Analytisk mekanik

Inom teoretisk fysik och matematisk fysik är analytisk mekanik eller teoretisk mekanik en samling närbesläktade alternativa formuleringar av klassisk mekanik . Det utvecklades av många vetenskapsmän och matematiker under 1700-talet och framåt, efter Newtonsk mekanik . Sedan Newtonsk mekanik betraktar vektorkvantiteter av rörelse, särskilt accelerationer , moment , krafter , av beståndsdelarna i systemet, är ett alternativt namn för mekaniken som styrs av Newtons lagar och Eulers lagar vektoriell mekanik .

Däremot använder analytisk mekanik skalära rörelseegenskaper som representerar systemet som helhet - vanligtvis dess totala kinetiska energi och potentiella energi - inte Newtons vektorkrafter hos enskilda partiklar. En skalär är en kvantitet, medan en vektor representeras av kvantitet och riktning. Rörelseekvationerna från den skalära kvantiteten genom någon underliggande princip om skalärens variation .

Analytisk mekanik drar fördel av ett systems begränsningar för att lösa problem. Begränsningarna begränsar frihetsgraderna som systemet kan ha, och kan användas för att minska antalet koordinater som behövs för att lösa rörelsen. Formalismen lämpar sig väl för godtyckliga val av koordinater, i sammanhanget kända som generaliserade koordinater . Systemets kinetiska och potentiella energier uttrycks med hjälp av dessa generaliserade koordinater eller momenta, och rörelseekvationerna kan lätt ställas upp, så analytisk mekanik tillåter att många mekaniska problem lösas med större effektivitet än helt vektoriella metoder. Det fungerar inte alltid för icke- konservativa krafter eller dissipativa krafter som friktion , i vilket fall man kan återgå till newtonsk mekanik.

Två dominerande grenar av analytisk mekanik är Lagrangian mekanik (som använder generaliserade koordinater och motsvarande generaliserade hastigheter i konfigurationsrymden ) och Hamiltonian mekanik (som använder koordinater och motsvarande momenta i fasrymden ). Båda formuleringarna är ekvivalenta med en Legendre-transformation på generaliserade koordinater, hastigheter och moment, därför innehåller båda samma information för att beskriva dynamiken i ett system. Det finns andra formuleringar som Hamilton–Jacobi-teorin , Routhian mekanik och Appells rörelseekvation . Alla rörelseekvationer för partiklar och fält, oavsett formalism, kan härledas från det allmänt tillämpliga resultatet som kallas principen om minsta handling . Ett resultat är Noethers teorem , ett uttalande som kopplar bevarandelagar till deras associerade symmetrier .

Analytisk mekanik introducerar inte ny fysik och är inte mer allmän än newtonsk mekanik. Det är snarare en samling likvärdiga formalismer som har bred tillämpning. Faktum är att samma principer och formalismer kan användas i relativistisk mekanik och allmän relativitetsteori , och med vissa modifieringar, kvantmekanik och kvantfältteori .

Analytisk mekanik används flitigt, från grundläggande fysik till tillämpad matematik , särskilt kaosteori .

Den analytiska mekanikens metoder gäller för diskreta partiklar, var och en med ett begränsat antal frihetsgrader. De kan modifieras för att beskriva kontinuerliga fält eller vätskor, som har oändliga frihetsgrader. Definitionerna och ekvationerna har en nära analogi med mekanikens.

Motivation för analytisk mekanik

Målet med mekanisk teori är att lösa mekaniska problem, såsom uppstår inom fysik och teknik. Med utgångspunkt från ett fysiskt system – som en mekanism eller ett stjärnsystem – utvecklas en matematisk modell i form av en differentialekvation. Modellen kan lösas numeriskt eller analytiskt för att bestämma systemets rörelse.

Newtons vektoriella inställning till mekanik beskriver rörelse med hjälp av vektorstorheter som kraft , hastighet , acceleration . Dessa kvantiteter karakteriserar rörelsen hos en kropp idealiserad som en "masspunkt" eller en " partikel " förstås som en enda punkt till vilken en massa är fäst. Newtons metod har framgångsrikt tillämpats på ett brett spektrum av fysiska problem , inklusive rörelsen av en partikel i jordens gravitationsfält och planeternas rörelse runt solen. I detta tillvägagångssätt beskriver Newtons lagar rörelsen med en differentialekvation och sedan reduceras problemet till att lösa den ekvationen.

