Skleronom

Ett mekaniskt system är skleronomt om ekvationerna av begränsningar inte innehåller tiden som en explicit variabel och ekvationen av begränsningar kan beskrivas med generaliserade koordinater. Sådana begränsningar kallas skleronomiska begränsningar. Motsatsen till skleronom är reonomisk .

Ansökan

Huvudartikel: Generaliserad hastighet

I 3D-rymden har en partikel med massan $m\,\!$ , hastighet $\mathbf {v} \,\!$ kinetisk energi $T\,\!$

$T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!.$

Hastighet är derivatan av position $r\,\!$ med avseende på tiden $\displaystyle t\,\!}$ . Använd kedjeregel för flera variabler :

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\summa _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i }}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\,\!.$

där $q_{i}\,\!$ är generaliserade koordinater .

Därför,

$T={\frac {1}{2}}m\left(\summa _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!.$

Ordna om villkoren noggrant,

$T=T_{0}+T_{1}+T_{2}\,\!:$

${\ displaystyle T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!, }$

$T_{1}=\summa _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{ \partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\,\!,$

$T_{2}=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}} m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q }}_{i}{\dot {q}}_{j}\,\!,$

där $T_{0}\,\!$ , $T_{1}\,\!$ , $T_{2}\,\!$ är respektive homogena gradersfunktioner 0, 1 och 2 i generaliserade hastigheter. Om detta system är skleronomt beror positionen inte explicit med tiden:

${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0\,\!.$

Därför försvinner inte termen ${\displaystyle T_{2}\,\!} :$

$T=T_{2}\,\!.$

Kinetisk energi är en homogen funktion av grad 2 i generaliserade hastigheter.

Exempel: pendel

En enkel pendel

Som visas till höger är en enkel pendel ett system som består av en vikt och ett snöre. Snöret är fäst i den övre änden till en pivot och i den nedre änden till en vikt. Eftersom strängen är outtöjbar är längden konstant. Därför är detta system skleronomt; den följer skleronomiska begränsningar

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-L=0\,\!,$

där $(x,y)\,\!$ är viktens position och $L\,\!$ är längden på strängen.

En enkel pendel med oscillerande vridpunkt

Ta ett mer komplicerat exempel. Se nästa figur till höger, antag att den övre änden av strängen är fäst vid en pivotpunkt som genomgår en enkel harmonisk rörelse

$x_{t}=x_{0}\cos \omega t\,\!,$

där $x_{0}\,\!$ är amplitud, $\omega \,\!$ är vinkelfrekvens och $t\,\!$ är tid.

Även om den övre änden av strängen inte är fixerad, är längden på denna outtöjbara sträng fortfarande konstant. Avståndet mellan den övre änden och vikten måste vara detsamma. Därför är detta system reonomt eftersom det följer begränsningar som är explicit beroende av tid

${\sqrt {(x-x_{0}\cos \omega t)^{2}+y^{2}}}-L=0\,\!.$

Se även

• Lagrangemekanik
• Holonomiskt system
• Icke-holonomiskt system
• Rheonomous
• Massmatris