Udwadia–Kalaba formulering

I klassisk mekanik är formuleringen Udwadia -Kalaba en metod för att härleda rörelseekvationerna för ett begränsat mekaniskt system . Metoden beskrevs först av Vereshchagin för det speciella fallet med robotarmar , och generaliserades senare till alla mekaniska system av Firdaus E. Udwadia och Robert E. Kalaba 1992. Tillvägagångssättet är baserat på Gauss princip om minsta begränsning . Udwadia–Kalaba-metoden gäller både holonomiska begränsningar och icke-holonomiska begränsningar, så länge de är linjära med avseende på accelerationerna. Metoden generaliserar till tvångskrafter som inte följer D'Alemberts princip .

Bakgrund

Udwadia–Kalaba-ekvationen utvecklades 1992 och beskriver rörelsen hos ett begränsat mekaniskt system som är utsatt för jämlikhetsbegränsningar.

Detta skiljer sig från den lagrangska formalismen, som använder Lagrange-multiplikatorerna för att beskriva rörelsen hos begränsade mekaniska system, och andra liknande tillvägagångssätt som Gibbs-Appell-metoden . Den fysiska tolkningen av ekvationen har tillämpningar inom områden bortom teoretisk fysik, såsom styrning av mycket olinjära generella dynamiska system.

Det centrala problemet med begränsad rörelse

I studiet av mekaniska systems dynamik är konfigurationen av ett givet system S i allmänhet fullständigt beskriven av n generaliserade koordinater så att dess generaliserade koordinat n -vektor ges av

$\mathbf {q} :=[q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}]^{\mathrm {T} }.$

där T betecknar matristransponera . Med hjälp av newtonsk eller lagrangisk dynamik kan de obegränsade rörelseekvationerna för systemet S som studeras härledas som en matrisekvation (se matrismultiplikation) :

Udwadia–Kalaba rörelseekvationer ( Obegränsad )

$\mathbf {M} (q,t){\ddot {\mathbf {q} }}(t)= \mathbf {Q} (q,{\dot {q}},t)\,,$

där prickarna representerar derivator med avseende på tid :

${\dot {q}}_{i}={\frac {dq_{i}}{dt}}\,.$

Det antas att initialvillkoren q (0) och ${\dot {\mathbf {q} }}(0)$ är kända. Vi kallar systemet S unconstrained eftersom ${\dot {\mathbf {q} }}(0)$ kan tilldelas godtyckligt.

n - vektorn Q betecknar den totala generaliserade kraften som verkar på systemet av någon yttre påverkan; det kan uttryckas som summan av alla konservativa krafter såväl som icke -konservativa krafter.

n - by- n- matrisen M är symmetrisk , och den kan vara positiv definit $(\mathbf {M} >0)$ eller semi-positiv definit $(\mathbf { M} \geq 0)$ . Typiskt antas det att M är positivt definitivt; det är emellertid inte ovanligt att härleda de obegränsade rörelseekvationerna för systemet S så att M endast är semi-positiv definit; dvs massmatrisen kan vara singular (den har ingen invers matris ).

Begränsningar

Vi antar nu att det obegränsade systemet S är föremål för en uppsättning m konsekventa likhetsbegränsningar som ges av

$\mathbf {A} (q,{\dot {q}},t){\ddot {\mathbf { q} }}=\mathbf {b} (q,{\dot {q}},t),$

där A är en känd m -by- n- matris med rang r och b är en känd m -vektor. Vi noterar att denna uppsättning begränsningsekvationer omfattar en mycket allmän variation av holonomiska och icke-holonomiska likhetsbegränsningar. Till exempel holonomiska begränsningar av formen

$\varphi (q,t)=0$

kan differentieras två gånger med avseende på tid medan icke-holonomiska begränsningar av formen

$\psi (q,{\dot {q}},t)=0$

kan differentieras en gång med avseende på tid för att erhålla m -by- n -matrisen A och m -vektorn b . Kort sagt, begränsningar kan anges som är

1. olinjära funktioner för förskjutning och hastighet,
2. uttryckligen beroende av tid, och
3. funktionsberoende.