När ett mekaniskt system innehåller många partiklar, men (som en komplex mekanism eller en vätska ), är Newtons tillvägagångssätt svår att tillämpa. Att använda ett Newtonskt tillvägagångssätt är möjligt, under lämpliga försiktighetsåtgärder, nämligen att isolera varje enskild partikel från de andra och bestämma alla krafter som verkar på den. Sådan analys är besvärlig även i relativt enkla system. Newton trodde att hans tredje lag "handling är lika med reaktion" skulle ta hand om alla komplikationer. Detta är falskt även för ett så enkelt system som rotationer av en solid kropp . I mer komplicerade system kan den vektoriella metoden inte ge en adekvat beskrivning.

Det analytiska tillvägagångssättet förenklar problem genom att behandla mekaniska system som ensembler av partiklar som interagerar med varandra, snarare betrakta varje partikel som en isolerad enhet. I det vektoriella tillvägagångssättet måste krafter bestämmas individuellt för varje partikel, medan det i det analytiska tillvägagångssättet räcker med att känna till en enda funktion som implicit innehåller alla krafter som verkar på och i systemet. Sådan förenkling görs ofta med hjälp av vissa kinematiska förhållanden som anges a priori . Den analytiska behandlingen kräver dock inte kunskap om dessa krafter och tar dessa kinematiska förhållanden för givna.

Ändå kräver att härleda rörelseekvationerna för ett komplicerat mekaniskt system en förenande grund från vilken de följer. Detta tillhandahålls av olika variationsprinciper : bakom varje uppsättning ekvationer finns en princip som uttrycker betydelsen av hela uppsättningen. Givet en grundläggande och universell storhet som kallas action , genererar principen att denna handling är stationär under liten variation av någon annan mekanisk kvantitet den erforderliga uppsättningen differentialekvationer. Uttalandet av principen kräver inget speciellt koordinatsystem och alla resultat uttrycks i generaliserade koordinater . Detta innebär att de analytiska rörelseekvationerna inte ändras vid en koordinattransformation , en invariansegenskap som saknas i vektoriella rörelseekvationer.

Det är inte helt klart vad som menas med att "lösa" en uppsättning differentialekvationer. Ett problem anses vara löst när partiklarnas koordinater vid tidpunkten t uttrycks som enkla funktioner av t och av parametrar som definierar de initiala positionerna och hastigheterna. Men 'enkel funktion' är inte ett väldefinierat begrepp: numera betraktas en funktion f ( t ) inte som ett formellt uttryck i t ( elementär funktion ) som på Newtons tid utan oftast som en kvantitet som bestäms av t , och det är inte möjligt att dra en skarp gräns mellan "enkla" och "inte enkla" funktioner. Om man bara talar om 'funktioner', så är varje mekaniskt problem löst så snart det väl har uttryckts i differentialekvationer, eftersom de initiala förutsättningarna och t bestämmer koordinaterna vid t . Detta är ett faktum speciellt för närvarande med de moderna metoderna för datormodellering som tillhandahåller aritmetiska lösningar på mekaniska problem till valfri grad av noggrannhet, där differentialekvationerna ersätts av skillnadsekvationer .

Ändå, även om det saknas exakta definitioner, är det uppenbart att tvåkroppsproblemet har en enkel lösning, medan trekroppsproblemet inte har det. Tvåkroppsproblemet löses genom formler som involverar parametrar; deras värden kan ändras för att studera klassen av alla lösningar, det vill säga problemets matematiska struktur . Dessutom kan en korrekt mental eller ritad bild göras för två kroppars rörelse, och den kan vara lika verklig och korrekt som de verkliga kropparna som rör sig och samverkar. I trekroppsproblemet kan parametrar även tilldelas specifika värden; Lösningen vid dessa tilldelade värden eller en samling av sådana lösningar avslöjar dock inte problemets matematiska struktur. Liksom i många andra problem kan den matematiska strukturen belysas endast genom att undersöka själva differentialekvationerna.

