Kanonisk kvantisering

Inom fysiken är kanonisk kvantisering ett förfarande för att kvantisera en klassisk teori , samtidigt som man försöker bevara den formella strukturen, såsom symmetrier , av den klassiska teorin, i största möjliga utsträckning.

Historiskt sett var detta inte riktigt Werner Heisenbergs väg för att erhålla kvantmekanik , men Paul Dirac introducerade det i sin doktorsavhandling från 1926, "metoden för klassisk analogi" för kvantisering, och detaljerade den i sin klassiska text. Ordet kanonisk uppstår från Hamiltons syn på klassisk mekanik, där ett systems dynamik genereras via kanoniska Poisson-parenteser , en struktur som endast delvis bevaras i kanonisk kvantisering.

Denna metod användes ytterligare i samband med kvantfältteori av Paul Dirac , i hans konstruktion av kvantelektrodynamik . I det fältteoretiska sammanhanget kallas det också för den andra kvantiseringen av fält, till skillnad från den semi-klassiska första kvantiseringen av enstaka partiklar.

Historia

När det först utvecklades handlade kvantfysiken endast om kvantiseringen av partiklars rörelse , vilket lämnade det elektromagnetiska fältet klassiskt , därav namnet kvantmekanik .

Senare kvantiserades också det elektromagnetiska fältet, och även partiklarna själva blev representerade genom kvantiserade fält, vilket resulterade i utvecklingen av kvantelektrodynamik (QED) och kvantfältteori i allmänhet. Således, enligt konvention, betecknas den ursprungliga formen av partikelkvantmekanik första kvantisering , medan kvantfältteorin formuleras på andra kvantiseringens språk .

Första kvantiseringen

Enkelpartikelsystem

Följande utläggning är baserad på Diracs avhandling om kvantmekanik. I klassiska mekanik finns dynamiska variabler som kallas koordinater ( $x$ ) och momenta ( $p$ ). Dessa specificerar tillståndet för ett klassiskt system. Klassisk mekaniks kanoniska struktur (även känd som den symplektiska strukturen) består av Poisson-parenteser som omsluter dessa variabler, såsom ${x, p}$ = 1. Alla transformationer av variabler som bevarar dessa parenteser är tillåtna som kanoniska transformationer i klassisk mekanik. Rörelse i sig är en sådan kanonisk transformation.

Däremot, i kvantmekaniken , finns alla viktiga egenskaper hos en partikel i ett tillstånd $|\psi \rangle$ , kallat kvanttillstånd . Observerbara värden representeras av operatorer som verkar på ett Hilbertrum med sådana kvanttillstånd .

Egenvärdet för en operator som verkar på ett av dess egentillstånd representerar värdet av en mätning på partikeln som sålunda representeras. Till exempel läses energin av av Hamiltons operator ${\hat {H}}$ som verkar på ett tillstånd $|\psi _{n}\rangle$ , ger

{\hat {H}}|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle

,

där $E n$ är den karakteristiska energin associerad med denna $|\psi _{n}\rangle$ egentillstånd .

Vilket tillstånd som helst skulle kunna representeras som en linjär kombination av egentillstånd av energi; till exempel,

|\psi \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}|\psi _{n}\rangle

,

där $a n$ är konstanta koefficienter.

Liksom i klassisk mekanik kan alla dynamiska operatorer representeras av funktionerna för positions- och momentum, ${\hat {X}}$ respektive ${\hat {P}}$ . Kopplingen mellan denna representation och den mer vanliga vågfunktionsrepresentationen ges av egentillståndet för positionsoperatorn ${\hat {X}}$ som representerar en partikel vid position ${\displaystyle x} ,$ som betecknas med en element $|x\rangle$ i Hilbert-utrymmet, och som uppfyller ${\hat {X}}|x\rangle =x|x\rangle$ . Sedan, $\psi (x)=\langle x|\psi \rangle$ .

