Potentiella teori

Inom matematik och matematisk fysik är potentialteori studiet av harmoniska funktioner .

Termen "potentialteori" myntades i 1800-talets fysik när man insåg att två grundläggande naturkrafter som var kända vid den tiden, nämligen gravitation och den elektrostatiska kraften, kunde modelleras med hjälp av funktioner som kallas gravitationspotential och elektrostatisk potential . som uppfyller Poissons ekvation — eller i vakuumet, Laplaces ekvation .

Det finns en avsevärd överlappning mellan potentiell teori och teorin om Poissons ekvation i den utsträckningen att det är omöjligt att göra en skillnad mellan dessa två fält. Skillnaden är mer betoning än ämne och vilar på följande distinktion: potentialteori fokuserar på funktionernas egenskaper i motsats till ekvationens egenskaper. Till exempel skulle ett resultat om singulariteter sägas tillhöra potentialteorin medan ett resultat om hur lösningen beror på gränsdata skulle sägas tillhöra teorin om Laplace-ekvationen. Detta är inte en hård och snabb distinktion, och i praktiken finns det en betydande överlappning mellan de två områdena, med metoder och resultat från det ena som används inom det andra.

Modern potentialteori är också intimt förbunden med sannolikhet och teorin om Markov-kedjor . I det kontinuerliga fallet är detta nära relaterat till analytisk teori. I fallet med finita tillståndsrum kan denna koppling införas genom att införa ett elektriskt nätverk på tillståndsrummet, med resistans mellan punkter omvänt proportionell mot övergångssannolikheter och tätheter proportionella mot potentialer. Även i det ändliga fallet har den analoga IK av Laplacian i potentialteori sin egen maximala princip, unikhetsprincip, balansprincip och andra.

Symmetri

En användbar utgångspunkt och organiserande princip i studiet av övertonsfunktioner är en övervägande av symmetrierna i Laplace-ekvationen. Även om det inte är en symmetri i termens vanliga mening, kan vi börja med observationen att Laplace-ekvationen är linjär . Detta innebär att det grundläggande studieobjektet i potentialteori är ett linjärt funktionsrum. Denna observation kommer att visa sig vara särskilt viktig när vi tittar på funktionsrumssyn på ämnet i ett senare avsnitt.

När det gäller symmetri i termens vanliga mening kan vi börja med satsen att symmetrierna för den -dimensionella Laplace-ekvationen är exakt de konforma symmetrierna för det -dimensionella euklidiska rummet . Detta faktum har flera konsekvenser. Först och främst kan man överväga harmoniska funktioner som transformerar under irreducible representationer av den konforma gruppen eller av dess undergrupper (såsom gruppen av rotationer eller translationer). Genom att gå vidare på detta sätt erhåller man systematiskt lösningarna av Laplace-ekvationen som uppstår från separation av variabler såsom sfäriska harmoniska lösningar och Fourierserier . Genom att ta linjära superpositioner av dessa lösningar kan man producera stora klasser av övertonsfunktioner som kan visas vara täta i utrymmet för alla övertonsfunktioner under lämpliga topologier.

För det andra kan man använda konform symmetri för att förstå sådana klassiska trick och tekniker för att generera harmoniska funktioner som Kelvin-transformen och metoden för bilder .

För det tredje kan man använda konforma transformationer för att mappa harmoniska funktioner i en domän till harmoniska funktioner i en annan domän. Det vanligaste exemplet på en sådan konstruktion är att relatera harmoniska funktioner på en skiva till harmoniska funktioner på ett halvplan.