Analytisk mekanik syftar till ännu mer: inte att förstå den matematiska strukturen för ett enskilt mekaniskt problem, utan att förstå en klass av problem som är så bred att de omfattar det mesta av mekaniken. Den koncentrerar sig på system för vilka lagrangiska eller hamiltonska rörelseekvationer är tillämpliga och som faktiskt inkluderar ett mycket brett spektrum av problem.

Utveckling av analytisk mekanik har två mål: (i) öka utbudet av lösbara problem genom att utveckla standardtekniker med ett brett spektrum av tillämpbarhet, och (ii) förstå mekanikens matematiska struktur. I det långa loppet kan dock (ii) hjälpa (i) mer än en koncentration på specifika problem för vilka metoder redan har utformats.

Inre rörelse

Generaliserade koordinater och begränsningar

I Newtonsk mekanik använder man vanligtvis alla tre kartesiska koordinater , eller annat 3D- koordinatsystem , för att hänvisa till en kropps position under dess rörelse. I fysiska system hindrar dock någon struktur eller annat system vanligtvis kroppens rörelse från att ta vissa riktningar och vägar. Så en fullständig uppsättning kartesiska koordinater är ofta onödig, eftersom begränsningarna bestämmer de utvecklande relationerna mellan koordinaterna, vilka förhållanden kan modelleras med ekvationer som motsvarar begränsningarna. I de lagrangska och hamiltonska formalismerna är begränsningarna införlivade i rörelsens geometri, vilket minskar antalet koordinater till det minimum som behövs för att modellera rörelsen. Dessa är kända som generaliserade koordinater , betecknade q _i ( i = 1, 2, 3...).

Skillnad mellan kurvlinjära och generaliserade koordinater

Generaliserade koordinater innehåller begränsningar på systemet. Det finns en generaliserad koordinat q _i för varje frihetsgrad (för enkelhetens skull märkt med ett index i = 1, 2... N ), dvs varje sätt som systemet kan ändra sin konfiguration ; som kurvlinjära längder eller rotationsvinklar. Generaliserade koordinater är inte detsamma som kurvlinjära koordinater. Antalet kurvlinjära koordinater är lika med dimensionen för positionsutrymmet i fråga (vanligtvis 3 för 3d-utrymme), medan antalet generaliserade koordinater inte nödvändigtvis är lika med denna dimension; begränsningar kan minska antalet frihetsgrader (därav antalet generaliserade koordinater som krävs för att definiera systemets konfiguration), enligt den allmänna regeln:

[ dimension av positionsutrymme (vanligtvis 3)] × [antal beståndsdelar i systemet ("partiklar")] − (antal begränsningar )

= (antal frihetsgrader ) = (antal generaliserade koordinater )

För ett system med N frihetsgrader kan de generaliserade koordinaterna samlas in i en N - tuppel :

$$\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})$$

och tidsderivatan (här betecknad med en överpunkt) för denna tupel ger de generaliserade hastigheterna :

$${\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=\left({\frac {dq_{1}}{dt}},{\frac {dq_{2}}{dt}}, \dots ,{\frac {dq_{N}}{dt}}\right)\equiv \mathbf {\dot {q}} =({\dot {q}}_{1},{\dot {q} }_{2},\dots ,{\dot {q}}_{N}).$$

D'Alemberts princip

Grunden som ämnet bygger på är D'Alemberts princip .

Denna princip säger att det oändliga virtuella arbetet som utförs av en kraft över reversibla förskjutningar är noll, vilket är det arbete som utförs av en kraft som överensstämmer med systemets ideala begränsningar. Idén med en begränsning är användbar - eftersom detta begränsar vad systemet kan göra och kan ge steg för att lösa systemets rörelse. Ekvationen för D'Alemberts princip är:

$$\delta W={\boldsymbol {\mathcal {Q}}}\cdot \delta \mathbf {q} =0\,,$$

var

$${\boldsymbol {\mathcal {Q}}}=({\mathcal {Q}}_{1},{\mathcal {Q}}_ {2},\dots ,{\mathcal {Q}}_{N})$$