På samma sätt är egentillstånden $|p\rangle$ av momentumoperatorn ${\hat {P}}$ ange momentumrepresentationen : $\psi (p)=\langle p|\psi \rangle$ .

Den centrala relationen mellan dessa operatorer är en kvantanalog av ovanstående Poisson-parentes av klassisk mekanik, den kanoniska kommuteringsrelationen ,

[{\hat {X}},{\hat {P}}]={\hat {X}}{\ hatt {P}}-{\hat {P}}{\hat {X}}=i\hbar

.

Denna relation kodar (och leder formellt till) osäkerhetsprincipen , i formen $Δ x Δ p \geq ħ /2$ . Denna algebraiska struktur kan således betraktas som kvantanalogen till den klassiska mekanikens kanoniska struktur .

Många partikelsystem

När man vänder sig till N-partikelsystem, dvs system som innehåller N identiska partiklar (partiklar som kännetecknas av samma kvanttal som massa , laddning och spin ), är det nödvändigt att utöka singelpartikeltillståndsfunktionen $\psi (\mathbf {r} )$ till N-partikeltillståndsfunktionen $\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})$ . En grundläggande skillnad mellan klassisk och kvantmekanik gäller konceptet om att identiska partiklar inte kan särskiljas . Endast två arter av partiklar är alltså möjliga inom kvantfysiken, de så kallade bosonerna och fermionerna som följer reglerna:

$\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},.. .,\mathbf {r_{N}} )=+\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _ {j},...,\mathbf {r} _{N})$ (bosoner),

$\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},.. .,\mathbf {r_{N}} )=-\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _ {j},...,\mathbf {r} _{N})$ (fermioner).

Där vi har växlat två koordinater $(\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})$ för tillståndsfunktionen. Den vanliga vågfunktionen erhålls med hjälp av Slater-determinanten och identiska partikelteorin . Med denna bas är det möjligt att lösa olika många partikelproblem.

Frågor och begränsningar

Klassiska och quantum parentes

Diracs bok beskriver hans populära regel att ersätta Poisson-parenteser med kommutatorer :

$\{A,B\}\longmapsto {\tfrac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]~.$

Man kan tolka detta förslag som att vi bör söka en "kvantiseringskarta" $Q$ som avbildar en funktion $f$ på det klassiska fasutrymmet till en operator $Q_{f}$ på quantum Hilbert rymden sådan att

Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_ {g}]

Det är nu känt att det inte finns någon rimlig sådan kvantiseringskarta som uppfyller ovanstående identitet exakt för alla funktioner $f$ och $g$ .

Groenewolds teorem

En konkret version av ovanstående omöjlighetsanspråk är Groenewolds teorem (efter den holländska teoretiske fysikern Hilbrand J. Groenewold ), som vi beskriver för ett system med en frihetsgrad för enkelhet. Låt oss acceptera följande "grundregler" för kartan $Q$ . Först $Q$ skicka konstantfunktionen 1 till identitetsoperatorn. För det andra $Q$ ta $x$ och $p$ till de vanliga positions- och momentumoperatorerna $X$ och $P$ . För det tredje $Q$ ta ett polynom i $x$ och $p$ till ett "polynom" i $X$ och $P$ , det vill säga en ändliga linjära kombinationer av produkter av $X$ och ${\displaystyle P} ,$ som kan tas i vilken ordning som helst. I sin enklaste form säger Groenewolds teorem att det inte finns någon karta som uppfyller ovanstående grundregler och även parentesvillkoret

Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_ {g}]

för alla polynom $f$ och $g$ .

I själva verket inträffar avsaknaden av en sådan karta redan när vi når polynom av grad fyra. Observera att Poisson-parentesen för två polynom av grad fyra har grad sex, så det är inte riktigt vettigt att kräva en karta på polynom av grad fyra för att respektera hakparentesens villkor. Vi kan dock kräva att parentesvillkoret gäller när $f$ och $g$ har grad tre. Groenewolds teorem kan sägas enligt följande:

Sats : Det finns ingen kvantiseringskarta

Q

(enligt grundreglerna ovan) på polynom med grader mindre än eller lika med fyra som uppfyller

{ \displaystyle \quad Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]} när f {\displaystyle

f

och

g

\ displaystyle g}

har grad mindre än eller lika med tre. (Observera att i det här fallet

\{f,g\}

grad mindre än eller lika med fyra.)

