Hamiltonian vektorfält

Inom matematik och fysik är ett Hamiltonskt vektorfält på ett symplektiskt grenrör ett vektorfält som definieras för vilken energifunktion som helst eller Hamiltonian . Uppkallad efter fysikern och matematikern Sir William Rowan Hamilton , är ett Hamiltonskt vektorfält en geometrisk manifestation av Hamiltons ekvationer i klassisk mekanik . Integralkurvorna för ett Hamiltonskt vektorfält representerar lösningar på rörelseekvationerna i Hamiltonsk form . Diffeomorfismerna hos ett symplektiskt mångfald som uppstår från flödet av ett Hamiltonskt vektorfält är kända som kanoniska transformationer i fysik och (Hamiltonska) symplektomorfismer i matematik.

Hamiltonska vektorfält kan definieras mer generellt på ett godtyckligt Poisson-grenrör . Lie- parentesen för två Hamiltonian vektorfält som motsvarar funktionerna f och g på grenröret är i sig ett Hamiltonian vektorfält, med Hamiltonian given av Poisson-parentesen för f och g .

Definition

Antag att ( M , ω ) är ett symplektiskt grenrör . Eftersom den symboliska formen ω är icke degenererad, skapar den en fibervis linjär isomorfism

${\displaystyle \omega :TM\to T^{*}M,$

mellan tangentknippet TM och cotangensknippet T*M , med inversen

$\Omega :T^{*}M\to TM,\quad \Omega =\omega ^{-1}.$

Därför kan enformer på ett symboliskt grenrör M identifieras med vektorfält och varje differentierbar funktion H : M → R bestämmer ett unikt vektorfält X _H , kallat det Hamiltonska vektorfältet med Hamiltonian H , genom att definiera för varje vektorfält Y på M ,

$\mathrm {d} H(Y)=\omega (X_{H},Y).$

Obs : Vissa författare definierar det Hamiltonska vektorfältet med motsatt tecken. Man måste vara uppmärksam på olika konventioner i fysisk och matematisk litteratur.

Exempel

Antag att M är ett 2 n -dimensionellt symplektiskt grenrör. Då kan man lokalt välja kanoniska koordinater ( q ¹ , ..., q ⁿ , p ₁ , ..., p _n ) på M , där den symplektiska formen uttrycks som: $\omega =\sum _{i}\mathrm {d} q^{i}\wedge \mathrm {d} p_{i},$

där d betecknar den yttre derivatan och ∧ betecknar den yttre produkten . Sedan tar det Hamiltonska vektorfältet med Hamiltonskt H formen: ${\displaystyle \mathrm {X} _{H}=\left$

där Ω är en 2 n × 2 n kvadratisk matris

$\Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}},$

och

$\mathrm {d} H={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\\{\frac {\partial H}{\partial p_{i }}}\end{bmatrix}}.$

Matrisen Ω betecknas ofta med J .

Antag att M = R ^{2 n} är det 2 n -dimensionella symplektiska vektorrummet med (globala) kanoniska koordinater.

• Om $H=p_{i}$ så $X_{H}=\partial /\partial q^{i};$
• om $H=q_{i}$ så $X_{H}=-\partial /\partial p^{i};$
• om $H=1/2\summa (p_{i})^{2$$X_{H}=\summa p_{i}\partial /\partial q^{i};$ är
• om $ij }=a_{ji}}$ sedan $X_{H}=-\sum a_{ij}q_{i}\partial /\partial p^{j}.$

Egenskaper

• Tilldelningen f ↦ X _f är linjär , så att summan av två Hamiltonska funktioner omvandlas till summan av motsvarande Hamiltonska vektorfält.
• Antag att ( q ¹ , ..., q ⁿ , p ₁ , ..., p _n ) är kanoniska koordinater på M (se ovan). Då är en kurva γ( t ) = (q(t),p(t)) en integralkurva för det Hamiltonska vektorfältet X _H om och endast om det är en lösning av Hamiltons ekvationer : ${\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}$

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}.$

• Hamiltonska H är konstant längs integralkurvorna, eftersom $\langle dH,{\dot {\gamma }}\ rangle =\omega (X_{H}(\gamma),X_{H}(\gamma ))=0$ . Det vill säga, H (γ( t )) är faktiskt oberoende av t . Denna egenskap motsvarar bevarandet av energi i Hamiltonsk mekanik .
• Mer generellt, om två funktioner F och H har en Poisson-parentes på noll (jfr nedan), så är F konstant längs integralkurvorna för H , och på liknande sätt är H konstant längs integralkurvorna för F . Detta faktum är den abstrakta matematiska principen bakom Noethers teorem .
• Den symboliska formen ω bevaras av det Hamiltonska flödet. På motsvarande sätt är Lie-derivatan ${\mathcal {L}}_{X_{H}}\omega =0.$

Poisson fäste

Föreställningen om ett Hamiltonskt vektorfält leder till en skevsymmetrisk bilinjär operation på de differentierbara funktionerna på ett symplektiskt grenrör M , Poisson -parentesen , definierad av formeln

$\{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f}) =dg(X_{f})={\mathcal {L}}_{X_{f}}g$

där ${\mathcal {L}}_{X}$ anger Lie-derivatan längs ett vektorfält X . Dessutom kan man kontrollera att följande identitet gäller: $X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g} ],$

där den högra sidan representerar Lie-parentesen för Hamiltons vektorfält med Hamiltonians f och g . Som en konsekvens (ett bevis vid Poisson-parentes ), uppfyller Poisson-parentesen Jacobi-identiteten : $\{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0,$

vilket innebär att vektorrymden för differentierbara funktioner på M , utrustad med Poisson-parentesen, har strukturen av en Lie-algebra över R , och tilldelningen f ↦ X _f är en Lie-algebra-homomorfism , vars kärna består av de lokalt konstanta funktionerna ( konstant fungerar om M är ansluten).

Anförda verk

•   Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Mekanikens grunder . London: Benjamin-Cummings. ISBN 978-080530102-1 . Se avsnitt 3.2 .
•   Arnol'd, VI (1997). Klassisk mekaniks matematiska metoder . Berlin etc: Springer. ISBN 0-387-96890-3 .
•   Frankel, Theodore (1997). Fysikens geometri . Cambridge University Press. ISBN 0-521-38753-1 .
•   Lee, JM (2003), Introduction to Smooth manifolds , Springer Graduate Texts in Mathematics, vol. 218, ISBN 0-387-95448-1
•   McDuff, Dusa ; Salamon, D. (1998). Introduktion till symplektisk topologi . Oxford matematiska monografier. ISBN 0-19-850451-9 .