är de generaliserade krafterna (skript Q istället för vanliga Q används här för att förhindra konflikt med kanoniska transformationer nedan) och q är de generaliserade koordinaterna. Detta leder till den generaliserade formen av Newtons lagar i den analytiska mekanikens språk:

$${\boldsymbol {\mathcal {Q}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac { \partial T}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)-{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {q} }}\,,$$

där T är systemets totala kinetiska energi och notationen

$${\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}=\left({\frac { \partial }{\partial q_{1}}},{\frac {\partial }{\partial q_{2}}},\dots,{\frac {\partial }{\partial q_{N}}}\ höger)$$

är en användbar stenografi (se matriskalkyl för denna notation).

Holonomiska begränsningar

Om det kurvlinjära koordinatsystemet definieras av standardpositionsvektorn r , och om positionsvektorn kan skrivas i termer av de generaliserade koordinaterna q och tiden t i formen:

$$\mathbf {r} =\mathbf {r} (\mathbf {q} (t),t)$$

och detta förhållande gäller för alla tider t , då kallas q holonomiska begränsningar . Vektor r är explicit beroende av t i fall då begränsningarna varierar med tiden, inte bara på grund av q ( t ) . För tidsoberoende situationer kallas begränsningarna också för skleronomiska , för tidsberoende fall kallas de reonomiska .

Lagrangemekanik

Lagrangian och Euler-Lagrange ekvationer

Införandet av generaliserade koordinater och den grundläggande lagrangiska funktionen:

$L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} , t)=T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)$

där T är den totala kinetiska energin och V är den totala potentiella energin för hela systemet, sedan antingen följa variationskalkylen eller använda ovanstående formel - leda till Euler–Lagrange-ekvationerna ;

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q }} }}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\,,$

qi _en uppsättning av N andra ordningens vanliga differentialekvationer , en för varje ( t ).

Denna formulering identifierar den faktiska vägen som följs av rörelsen som ett urval av den väg över vilken tidsintegralen av kinetisk energi är minst, förutsatt att den totala energin är fixerad och inte ställer några villkor för transittiden.

Konfigurationsutrymme

Den lagrangiska formuleringen använder systemets konfigurationsutrymme, uppsättningen av alla möjliga generaliserade koordinater:

${\mathcal {C}}=\{\mathbf {q} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,,$

där $\mathbb {R} ^{N}$ är N -dimensionellt reellt utrymme (se även set-builder notation ). Den speciella lösningen på Euler–Lagrange-ekvationerna kallas en (konfigurations)bana eller bana , dvs. en viss q ( t ) som är föremål för de nödvändiga initiala villkoren . De allmänna lösningarna bildar en uppsättning möjliga konfigurationer som funktioner av tid:

$\{\mathbf {q} (t)\in \mathbb {R} ^{N}\,:\,t\ geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {C}}\,,$

Konfigurationsutrymmet kan definieras mer generellt, och faktiskt djupare, i termer av topologiska grenrör och tangentbunten .

Hamiltonsk mekanik

Hamiltonians och Hamiltons ekvationer

Legendre -transformationen av Lagrangian ersätter de generaliserade koordinaterna och hastigheterna ( q , q̇ ) med ( q , p ) ; de generaliserade koordinaterna och de generaliserade momenta konjugerar till de generaliserade koordinaterna:

$\$

och introducerar Hamiltonian (som är i termer av generaliserade koordinater och momenta):

$H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)$

där $\cdot$ betecknar punktprodukten , vilket också leder till Hamiltons ekvationer :

$\mathbf {\dot {p}} =-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }} \,,\quad \mathbf {\dot {q}} =+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\,,$

som nu är en uppsättning av 2 N första ordningens vanliga differentialekvationer, en för varje qi _. ( t ) och pi _t ( ) Ett annat resultat från Legendre-transformationen relaterar tidsderivatorna av Lagrangian och Hamiltonian:

${\frac {dH}{dt}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,,$

som ofta anses vara en av Hamiltons rörelseekvationer förutom de andra. Det generaliserade momentet kan skrivas i termer av de generaliserade krafterna på samma sätt som Newtons andra lag:

$\mathbf {\dot {p}} ={\boldsymbol {\mathcal {Q}}}\,.$

Generaliserat momentumutrymme

Analogt med konfigurationsutrymmet är uppsättningen av alla momenta momentumrymden ( tekniskt sett i detta sammanhang; generaliserat momentumrum ):

${\mathcal {M}}=\{\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,.$

"Momentrum" hänvisar också till " k -mellanrum"; uppsättningen av alla vågvektorer (givna av De Broglie-relationer ) som används inom kvantmekanik och vågteori : detta hänvisas inte till i detta sammanhang.