Beviset kan beskrivas på följande sätt. Anta att vi först försöker hitta en kvantiseringskarta på polynom med grad mindre än eller lika med tre som uppfyller parentesvillkoret närhelst $f$ har grad mindre än eller lika med två och $g$ har grad mindre än eller lika med två. Sedan finns det just en sådan karta, och det är Weyl-kvantiseringen . Omöjlighetsresultatet nu erhålls genom att skriva samma polynom av grad fyra som en Poisson-parentes av polynom av grad tre på två olika sätt . Specifikt har vi

x^{2}p^{2}={\frac {1}{9}} \{x^{3},p^{3}\}={\frac {1}{3}}\{x^{2}p,xp^{2}\}

Å andra sidan har vi redan sett att om det ska finnas en kvantiseringskarta på polynom av grad tre måste det vara Weyl-kvantiseringen; det vill säga vi har redan bestämt den enda möjliga kvantiseringen av alla kubiska polynom ovan.

Argumentationen avslutas genom att med brute force beräkna det

{\frac {1}{9}}[Q(x^{3}),Q(p^{3})]

sammanfaller inte med

{\frac {1}{3}}[Q(x^{2}p),Q(xp^{2})]

.

Vi har alltså två inkompatibla krav för värdet på $Q(x^{2}p^{2})$ .

Axiom för kvantisering

Om $Q$ representerar kvantiseringskartan som verkar på funktioner $f$ i klassisk fasrymd, anses följande egenskaper vanligtvis vara önskvärda:

$Q_{x}\psi =x\psi$ och $Q_{p}\psi =-i\hbar \partial _{x }\psi ~~$ (elementära positions-/momentumoperatorer)
$f\longmapsto Q_{f}~~$ är en linjär karta
${\displaystyle [Q_{f},Q_{g}]=i\hbar Q_{\{f,g\}}~~} ($ Poisson-parentes )
$Q_{g\circ f}=g(Q_{f})~~$ (von Neumann-regeln).

Men inte bara är dessa fyra egenskaper ömsesidigt inkonsekventa, alla tre av dem är också inkonsekventa! Som det visar sig är de enda paren av dessa egenskaper som leder till självständiga, icke-triviala lösningar 2 & 3, och möjligen 1 & 3 eller 1 & 4. Acceptera egenskaper 1 & 2, tillsammans med ett svagare villkor att 3 är sant endast asymptotiskt i gränsen $ħ \to0$ (se Moyal parentes ), leder till deformationskvantisering , och viss ovidkommande information måste tillhandahållas, som i standardteorierna som används i det mesta av fysiken. Att acceptera egenskaperna 1 & 2 & 3 men begränsa utrymmet för kvantiserbara observerbara objekt för att utesluta termer som de kubiska i exemplet ovan motsvarar geometrisk kvantisering .

Andra kvantiseringen: fältteori

Kvantmekaniken var framgångsrik med att beskriva icke-relativistiska system med fasta antal partiklar, men ett nytt ramverk behövdes för att beskriva system där partiklar kan skapas eller förstöras, till exempel det elektromagnetiska fältet, betraktat som en samling fotoner. Man insåg så småningom att speciell relativitet var oförenlig med enpartikelkvantmekanik, så att alla partiklar nu beskrivs relativistiskt av kvantfält .

När den kanoniska kvantiseringsproceduren tillämpas på ett fält, såsom det elektromagnetiska fältet, blir de klassiska fältvariablerna kvantoperatorer . Sålunda är de normala moderna som innefattar fältets amplitud enkla oscillatorer, som var och en kvantiseras i den första standardkvantiseringen ovan, utan tvetydighet. De resulterande kvantorna identifieras med individuella partiklar eller excitationer. Till exempel identifieras det elektromagnetiska fältets kvanta med fotoner. Till skillnad från första kvantisering är konventionell andra kvantisering helt entydig, i själva verket en funktor , eftersom den ingående uppsättningen av dess oscillatorer kvantiseras entydigt.

