Kontinuerlig linjär förlängning

I funktionsanalys är det ofta bekvämt att definiera en linjär transformation på ett komplett , normerat vektorrum $X$ genom att först definiera en linjär transformation $L$ på en tät delmängd av $X$ och förlänger sedan kontinuerligt $L$ till hela rymden via satsen nedan. Den resulterande förlängningen förblir linjär och avgränsad , och är således kontinuerlig , vilket gör den till en kontinuerlig linjär förlängning .

Denna procedur är känd som kontinuerlig linjär förlängning .

Sats

Varje avgränsad linjär transformation $L$ från ett normerat vektorrum $X$ till ett komplett, normerat vektorrum $Y$ kan unikt utökas till en avgränsad linjär transformation ${\ widehat {L}}$ från slutförandet av $X$ till $Y.$ Dessutom är operatornormen för $L$$c$ om och endast om normen för ${\widehat {L}}$ är $c.$

Denna sats kallas ibland för BLT-satsen .

Ansökan

Betrakta till exempel definitionen av Riemann-integralen . En stegfunktion på ett slutet intervall $[a,b]$ är en funktion av formen: $f\equiv r_{1}\mathbf {1} _{[a,x_{1})}+r_{2}\mathbf {1} _{[x_{1},x_{2})}+\cdots +r_{n}\mathbf {1} _{[x_{n-1},b]}$ där ${ \displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$ är reella tal, $a=x_{0}<x_{ 1}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b,$ och $\mathbf {1} _{S}$ anger indikatorfunktionen för mängden $S.$ Utrymmet för alla stegfunktioner på $[a,b],$ normerat av ${\displaystyle L^{\infty }}-$ normen (se Lp space ) , är ett normerat vektorrum som vi betecknar med ${\mathcal {S}}.$ Definiera integralen för en stegfunktion genom att:

$$I\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}\mathbf {1} _{[x_{i-1},x_{i})}\right)=\summa _{i=1}^{n}r_{i}(x_{i}-x_{i-1}).$$

$I$ som funktion är en avgränsad linjär transformation från ${\mathcal {S}}$ till $\mathbb {R} .$

Låt ${\mathcal {PC}}$ beteckna utrymmet för avgränsade, bitvis kontinuerliga funktioner på $[a,b]$ som är kontinuerliga från höger, tillsammans med $L^{\infty }$ norm. Mellanrummet ${\mathcal {S}}$ är tätt i ${\displaystyle {\mathcal {PC}},} så vi kan$ BLT-satsen för att utöka den linjära transformationen I $\displaystyle I}$ till en avgränsad linjär transformation ${\widehat {I}}$ från ${\mathcal {PC}}$ till $\mathbb {R} .$ Detta definierar Riemann-integralen för alla funktioner i ${\mathcal {PC}$ ; för varje $f\in {\mathcal {PC}},$$\int _{a}^{b}f(x)dx={\widehat {I}}(f).$

Hahn-Banach-satsen

Ovanstående sats kan användas för att utöka en avgränsad linjär transformation $T:S\to Y$ till en avgränsad linjär transformation från ${\bar {S}}=X$ till $Y,$ om $S$ är tät i $X.$ Om $S$ inte är tät i ${\displaystyle X,} kan$ Hahn –Banach-satsen ibland användas för att visa att en förlängning existerar . Tillägget kanske inte är unikt.

Se även

• Sluten grafsats (funktionell analys) – Satser som kopplar kontinuitet till stängning av grafer
• Kontinuerlig linjär operator
• Tätt definierad operator – Funktion som definieras nästan överallt (matematik)
• Hahn–Banachs sats – Sats om förlängning av avgränsade linjära funktionaler
• Linjär förlängning (linjär algebra) – Matematisk funktion, i linjär algebra Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Partiell funktion – Funktion vars faktiska definitionsdomän kan vara mindre än dess skenbara domän
• Vektorvärderade Hahn–Banach-satser

•   Reed, Michael; Barry Simon (1980). Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Funktionsanalys . San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-585050-6 .