Fasutrymme

Uppsättningen av alla positioner och moment bildar fasrummet ;

${\mathcal {P}}={\mathcal {C}}\ gånger {\mathcal {M}}=\{(\ mathbf {q} ,\mathbf {p} )\in \mathbb {R} ^{2N}\}\,,$

det vill säga den kartesiska produkten × av konfigurationsutrymmet och generaliserat momentumutrymme.

En speciell lösning på Hamiltons ekvationer kallas en fasbana , en speciell kurva ( q ( t ), p ( t )) under förutsättning av de nödvändiga initiala villkoren. Uppsättningen av alla fasvägar, den allmänna lösningen till differentialekvationerna, är fasporträttet :

${\displaystyle \{(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t) )\in \mathbb {R} ^{2N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {P}}\,,} Poisson$

- parentesen

Alla dynamiska variabler kan härledas från position q , momentum p och tid t , och skrivas som en funktion av dessa: A = A ( q , p , t ). Om A ( q , p , t ) och B ( q , p , t ) är två skalära dynamiska variabler, definieras Poisson-parentesen av de generaliserade koordinaterna och momenta:

${\begin{aligned}\{A,B\}\equiv \{A,B\}_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&= {\frac {\partial A}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial B}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial A}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial B}{\partial \mathbf {q} }}\\&\equiv \sum _{k}{\frac {\partial A}{\partial q_ {k}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial B}{\ partiell q_{k}}}\,,\end{aligned}}$

Att beräkna den totala derivatan av en av dessa, säg A , och substituera Hamiltons ekvationer i resultatet leder till tidsutvecklingen av A :

${\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}\,.$

Denna ekvation i A är nära besläktad med rörelseekvationen i Heisenbergs bild av kvantmekanik , där klassiska dynamiska variabler blir kvantoperatorer (anges med hattar (^)), och Poisson-parentesen ersätts av kommutatorn för operatorer via Diracs. kanonisk kvantisering :

$\{A,B\}\rightarrow {\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]\,.$

Egenskaper för de lagrangska och hamiltonska funktionerna

Följande är överlappande egenskaper mellan Lagrangian och Hamiltonian funktioner.

• Alla individuella generaliserade koordinater qi _{t )} ( , hastigheter q̇i _t ( ) och momenta p i ₍ t ) för varje frihetsgrad är ömsesidigt oberoende. Explicit tidsberoende för en funktion innebär att funktionen faktiskt inkluderar tid t som en variabel förutom q ( t ), p ( t ), inte bara som en parameter genom q ( t ) och p ( t ), vilket skulle betyda uttryckligt tidsoberoende.
• Lagrangian är invariant under tillägg av den totala tidsderivatan av någon funktion av q' och t , det är:
  $$L'=L+{\frac {d}{dt}}F(\mathbf {q} ,t)\,,$$
  så varje lagrangian L och L beskriv exakt samma rörelse . Med andra ord är ett systems lagrangian inte unik.
• Analogt är Hamiltonian invariant under addition av den partiella tidsderivatan av vilken funktion som helst av q , p och t , det vill säga:
  $$K=H+{\frac {\partial }{\partial t}}G(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t )\,,$$
  ( K är en ofta använd bokstav i detta fall). Denna egenskap används i kanoniska transformationer (se nedan).
• Om Lagrangian är oberoende av några generaliserade koordinater, då det generaliserade momenta konjugatet till dessa koordinater är konstanter för rörelsen, dvs är bevarade , detta följer omedelbart av Lagranges ekvationer:
  $${\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\,\rightarrow \ ,{\frac {dp_{j}}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}= 0$$
  Sådana koordinater är " cykliska " eller "ignorerbara". Det kan visas att Hamiltonian också är cyklisk i exakt samma generaliserade koordinater.
• Om Lagrangian är tidsoberoende är Hamiltonian också tidsoberoende (dvs båda är konstanta i tiden).
• Om den kinetiska energin är en homogen funktion av grad 2 av de generaliserade hastigheterna, och Lagrangian är explicit tidsoberoende, då:
  $$T((\lambda {\dot {q}}_{i})^{2},(\lambda {\dot {q}}_{j}\lambda {\dot {q} }_{k}),\mathbf {q} )=\lambda ^{2}T(({\dot {q}}_{i})^{2},{\dot {q}}_{j }{\dot {q}}_{k},\mathbf {q} )\,,\quad L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )\,,$$
  där λ är en konstant, då kommer Hamiltonian att vara den totala bevarade energin , lika med systemets totala kinetiska och potentiella energier:
  $$H=T+V=E\,.$$
  Detta är grunden för Schrödinger-ekvationen , genom att sätta in kvantoperatorer erhålls den direkt.