Historiskt sett gav kvantisering av den klassiska teorin om en enda partikel upphov till en vågfunktion. De klassiska rörelseekvationerna för ett fält är typiskt identiska till formen med (kvantekvant)ekvationerna för vågfunktionen för en av dess kvanter . Till exempel Klein–Gordon-ekvationen den klassiska rörelseekvationen för ett fritt skalärfält, men också kvantekvanten för en skalärpartikelvågfunktion. Detta innebar att kvantisering av ett fält verkade likna att kvantisera en teori som redan var kvantifierad, vilket ledde till den fantasifulla termen andra kvantisering i den tidiga litteraturen, som fortfarande används för att beskriva fältkvantisering, även om den moderna tolkningen i detalj är annorlunda.

En nackdel med kanonisk kvantisering för ett relativistiskt fält är att genom att förlita sig på Hamiltonian för att bestämma tidsberoende är relativistisk invarians inte längre uppenbar. Det är därför nödvändigt att kontrollera att relativistisk invarians inte går förlorad. Alternativt Feynman-integralmetoden tillgänglig för att kvantisera relativistiska fält och är uppenbart invariant. För icke-relativistiska fältteorier, såsom de som används i den kondenserade materiens fysik , är Lorentz invarians inte ett problem.

Fältoperatörer

Kvantmekaniskt representeras variablerna för ett fält (som fältets amplitud vid en given punkt) av operatorer på ett Hilbert-utrymme . I allmänhet är alla observerbara objekt konstruerade som operatorer på Hilbert-utrymmet, och tidsutvecklingen för operatorerna styrs av Hamiltonian , som måste vara en positiv operator. En stat $|0\rangle$ förintad av Hamiltonian måste identifieras som vakuumtillståndet , vilket är grunden för att bygga alla andra tillstånd. I en icke-interagerande (fritt) fältteori identifieras vakuumet normalt som ett tillstånd som innehåller noll partiklar. I en teori med interagerande partiklar är det mer subtilt att identifiera vakuumet, på grund av vakuumpolarisering , vilket innebär att det fysiska vakuumet i kvantfältteorin aldrig är riktigt tomt. För ytterligare fördjupning, se artiklarna om det kvantmekaniska vakuumet och kvantkromodynamikens vakuum . Detaljerna i den kanoniska kvantiseringen beror på fältet som kvantiseras, och om det är fritt eller interagerar.

Riktigt skalärt fält

En skalär fältteori ger ett bra exempel på det kanoniska kvantiseringsförfarandet. Klassiskt sett är ett skalärt fält en samling av en oändlighet av oscillatornormala lägen . Det räcker med att betrakta en 1+1-dimensionell rumtid $\mathbb {R} \times S_{1},$ i vilken den rumsliga riktningen kompakteras till en cirkel med omkrets 2 $π$ , vilket ger momenta diskreta.

Den klassiska lagrangiska densiteten beskriver en oändlighet av kopplade harmoniska oscillatorer , märkta med $x$ som nu är en etikett (och inte den dynamiska förskjutningsvariabeln som ska kvantiseras), betecknad med det klassiska fältet $φ$ ,

{\mathcal {L}}(\phi )= {\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}- {\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-V(\phi ),

där $V (φ)$ är en potentiell term, som ofta tas för att vara ett polynom eller monom av grad 3 eller högre. Handlingen funktionell är

S(\phi )=\int {\mathcal {L}}(\phi )dxdt= \int L(\phi ,\partial _{t}\phi )dt

.

