Generaliserade krafter

I analytisk mekanik (särskilt Lagrangian mekanik ) är generaliserade krafter konjugerade till generaliserade koordinater . De erhålls från de applicerade krafterna $F i, i = 1, \dots, n$ , som verkar på ett system som har sin konfiguration definierad i termer av generaliserade koordinater. I formuleringen av virtuellt arbete är varje generaliserad kraft koefficienten för variationen av en generaliserad koordinat.

Virtuellt arbete

Generaliserade krafter kan erhållas från beräkningen av det virtuella arbetet , $δW$ , av de applicerade krafterna.

Det virtuella arbetet av krafterna, $F i$ , som verkar på partiklarna $P i, i = 1, ..., n$ , ges av

\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r } _{i}

där $δri den .$ är virtuella förskjutningen $Pi av$ partikeln

Generaliserade koordinater

Låt positionsvektorerna för var och en av partiklarna, $ri,$ , vara en funktion av de generaliserade koordinaterna, $q j, j = 1, ... m$ . Sedan ges de virtuella förskjutningarna $δ r i av$

\delta \mathbf {r} _{i}=\summa _{j=1} ^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n,

där $δq j$ är den virtuella förskjutningen av den generaliserade koordinaten $q j$ .

Det virtuella arbetet för systemet av partiklar blir

\delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{1}}{\partial q_ {j}}}\delta q_{j}+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _ {n}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.

Samla koefficienterna för $δq j$ så att

\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_ {1}}}\delta q_{1}+\ldots +\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _ {i}}{\partial q_{m}}}\delta q_{m}.

Generaliserade krafter

Det virtuella arbetet i ett system av partiklar kan skrivas i formen

\delta W=Q_{1}\delta q_{1}+\ldots +Q_{m}\delta q_{m},

var

Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F } _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m,

kallas de generaliserade krafterna associerade med de generaliserade koordinaterna $q j, j = 1, ..., m$ .

Hastighetsformulering

Vid tillämpningen av principen om virtuellt arbete är det ofta bekvämt att erhålla virtuella förskjutningar från systemets hastigheter. För n-partikelsystemet, låt hastigheten för varje partikel P _i vara $V i$ , då kan den virtuella förskjutningen $δ r i också$ skrivas i formen

\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot { q}}_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n.

Detta innebär att den generaliserade kraften, $Q j$ , också kan bestämmas som

Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.

D'Alemberts princip

D'Alembert formulerade dynamiken hos en partikel som jämvikten mellan de applicerade krafterna med en tröghetskraft ( skenbar kraft ), kallad D'Alemberts princip . Tröghetskraften för en partikel, $Pi,$ med massan $m i$ är

\mathbf {F} _{i}^{*}=-m_{i}\mathbf {A} _{i}, \quad i=1,\ldots ,n,

där $A i$ är partikelns acceleration.

Om partikelsystemets konfiguration beror på de generaliserade koordinaterna $q j, j = 1, ..., m$ , så ges den generaliserade tröghetskraften av

Q_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{*}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.

D'Alemberts form av principen om virtuellt arbete ger

\delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\ldots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_ {m}.

Se även