Principen om minsta handling

När systemet utvecklas spårar q en väg genom konfigurationsutrymmet (endast några visas). Vägen som systemet tar (röd) har en stationär verkan (δ S = 0) under små förändringar i systemets konfiguration (δ q ).

Handling är en annan kvantitet inom analytisk mekanik definierad som en funktion av lagrangian:

${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt\, .$

Ett allmänt sätt att hitta rörelseekvationerna från handlingen är principen om minsta handling :

$\delta {\mathcal {S}}=\delta \int _{t_{1}}^{t_{ 2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt=0\,,$

där avgång t ₁ och ankomst t ₂ tider är fasta. Termen "sökväg" eller "bana" hänvisar till tidsutveckling som en väg genom konfigurationsutrymmet ${\mathcal {C}}$ , med andra ord q ( t ) som spårar ut en väg i ${ \displaystyle {\mathcal {C}}}$ . Den väg för vilken åtgärden är minst är den väg som systemet tar.

Från denna princip kan alla rörelseekvationer inom klassisk mekanik härledas. Detta tillvägagångssätt kan utvidgas till fält snarare än ett system av partiklar (se nedan), och ligger till grund för vägintegralformuleringen av kvantmekanik , och används för att beräkna geodetisk rörelse i allmän relativitet .

Hamiltonian-Jacobi mekanik

Kanoniska transformationer

Hamiltonianens invarians (under tillägg av den partiella tidsderivatan av en godtycklig funktion av p , q och t ) gör att Hamiltonian i en uppsättning koordinater q och momenta p kan transformeras till en ny mängd Q = Q ( q , p , t ) och P = P ( q , p , t ), på fyra möjliga sätt:

${\begin{aligned}&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\ mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{2}(\ mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{ \frac {\partial }{\partial t}}G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)= H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)\ \\end{aligned}}$

Med begränsningen på P och Q så att det transformerade Hamiltonska systemet är:

$\mathbf {\dot {P}} =-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }} \,,\quad \mathbf {\dot {Q}} =+{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\,,$

ovanstående transformationer kallas kanoniska transformationer , varje funktion Gn _: kallas en genererande funktion av " n te slaget" eller "typ- n ". Transformationen av koordinater och momenta kan möjliggöra förenklingar för att lösa Hamiltons ekvationer för ett givet problem.

Valet av Q och P är helt godtyckligt, men alla val leder inte till en kanonisk transformation. Ett enkelt kriterium för att en transformation q → Q och p → P ska vara kanonisk är Poisson-parentesen vara enhet,

$\{Q_{i},P_{i}\}=1$

för alla i = 1, 2,... N . Om detta inte håller är omvandlingen inte kanonisk.