Det kanoniska momentum som erhålls via Legendre-transformationen med åtgärden $L$ är ${\displaystyle \pi =\partial _{t}\phi } ,$ och den klassiska Hamiltonian visar sig vara

H(\phi ,\pi )=\int dx\left[{\frac {1}{2}}\pi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{ x}\phi )^{2}+{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+V(\phi )\right].

Kanonisk kvantisering behandlar variablerna $φ$ och $π$ som operatorer med kanoniska kommuteringsrelationer vid tidpunkten $t$ = 0, givet av

[\phi (x),\phi (y)]=0,\ \ [\pi (x),\pi (y)]=0,\ \ [\phi (x),\pi (y )]=i\hbar \delta (xy).

Operatorer konstruerade från $φ$ och $π$ kan sedan formellt definieras vid andra tidpunkter via tidsutvecklingen som genereras av Hamiltonian,

{\mathcal {O}}(t)=e^{itH}{\mathcal {O}}e^{-itH}.

Men eftersom $φ$ och $π$ inte längre pendlar, är detta uttryck tvetydigt på kvantnivå. Problemet är att konstruera en representation av de relevanta operatorerna ${\mathcal {O}}$ på ett Hilbert-utrymme ${\mathcal {H}}$ och att konstruera en positiv operator $H$ som en kvantoperator på detta Hilbert-utrymme på ett sådant sätt att det ger denna utveckling för operatorerna ${\mathcal {O}}$ som ges av föregående ekvation, och för att visa att ${\mathcal {H}}$ innehåller ett vakuumtillstånd $|0\rangle$ där $H$ har noll egenvärde. I praktiken är denna konstruktion ett svårt problem för interagerande fältteorier, och har endast lösts helt i ett fåtal enkla fall via metoderna för konstruktiv kvantfältteori . Många av dessa problem kan kringgås genom att använda Feynman-integralen som beskrivs för en viss $V (φ)$ i artikeln om skalärfältsteori .

I fallet med ett fritt fält, med $V (φ)$ = 0, är kvantiseringsproceduren relativt enkel. Det är bekvämt att Fourier-omvandla fälten, så att

\phi _{k}=\int \phi (x)e^{-ikx}dx,\ \ \pi _{k}=\int \pi (x)e^{-ikx}dx.

Verkligheten på fälten antyder det

\phi _{-k}=\phi _{k}^{\dolk },~~~\pi _{-k}=\ pi _{k}^{\dolk }

.

Den klassiska Hamiltonian kan utökas i Fourier-lägen som

H={\frac {1}{2}}\summa _{k=-\ infty }^{\infty }\left[\pi _{k}\pi _{k}^{\dolk }+\omega _{k}^{2}\phi _{k}\phi _{k} ^{\dolk }\right],

där $\omega _{k}={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}$ .

Denna Hamiltonian är alltså igenkännbar som en oändlig summa av klassiska normalmodoscillatorexcitationer $φ k$ , av vilka var och en är kvantiserad på standardsättet , så det fria kvantum Hamiltonian ser identiskt ut. Det är $φ k$ s som har blivit operatorer som följer standardkommuteringsrelationerna, [ $φ k$ , $π k$ ^† ] = [ $φ k$ ^† , $π k$ ] = iħ , med alla andra försvinnande. Det kollektiva Hilbert-utrymmet för alla dessa oscillatorer är alltså konstruerat med hjälp av skapande och förintelseoperatorer konstruerade från dessa lägen,

a_{k}={ \frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}+i\pi _{k}\right),\ \ a_{k}^{\dolk }={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}^{\ dolk }-i\pi _{k}^{\dolk }\right),

för vilken [ $a k$ , $a k$ ^† ] = 1 för alla $k$ , med alla andra kommutatorer som försvinner.

