Appells rörelseekvation

Inom klassisk mekanik är Appells rörelseekvation (alias Gibbs–Appells rörelseekvation ) en alternativ allmän formulering av klassisk mekanik som beskrevs av Josiah Willard Gibbs 1879 och Paul Émile Appell 1900.

Påstående

Gibbs-Appells ekvation lyder

$Q_{r}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}},$

där $\alpha _{r}={\ddot {q_{r}}}$ är en godtycklig generaliserad acceleration, eller den andra tidsderivatan av de generaliserade koordinaterna $q_{ r}$ , och $Q_{r}$ är dess motsvarande generaliserade kraft . Den generaliserade kraften ger det utförda arbetet

$dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r},$

där indexet $r$ löper över de $D$ generaliserade koordinaterna ${\displaystyle q_{r}} ,$ som vanligtvis motsvarar systemets frihetsgrader . Funktionen $S$ definieras som den massvägda summan av partikelaccelerationerna i kvadrat,

$S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a } _{k}^{2}\,,$

där index $k$ löper över $K$ -partiklarna, och

$\mathbf {a} _{k}={\ddot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d^{ 2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}$

är accelerationen av den $k$ -te partikeln, den andra tidsderivatan av dess positionsvektor $\mathbf {r} _{k}$ . Varje $\mathbf {r} _{k}$ uttrycks i termer av generaliserade koordinater , och $\mathbf {a} _{k}$ uttrycks i termer av generaliserade accelerationer.

Relationer till andra formuleringar av klassisk mekanik

Appells formulering introducerar ingen ny fysik till klassisk mekanik och är som sådan likvärdig med andra omformuleringar av klassisk mekanik, såsom Lagrangiansk mekanik och Hamiltonsk mekanik . All klassisk mekanik ingår i Newtons rörelselagar. I vissa fall kan Appells rörelseekvation vara bekvämare än den vanliga lagrangiska mekaniken, särskilt när icke-holonomiska begränsningar är inblandade. I själva verket leder Appells ekvation direkt till Lagranges rörelseekvationer. Dessutom kan den användas för att härleda Kanes ekvationer, som är särskilt lämpade för att beskriva rörelsen hos komplexa rymdfarkoster. Appells formulering är en tillämpning av Gauss princip om minsta tvång .

Härledning

Förändringen i partikelpositionerna r _k för en oändlig ändring i de D generaliserade koordinaterna är

$d\mathbf {r} _{k}=\summa _{r=1}^{D}dq_{r}{\ frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}$

Att ta två derivator med avseende på tid ger en ekvivalent ekvation för accelerationerna

${\frac {\partial \mathbf {a} _{k}}{\partial \alpha _{r}}}={\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}$

Arbetet som utförs av en oändlig förändring dq _r i de generaliserade koordinaterna är

$dW=\summa _{r= 1}^{D}Q_{r}dq_{r}=\summa _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}=\ summa _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}$

där Newtons andra lag för den k: te partikeln

$\mathbf {F} _{k}=m_{k}\mathbf {a} _{k}$

har använts. Genom att ersätta formeln för d r _k och byta ordningen på de två summeringarna får man formlerna

$dW=\summa _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r}=\summa _{k=1 }^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \sum _{r=1}^{D}dq_{r}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)=\summa _{r=1}^{D}dq_{r}\summa _{k=1}^{N}m_{k} \mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)$

Därför är de generaliserade krafterna

$Q_{r}=\summa _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r }}}\right)=\summa _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {a} _{ k}}{\partial \alpha _{r}}}\right)$

Detta är lika med derivatan av S med avseende på de generaliserade accelerationerna

${\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}={\frac {\partial } {\partial \alpha _{r}}}{\frac {1}{2}}\summa _{k=1}^{N}m_{k}\left|\mathbf {a} _{k}\ höger|^{2}=\summa _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {a} _{ k}}{\partial \alpha _{r}}}\right)$

ger Appells rörelseekvation

${\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}=Q_{r}.$

Exempel

Eulers ekvationer av stel kroppsdynamik

Eulers ekvationer ger en utmärkt illustration av Appells formulering.

Betrakta en stel kropp av N -partiklar sammanfogade av styva stavar. Kroppens rotation kan beskrivas av en vinkelhastighetsvektor ω $\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ och motsvarande vinkelaccelerationsvektor

${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}$

Den generaliserade kraften för en rotation är vridmomentet ${\textbf {N}}$ , eftersom arbetet som utförs för en oändligt liten rotation $\delta {\boldsymbol {\phi }}$ är $dW=\mathbf {N} \cdot \delta {\boldsymbol {\phi }}$ . Hastigheten för $k$ -:e partikeln ges av

$\mathbf {v} _{k}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{k}$

där $\mathbf {r} _{k}$ är partikelns position i kartesiska koordinater; dess motsvarande acceleration är

$\mathbf {a} _{k}={\frac {d\mathbf {v} _{k}}{dt}} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}$

Därför kan funktionen $S$ skrivas som

$S={\frac {1}{2}}\summa _{k=1}^{N}m_{k}\left(\mathbf {a} _ {k}\cdot \mathbf {a} _{k}\right)={\frac {1}{2}}\summa _{k=1}^{N}m_{k}\left\{\left ({\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}\right)^{2}+\left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k} \right)^{2}+2\left({\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \ mathbf {v} _{k}\right)\right\}$

Att ställa in derivatan av S med avseende på ${\boldsymbol {\alpha }}$ lika med vridmomentet ger Eulers ekvationer

$I_{xx}\alpha _{x}-\left(I_{yy}-I_{zz}\right )\omega _{y}\omega _{z}=N_{x}$

$I_{yy}\alpha _{y}-\left(I_{zz}-I_{xx}\right)\omega _{z}\omega _{x}=N_{y}$

$I_{zz}\alpha _{z}-\left(I_{xx}-I_{yy}\right)\omega _{x}\omega _{y }=N_{z}$

Se även

• Principen för stationär verkan
• Analytisk mekanik

Vidare läsning

• Pars, LA (1965). En avhandling om analytisk dynamik . Woodbridge, Connecticut: Ox Bow Press. s. 197–227, 631–632.
• Whittaker, ET (1937). En avhandling om partiklars och stela kroppars analytiska dynamik, med en introduktion till problemet med tre kroppar ( 4:e upplagan). New York: Dover Publications. ISBN.
• Seeger (1930). "Appells ekvationer". Journal of the Washington Academy of Science . 20 : 481-484.
• Brell, H (1913). "Nachweis der Aquivalenz des verallgemeinert Prinzipes der kleinsten Aktion mit dem Prinzip des kleinsten Zwanges". Wien. Sitz . 122 : 933-944. Koppling av Appells formulering med principen om minsta handling .
• PDF-kopia av Appells artikel vid Göttingen University
• PDF-kopia av en andra artikel om Appells ekvationer och Gauss princip