Hamilton –Jacobis ekvation

Genom att sätta den kanoniskt transformerade Hamiltonian K = 0, och den genererande typ-2-funktionen lika med Hamiltons huvudfunktion (även åtgärden ${\displaystyle {\mathcal {S}}} )$ plus en godtycklig konstant C :

$G_{2}(\mathbf {q} ,t)={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t) +C\,,$

de generaliserade momenten blir:

$\mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }}$

och P är konstant, då kan Hamiltonian-Jacobi-ekvationen (HJE) härledas från den kanoniska typ-2-transformationen:

$H=-{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}$

där H är Hamiltonian som tidigare:

$H=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }},t\right)$

En annan relaterad funktion är Hamiltons karakteristiska funktion

$W(\mathbf {q} )={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+Et$

används för att lösa HJE genom additiv separation av variabler för en tidsoberoende Hamiltonian H .

Studiet av lösningarna av Hamilton–Jacobi-ekvationerna leder naturligt till studiet av symplektiska grenrör och symplektisk topologi . I denna formulering är lösningarna av Hamilton–Jacobi-ekvationerna integralkurvorna för Hamiltonska vektorfält .

Rutisk mekanik

Routhian mekanik är en hybridformulering av Lagrangian och Hamiltonian mekanik, som inte används ofta men särskilt användbar för att ta bort cykliska koordinater. Om Lagrangian för ett system har s cykliska koordinater q = q ₁ , q ₂ , ... q _s med konjugat momenta p = p ₁ , p ₂ , ... p _s , med resten av koordinaterna icke-cykliska och betecknade ζ = ζ ₁ , ζ ₁ , ..., ζ _{N − s} , kan de tas bort genom att introducera Routhian :

$R=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\ mathbf {p} ,{\boldsymbol {\zeta }},{\dot {\boldsymbol {\zeta }}})\,,$

vilket leder till en uppsättning 2 s Hamiltonska ekvationer för de cykliska koordinaterna q ,

${\dot {\mathbf {q} }}=+{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {p} }}\,,\quad {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {q} }}\,,$

och N − s lagrangekvationer i de icke-cykliska koordinaterna ζ .

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\boldsymbol {\zeta }}}}}={\frac {\partial R}{\partial {\boldsymbol {\zeta }}}}\,.$

Uppsatt på detta sätt, även om Routhian har formen av Hamiltonian, kan den tänkas som en Lagrangian med N − s frihetsgrader.

Koordinaterna q behöver inte vara cykliska, uppdelningen mellan vilka koordinater kommer in i Hamiltons ekvationer och de som kommer in i Lagrangekvationerna är godtycklig. Det är helt enkelt bekvämt att låta de Hamiltonska ekvationerna ta bort de cykliska koordinaterna och lämna de icke-cykliska koordinaterna till de lagrangska rörelseekvationerna.

Appellian mekanik

Appells rörelseekvation involverar generaliserade accelerationer, andragångsderivator av de generaliserade koordinaterna:

$\alpha _{r}={\ddot {q}}_{r}={\frac {d^{2}q_{r} }{dt^{2}}}\,,$

samt generaliserade krafter som nämnts ovan i D'Alemberts princip. Ekvationerna är

${\mathcal {Q}}_{r}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}\,,\quad S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k} ^{2}\,,$

var

$\mathbf {a} _{k}={\ddot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d^{ 2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}$

är accelerationen av k- partikeln, den andra tidsderivatan av dess positionsvektor. Varje acceleration a _k uttrycks i termer av de generaliserade accelerationerna α _r , likaså uttrycks varje r _{k i termer av de generaliserade koordinaterna} q _r .

Utvidgningar till klassisk fältteori

Lagrangisk fältteori

Generaliserade koordinater gäller för diskreta partiklar. För N skalära fält φ _i ( r , t ) där i = 1, 2, ... N , är den lagrangiska tätheten en funktion av dessa fält och deras rum- och tidsderivator, och möjligen själva rymd- och tidskoordinaten:

$${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _ {2},\dots ,\partial _{t}\phi _{1},\partial _{t}\phi _{2},\ldots ,\mathbf {r} ,t)\,.$$

och Euler-Lagrange-ekvationerna har en analog för fält:

$$\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}\,,$$

där ∂ _μ anger 4-gradienten och summeringskonventionen har använts. För N skalära fält är dessa lagrangiska fältekvationer en uppsättning av N andra ordningens partiella differentialekvationer i fälten, som i allmänhet kommer att vara kopplade och olinjära.