Vakuumet $|0\rangle$ anses vara utplånad av alla a $k,$ och ${\mathcal {H}}$ är Hilbert-utrymmet som konstruerats genom att tillämpa valfri kombination av den oändliga samlingen av skapelseoperatorer $a k$ ^† till $|0\rangle$ . Detta Hilbert-utrymme kallas Fock-utrymme . För varje $k$ är denna konstruktion identisk med en kvantharmonisk oscillator . Kvantfältet är en oändlig uppsättning kvantoscillatorer. Kvanttalet Hamiltonian uppgår då till

H=\summa _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}a_{k}^{\dolk }a_{k}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}N_{k}

,

där $Nk .$ kan tolkas som nummeroperatorn som anger antalet partiklar i ett tillstånd med momentum $k$

Denna Hamiltonian skiljer sig från det föregående uttrycket genom subtraktionen av nollpunktsenergin $ħω k /2$ för varje övertonsoscillator. Detta uppfyller villkoret att $H$ måste utplåna vakuumet, utan att påverka tidsutvecklingen för operatörer via ovanstående exponentieringsoperation. Denna subtraktion av nollpunktsenergin kan betraktas som en upplösning av kvantoperatorns ordnande tvetydighet, eftersom det är likvärdigt med att kräva att alla skapande operatorer visas till vänster om förintelseoperatorer i expansionen av Hamiltonian. Denna procedur är känd som Wick-beställning eller normal beställning .

Andra fält

Alla andra fält kan kvantiseras genom en generalisering av denna procedur. Vektor- eller tensorfält har helt enkelt fler komponenter, och oberoende skapande och destruktionsoperatorer måste införas för varje oberoende komponent. Om ett fält har någon intern symmetri måste skapa- och förstörelseoperatorer också införas för varje komponent i fältet som är relaterad till denna symmetri. Om det finns en mätarsymmetri måste antalet oberoende komponenter i fältet analyseras noggrant för att undvika överräkning av ekvivalenta konfigurationer, och mätanordningsfixering kan användas om det behövs.

Det visar sig att kommuteringsrelationer endast är användbara för att kvantifiera bosoner , för vilka beläggningstalet för alla stater är obegränsat. För att kvantisera fermioner , som uppfyller Paulis uteslutningsprincip , behövs antikommutatorer. Dessa definieras av ${A,B} = AB+BA$ .

Vid kvantisering av fermioner utökas fälten i skapande och förintelseoperatorer, $θ k$ ^† , $θ k$ , som uppfyller

\{\theta _{k},\theta _{ l}^{\dolk }\}=\delta _{kl},\ \ \{\theta _{k},\theta _{l}\}=0,\ \ \{\theta _{k}^ {\dolk },\theta _{l}^{\dolk }\}=0.

Tillstånden är konstruerade på ett vakuum |0> som förintas av $θ k$ , och Fock-utrymmet byggs genom att applicera alla produkter från skapelseoperatorerna $θ k$ ^† till |0>. Paulis uteslutningsprincip är uppfylld eftersom ${\displaystyle (\theta _{k}^{\dolk })^{2}|0\rangle =0} ,$ i kraft av anti-kommuteringsrelationerna.

Kondensat

Konstruktionen av de skalära fälttillstånden ovan antog att potentialen minimerades vid $φ$ = 0, så att vakuumminimeringen av Hamiltonian uppfyller 〈 $φ$ 〉= 0, vilket indikerar att fältets förväntade vakuumvärde (VEV) är noll. I fall som involverar spontan symmetribrytning är det möjligt att ha en VEV som inte är noll, eftersom potentialen minimeras för ett värde $φ$ = $v$ . Detta inträffar till exempel om $V(φ) = gφ 4 - 2m 2 φ 2$ med $g$ > 0 och $m$ ² > 0, för vilka minimienergin finns vid $v = \pm m / \sqrt g$ . Värdet på $v$ i ett av dessa vakuum kan betraktas som kondensat av fältet $φ$ . Kanonisk kvantisering kan då utföras för det skiftade fältet $φ(x,t)-v ,$ och partikeltillstånd med avseende på det skiftade vakuumet definieras genom att kvantisera det skiftade fältet. Denna konstruktion används i Higgs-mekanismen i standardmodellen för partikelfysik .

