglig för toppliknande funktioner, såsom Gaussisk , Exponentiellt modifierad Gaussisk och andra funktioner med derivator vid integrationsgränser som kan försummas. Utvärderingen av den fullständiga integralen av en Gauss-funktion med trapetsregel med 1% noggrannhet kan göras med bara 4 poäng. Simpsons regel kräver 1,8 gånger fler poäng för att uppnå samma noggrannhet.

Även om vissa ansträngningar har gjorts för att utöka Euler-Maclaurins summationsformel till högre dimensioner, är det enklaste beviset på den snabba konvergensen av trapetsregeln i högre dimensioner att reducera problemet till det med konvergens av Fourier-serier. Detta resonemang visar att om $f$ är periodisk på ett $n$ -dimensionellt utrymme med $p$ kontinuerliga derivator, är konvergenshastigheten ${\ displaystyle O(h^{p/d})}$ . För mycket stora dimensioner visar det att Monte-Carlo-integration med största sannolikhet är ett bättre val, men för 2- och 3-dimensioner är equispaced sampling effektiv. Detta utnyttjas i beräkningsbaserat fast tillståndsfysik där provtagning med ekvivalent avstånd över primitiva celler i det ömsesidiga gittret är känt som Monkhorst-Pack-integration .

"Rough" funktioner

För funktioner som inte finns i C ² är felgränsen som ges ovan inte tillämplig. Ändå kan felgränser för sådana grova funktioner härledas, som vanligtvis visar en långsammare konvergens med antalet funktionsutvärderingar $N$ än $O(N^{-2})$ beteende som anges ovan. Intressant nog har den trapetsformade regeln i det här fallet ofta skarpare gränser än Simpsons regel för samma antal funktionsutvärderingar.

Tillämplighet och alternativ

Den trapetsformade regeln är en av en familj av formler för numerisk integration som kallas Newton-Cotes-formler , där mittpunktsregeln liknar trapetsregeln. Simpsons regel är en annan medlem av samma familj och har i allmänhet snabbare konvergens än trapetsregeln för funktioner som är två gånger kontinuerligt differentierbara, dock inte i alla specifika fall. Men för olika klasser av grövre funktioner (de med svagare jämnhetsförhållanden) har trapetsregeln snabbare konvergens i allmänhet än Simpsons regel.

Dessutom tenderar den trapetsformade regeln att bli extremt exakt när periodiska funktioner integreras över sina perioder, vilket kan analyseras på olika sätt . En liknande effekt är tillgänglig för toppfunktioner.

För icke-periodiska funktioner är dock metoder med ojämnt fördelade punkter som Gaussisk kvadratur och Clenshaw–Curtis kvadratur i allmänhet mycket mer exakta; Clenshaw–Curtis-kvadraturen kan ses som en förändring av variabler för att uttrycka godtyckliga integraler i termer av periodiska integraler, vid vilken punkt den trapetsformade regeln kan tillämpas korrekt.

Exempel

Följande integral ges:

$$\int _{0,1}^{1,3}{5xe^{-2x}{dx}}$$

1. Använd den sammansatta trapetsformade regeln för att uppskatta värdet av denna integral. Använd tre segment.
2. Hitta det sanna felet ${\textstyle E_{t}}$ för del (a).
3. Hitta det absoluta relativa sanna felet ${\textstil \left|\varepsilon _{t}\right|}$ för del (a).

Lösning

1. Lösningen med den sammansatta trapetsformade regeln med 3 segment tillämpas enligt följande.
   $$\int _{a }^{b}{f(x){dx}}\approx {\frac {ba}{2n}}\left\lbrack f(a)+2\summa _{i=1}^{n-1} {f(a+{ih})}+f(b)\right\rbrack$$
   $${\begin{aligned}n&=3\\a&=0.1\\b&=1.3\\h&={\ frac {ba}{n}}={\frac {1.3-0.1}{3}}=0.4\end{aligned}}$$

   Använder den sammansatta trapetsformeln

   $${\begin{aligned}\int _{a}^{b}{f(x){dx}}\approx {\frac {ba}{2n}}\left\lbrack f(a)+2\left\ {\sum _{i=1}^{n-1}{f(a+{ih})}\höger\}+f(b)\höger\rbrack \;\;\;\;\;\;\ ;\;\;\;\;\;(3)\end{aligned}}$$
   $${aligned}I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left\lbrack f(0.1)+2\sum _{i=1}^{3-1}{f(0.1+0.4i) }+f(1.3)\höger\rbrack \\I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left\lbrack f(0.1)+2\summa _{i=1}^{2}{ f(0.1+0.4i)}+f(1.3)\höger\rbrack \\&=0.2\lbrack f(0.1)+2f(0.5)+2f(0.9)+f(1.3)\rbrack \\&=0.2 [5\ gånger 0.1\ gånger e^{-2(0.1)}+2(5\ gånger 0.5\ gånger e^{-2(0.5)})+2(5\ gånger 0.9\ gånger e^{-2( 0.9)})+5\ gånger 1.3\ gånger e^{-2(1.3)}\rbrack \\&=0.84385\end{aligned}}$$
2. Det exakta värdet av ovanstående integral kan hittas genom integrering av delar och är
   $$\int _{0.1}^{1.3}5xe^{-2x}{dx}=0.89387$$
   Så det sanna felet är
   $${\begin{aligned}E_{t}&={\text{True Value}}-{\text{Ungefärligt värde}}\\&= 0.89387-0.84385\\&=0.05002\end{aligned}}$$
3. Det absoluta relativa sanna felet är
   $$\displaystyle {\begin{aligned}\left|\varepsilon _{t}\right|&=\left|{\frac {\text{True Error}}{\text{True Värde}}}\right|\times 100\%\\&=\left|{\frac {0.05002}{0.89387}}\right|\times 100\%\\&=5.5959\%\end{aligned}}$$

Se även

• Gaussisk kvadratur
• Newton-Cotes formler
• Rektangelmetod
• Rombergs metod
• Simpsons regel
• Volterra integralekvation § Numerisk lösning med trapetsregel

Anteckningar

•   Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50023-0
•   Rahman, Qazi I.; Schmeisser, Gerhard (december 1990), "Karakterisering av konvergenshastigheten för trapetsregeln", Numerische Mathematik , 57 (1): 123–138, doi : 10.1007/BF01386402 , ISSN 0945-322451 , S42451 , S42451  
•   Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2000), Numerical Analysis (7:e upplagan), Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-38216-2
•   Weideman, JAC (januari 2002), "Numerical Integration of Periodic Functions: A Few Examples", The American Mathematical Monthly , 109 (1): 21–36, doi : 10.2307/2695765 , JSTOR 2695765
• Cruz-Uribe, D.; Neugebauer, CJ (2002), "Sharp Error Bounds for the Trapezoidal Rule and Simpsons Rule" (PDF) , Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics , 3 (4)

externa länkar

• Trapesformel. IP Mysovskikh , Encyclopedia of Mathematics , red. M. Hazewinkel
• Anteckningar om konvergensen av trapetsformad regelkvadratur
• En implementering av trapetsformad kvadratur tillhandahållen av Boost.Math