För det fjärde kan man använda konform symmetri för att utöka harmoniska funktioner till övertonsfunktioner på konformt platta Riemannska grenrör . Den kanske enklaste sådan förlängningen är att betrakta en övertonsfunktion definierad på hela R n (med eventuellt undantag för en diskret uppsättning singularpunkter) som en övertonsfunktion på den -dimensionella sfären . Mer komplicerade situationer kan också inträffa. Till exempel kan man erhålla en högredimensionell analog av Riemanns ytteorin genom att uttrycka en övertonsfunktion med flera värden som en funktion med ett värde på ett grenat hölje av Rn eller så kan man betrakta harmoniska funktioner som är invarianta under en diskret undergrupp av den konforma gruppen som fungerar på ett flerfaldigt sammankopplat grenrör eller orbifold .

Två dimensioner

Från det faktum att gruppen av konforma transformer är oändligt dimensionell i två dimensioner och finitdimensionell för mer än två dimensioner, kan man ana att potentialteori i två dimensioner skiljer sig från potentialteori i andra dimensioner. Detta är korrekt och i själva verket, när man inser att en tvådimensionell övertonsfunktion är den verkliga delen av en komplex analytisk funktion , ser man att ämnet för tvådimensionell potentialteori är väsentligen detsamma som för komplex analys. Av denna anledning, när man talar om potentiell teori, fokuserar man uppmärksamheten på satser som håller i tre eller flera dimensioner. I detta sammanhang är ett överraskande faktum att många resultat och begrepp som ursprungligen upptäcktes i komplex analys (såsom Schwarz sats , Moreras sats , Weierstrass-Casorati sats , Laurent-serien och klassificeringen av singulariteter som borttagbara , poler och väsentliga singulariteter ) generaliserar till resultat på harmoniska funktioner i vilken dimension som helst. Genom att överväga vilka teorem av komplex analys som är specialfall av teorem av potentiell teori i någon dimension, kan man få en känsla för exakt vad som är speciellt med komplex analys i två dimensioner och vad som helt enkelt är den tvådimensionella förekomsten av mer generella resultat.

Lokalt beteende

Ett viktigt ämne inom potentialteorin är studiet av det lokala beteendet hos harmoniska funktioner. Den kanske mest grundläggande satsen om lokalt beteende är regularitetssatsen för Laplaces ekvation, som säger att harmoniska funktioner är analytiska. Det finns resultat som beskriver den lokala strukturen för nivåuppsättningar av harmoniska funktioner. Det finns Bôchers sats , som kännetecknar beteendet hos isolerade singulariteter av positiva harmoniska funktioner. Som antyddes i det sista avsnittet kan man klassificera de isolerade singulariteterna för harmoniska funktioner som borttagbara singulariteter, poler och väsentliga singulariteter.

Ojämlikheter

Ett fruktbart tillvägagångssätt för studiet av harmoniska funktioner är övervägandet av ojämlikheter som de uppfyller. Den kanske mest grundläggande sådan ojämlikheten, från vilken de flesta andra ojämlikheter kan härledas, är maximiprincipen . Ett annat viktigt resultat är Liouvilles sats , som anger att de enda avgränsade harmoniska funktionerna som definieras på hela R n är i själva verket konstanta funktioner. Utöver dessa grundläggande ojämlikheter har man Harnacks ojämlikhet , som säger att positiva harmoniska funktioner på avgränsade domäner är ungefär konstanta.

En viktig användning av dessa ojämlikheter är att bevisa konvergens av familjer av harmoniska funktioner eller sub-harmoniska funktioner, se Harnacks teorem . Dessa konvergenssatser används för att bevisa förekomsten av harmoniska funktioner med särskilda egenskaper.

Utrymmen med harmoniska funktioner

Eftersom Laplace-ekvationen är linjär är uppsättningen av övertonsfunktioner som definieras på en given domän i själva verket ett vektorrum . Genom att definiera lämpliga normer och/eller inre produkter kan man uppvisa uppsättningar av harmoniska funktioner som bildar Hilbert- eller Banach-rum . På detta sätt får man utrymmen som Hardy-utrymmet , Bloch-utrymmet , Bergman-utrymmet och Sobolev-utrymmet .

Se även

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Potential_theory&oldid=1078622696 "