Matematisk kvantisering

Deformationskvantisering

Den klassiska teorin beskrivs med hjälp av en rymdliknande foliation av rumtid där tillståndet vid varje skiva beskrivs av ett element av ett symplektiskt grenrör med tidsutvecklingen som ges av symplektomorfismen som genereras av en Hamiltonsk funktion över det symplektiska grenröret. Kvantalgebra för "operatorer" är en $ħ$ - deformation av algebra för jämna funktioner över det $[A symplektiska B]$ rummet så att den ledande termen i Taylor-expansionen över $ħ$ av kommutatorn , uttryckt i fasrumsformuleringen är $iħ {A, B}$ . (Här betecknar de lockiga klammerparenteserna Poisson-parentesen . De underledande termerna är alla kodade i Moyal-parentesen , den lämpliga kvantdeformationen för Poisson-parentesen.) I allmänhet, för de kvantiteter (observbara) som är involverade, och ger argumenten för sådana parenteser. , ħ -deformationer är mycket icke-unika—kvantisering är en "konst", och specificeras av det fysiska sammanhanget. (Två olika kvantsystem kan representera två olika, olikvärdiga, deformationer med samma klassiska gräns , $ħ \to 0$ .)

Nu letar man efter enhetliga representationer av denna kvantalgebra. Med avseende på en sådan enhetlig representation skulle en symplektomorfism i den klassiska teorin nu deformeras till en (metaplektisk) enhetlig omvandling . I synnerhet deformeras tidsevolutionens symplektomorfism som genereras av den klassiska Hamiltonian till en enhetlig transformation som genereras av motsvarande kvant Hamiltonian.

En ytterligare generalisering är att överväga ett Poisson-grenrör istället för ett symboliskt utrymme för den klassiska teorin och utföra en ħ -deformation av motsvarande Poisson-algebra eller till och med Poisson-supermanifolder .

Geometrisk kvantisering

I motsats till teorin om deformationskvantisering som beskrivs ovan, försöker geometrisk kvantisering att konstruera ett verkligt Hilbert-rum och operatörer på det. Med utgångspunkt i ett symboliskt grenrör $M$ , konstruerar man först ett prequantum Hilbert-utrymme som består av utrymmet av kvadratintegrerbara sektioner av en lämplig linjebunt över $M$ . På detta utrymme kan man kartlägga alla klassiska observerbara objekt till operatörer på prequantum Hilbert-utrymmet, med kommutatorn som exakt motsvarar Poisson-parentesen. Prequantum Hilbert-utrymmet är dock helt klart för stort för att beskriva kvantiseringen av $M$ .

Man fortsätter sedan genom att välja en polarisation, det vill säga (ungefär), ett val av $n$ variabler på det $2n$ -dimensionella fasutrymmet. Kvant - Hilbert-utrymmet är då utrymmet av sektioner som endast beror på de $n$ valda variablerna, i den meningen att de är kovariant konstanta i de andra $n$ -riktningarna. Om de valda variablerna är verkliga får vi något som liknar det traditionella Schrödinger Hilbert-utrymmet. Om de valda variablerna är komplexa får vi något som Segal–Bargmann-utrymmet .