Denna skalära fältformulering kan utökas till vektorfält , tensorfält och spinorfält .

Lagrangian är volymintegralen av den lagrangiska densiteten:

$$L=\int _{\mathcal {V}}{\mathcal {L}}\,dV\,.$$

Ursprungligen utvecklad för klassiska fält, är ovanstående formulering tillämplig på alla fysiska fält i klassiska, kvant- och relativistiska situationer: såsom Newtonsk gravitation , klassisk elektromagnetism , allmän relativitet och kvantfältteori . Det är en fråga om att bestämma rätt lagrangisk densitet för att generera den korrekta fältekvationen.

Hamiltonsk fältteori

Motsvarande "momentum" fälttätheter konjugerat till de N skalära fälten φ _i ( r , t ) är:

$$\pi _{i}(\mathbf {r} ,t)={\frac {\partial {\ matematisk {L}}}{\partial {\dot {\phi }}_{i}}}\,\quad {\dot {\phi }}_{i}\equiv {\frac {\partial \phi _ {i}}{\partial t}}$$

där överpunkten i detta sammanhang betecknar en deltidsderivata, inte en totaltidsderivata. Hamiltons densitet H $\displaystyle {\mathcal {H}}}$ definieras i analogi med mekanik:

$${\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {r} ,t)=\summa _{i=1}^{N}{\dot {\phi }}_{i}(\mathbf {r} ,t)\pi _{i}(\mathbf {r} , t)-{\mathcal {L}}\,.$$

Rörelseekvationerna är:

$${\dot {\phi }}_{i}=+{\frac {\delta {\mathcal {H }}}{\delta \pi _{i}}}\,,\quad {\dot {\pi}}_{i}=-{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \phi _{i}}}\,,$$

där variationsderivatan

$${\frac {\delta }{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial }{ \partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}$$

måste användas istället för endast partiella derivator. För N fält är dessa Hamiltonska fältekvationer en uppsättning av 2 N första ordningens partiella differentialekvationer, som i allmänhet kommer att vara kopplade och olinjära.

Återigen är volymintegralen för Hamiltonian densiteten Hamiltonian

$$H=\int _{\mathcal {V}}{\mathcal {H}}\,dV\,.$$

Symmetri, bevarande och Noethers teorem

Symmetriomvandlingar i klassiskt rum och tid

Varje transformation kan beskrivas av en operator (dvs. funktion som verkar på variablerna position r eller momentum p för att ändra dem). Följande är de fall då operatören inte ändrar r eller p , dvs symmetrier.

Omvandling	Operatör	Placera	Momentum
Translationell symmetri	$X(\mathbf {a} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a}$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p}$
Tidsöversättning	$U(t_{0})$	$\mathbf {r} (t)\högerpil \mathbf {r} (t+t_{0})$	$\mathbf {p} (t)\högerpil \mathbf {p} (t+t_{0})$
Rotationsinvarians	$R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )$	$\mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p}$
Galileiska förvandlingar	$G(\mathbf {v} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v}$
Paritet	$P$	$\mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p}$
T-symmetri	$T$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)$

där R ( n̂ , θ) är rotationsmatrisen kring en axel som definieras av enhetsvektorn n̂ och vinkeln θ.

Noethers teorem

Noethers teorem säger att en kontinuerlig symmetritransformation av handlingen motsvarar en bevarandelag , dvs handlingen (och därmed Lagrangian) ändras inte under en transformation som parametriseras av en parameter s :

$$L[q(s,t),{\dot {q}} (s,t)]=L[q(t),{\dot {q}}(t)]$$

Lagrangian beskriver samma rörelse oberoende av s , vilket kan vara längd, rotationsvinkel eller tid. Motsvarande momenta till q kommer att bevaras.

Se även

• Lagrangemekanik
• Hamiltonsk mekanik
• Teoretisk mekanik
• Klassisk mekanik
• Dynamik
• Nazariy Mexanika
• Hamilton–Jacobis ekvation
• Hamiltons princip
• Kinematik
• Kinetik (fysik)
• Icke-autonom mekanik
• Udwadia–Kalabas ekvation