Se även

^ Dirac, PAM (1925). "Kvantmekanikens grundläggande ekvationer" . Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 109 (752): 642–653. Bibcode : 1925RSPSA.109..642D . doi : 10.1098/rspa.1925.0150 .
^ ^a ^b ^c Dirac, PAM (1982). Principer för kvantmekanik . USA: Oxford University Press. ISBN 0-19-852011-5 .
^ van der Waerden, BL (1968). Källor till kvantmekanik . New York: Dover Publications. ISBN 0486618811 .
^ Schweber, SS (1983). QED och männen som gjorde det . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0691033277 .
^ Hall 2013 teorem 13.13
^ Groenewold, HJ (1946). "Om principerna för elementär kvantmekanik". Physica . Elsevier BV. 12 (7): 405–460. doi : 10.1016/s0031-8914(46)80059-4 . ISSN 0031-8914 .
^ Hall 2013 Avsnitt 13.4
^ Shewell, John Robert (1959). "Om bildandet av kvantmekaniska operatörer". American Journal of Physics . American Association of Physics Teachers (AAPT). 27 (1): 16–21. doi : 10.1119/1.1934740 . ISSN 0002-9505 .
^ ALI, S. TWAREQUE; Engliš, MIROSLAV (2005). "Kvantiseringsmetoder: En guide för fysiker och analytiker". Recensioner i matematisk fysik . 17 (4): 391–490. arXiv : math-ph/0405065 . doi : 10.1142/s0129055x05002376 . ISSN 0129-055X . S2CID 119152724 .
^ Denna behandling bygger i första hand på kap. 1 i Connes, Alain ; Marcolli, Matilde (2008). Icke-kommutativ geometri, kvantfält och motiv (PDF) . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4210-2 . Arkiverad från originalet (PDF) 2009-12-29 . Hämtad 2010-05-16 .

Historiska referenser

Silvan S. Schweber : QED och männen som gjorde det , Princeton Univ. Press, 1994, ISBN 0-691-03327-7

Allmänna tekniska referenser

Alexander Altland, Ben Simons: Condensed matter field theory , Cambridge Univ. Press, 2009, ISBN 978-0-521-84508-3
James D. Bjorken, Sidney D. Drell: Relativistisk kvantmekanik , New York, McGraw-Hill, 1964
Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158 .
En introduktion till kvantfältteori , av ME Peskin och HD Schroeder, ISBN 0-201-50397-2
Franz Schwabl: Advanced Quantum Mechanics , Berlin and elsewhere, Springer, 2009 ISBN 978-3-540-85061-8

externa länkar

Vad är "relativistisk kanonisk kvantisering"?
Pedagogiska hjälpmedel till kvantfältteori Klicka på länkarna för kap. 1 och 2 på denna sida för att hitta en omfattande, förenklad introduktion till andra kvantisering. Se sekt. 1.5.2 i kap. 1. Se avsnitt. 2.7 och kapitelsammanfattningen i kap. 2.

[1] Dirac, PAM (1925). "Kvantmekanikens grundläggande ekvationer" . Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 109 (752): 642–653. Bibcode : 1925RSPSA.109..642D . doi : 10.1098/rspa.1925.0150 .

[dirac-2] Dirac, PAM (1982). Principer för kvantmekanik . USA: Oxford University Press. ISBN 0-19-852011-5 .

[van_der_Waerden-3] van der Waerden, BL (1968). Källor till kvantmekanik . New York: Dover Publications. ISBN 0486618811 .

[Schweber-4] Schweber, SS (1983). QED och männen som gjorde det . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0691033277 .

[5] Hall 2013 teorem 13.13

[6] Groenewold, HJ (1946). "Om principerna för elementär kvantmekanik". Physica . Elsevier BV. 12 (7): 405–460. doi : 10.1016/s0031-8914(46)80059-4 . ISSN 0031-8914 .

[7] Hall 2013 Avsnitt 13.4

[8] Shewell, John Robert (1959). "Om bildandet av kvantmekaniska operatörer". American Journal of Physics . American Association of Physics Teachers (AAPT). 27 (1): 16–21. doi : 10.1119/1.1934740 . ISSN 0002-9505 .

[9] ALI, S. TWAREQUE; Engliš, MIROSLAV (2005). "Kvantiseringsmetoder: En guide för fysiker och analytiker". Recensioner i matematisk fysik . 17 (4): 391–490. arXiv : math-ph/0405065 . doi : 10.1142/s0129055x05002376 . ISSN 0129-055X . S2CID 119152724 .

[10] Denna behandling bygger i första hand på kap. 1 i Connes, Alain ; Marcolli, Matilde (2008). Icke-kommutativ geometri, kvantfält och motiv (PDF) . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4210-2 . Arkiverad från originalet (PDF) 2009-12-29 . Hämtad 2010-05-16 .