Som en konsekvens av att utsätta dessa begränsningar för det obegränsade systemet S , är en ytterligare kraft konceptualiserad att uppstå, nämligen begränsningskraften. Därför blir det Sc _begränsade systemet

Udwadia–Kalaba rörelseekvationer ( Begränsad )

$\mathbf {M} {\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} +\mathbf {Q} _{ c}(q,{\dot {q}},t),$

där Q _c — begränsningskraften — är den extra kraft som behövs för att uppfylla de pålagda begränsningarna. Det centrala problemet med begränsad rörelse anges nu som följer:

1. givet de obegränsade rörelseekvationerna för systemet S ,
2. givet den generaliserade förskjutningen q ( t ) Sc _och den generaliserade hastigheten ${\dot {q}}(t)$ för det begränsade systemet vid tidpunkten t , och
3. givet begränsningarna i formen $\mathbf {A} {\ddot {q}}=\mathbf {b}$ enligt ovan,

hitta rörelseekvationerna för det begränsade systemet - accelerationen - vid tidpunkten t , vilket är i enlighet med de överenskomna principerna för analytisk dynamik.

Notation

Nedan, för positiv definitiv $\mathbf {M}$ , betecknar $\mathbf {M} ^{-1/2}$ inversen av dess kvadratrot , definierad som

${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1/2}=\mathbf {W} \mathbf {\Lambda } ^{-$ ,

där $\mathbf {W}$ är den ortogonala matrisen $\mathbf {\Lambda } ^{-1/2}$ härrör från egennedbrytning (vars rader består av lämpligt valda egenvektorer av ${\displaystyle \mathbf {M} } )$ och är den diagonala matrisen vars diagonala element är de inversa kvadratrötterna av egenvärdena som motsvarar egenvektorerna i $\mathbf {W}$ .

Rörelseekvation

Lösningen på detta centrala problem ges av Udwadia–Kalaba-ekvationen. När matrisen M Sc _är positiv definitiv är rörelseekvationen för det begränsade systemet , vid varje tidpunkt,

$\mathbf {M} {\ddot {\mathbf {q} }$

där '+'-symbolen anger $\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2$ av matrisen . Tvångskraften ges alltså uttryckligen som

$\displaystyle \mathbf {Q} _{c}=\mathbf {M} ^{1/2$

och eftersom matrisen M är positiv definitiv bestäms den generaliserade accelerationen av det begränsade systemet _Sc explicit av

${\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} +\mathbf {M} ^{-1/2}\left(\mathbf {A } \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} ).$

I det fall matrisen M är semi-positiv definitiv ${\displaystyle (\mathbf {M} \geq 0)} ,$ kan ekvationen ovan inte användas direkt eftersom M kan vara singularis. Dessutom kanske de generaliserade accelerationerna inte är unika om inte ( n + m )-för- n -matrisen

${\hat {\mathbf {M} }}=\left[{\begin{array}{c}\mathbf {M} \\\mathbf {A} \end{array }}\höger]$

har full rang (rank = n ). Men eftersom de observerade accelerationerna av mekaniska system i naturen alltid är unika, är detta rangvillkor ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att erhålla de unikt definierade generaliserade accelerationerna för det begränsade systemet Sc _vid varje tidpunkt. Sålunda, när ${\displaystyle {\hat {\mathbf {M} }}} har$ Sc _full rang, bestäms rörelseekvationerna för det begränsade systemet vid varje tidpunkt unikt genom att (1) skapa hjälpen obegränsad systemet

$\mathbf {M} _{\mathbf {A} }{\ddot {\mathbf {q } }}:=(\mathbf {M} +\mathbf {A} ^{+}\mathbf {A} ){\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} +\mathbf {A} ^{+}\mathbf {b} :=\mathbf {Q} _{\mathbf {b} },$

och genom att (2) tillämpa grundekvationen för begränsad rörelse på detta obegränsade hjälpsystem så att de extra begränsade rörelseekvationerna uttryckligen ges av

$\mathbf {M} _{\mathbf {A} }{\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }+\mathbf {M} _{\ mathbf {A} }^{1/2}(\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2})^{+}(\mathbf {b} -\ mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }).$

Dessutom, när matrisen ${\hat {\mathbf {M} }}$ har full rang, är matrisen $\mathbf {M} _{\mathbf {A} }$ alltid positiv bestämd. Detta ger uttryckligen de generaliserade accelerationerna för det begränsade _systemet Sc as

${\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }+\mathbf { M} _{\mathbf {A} }^{-1/2}(\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2})^{+}(\ mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }).$

Denna ekvation är giltig när matrisen M antingen är positiv definit eller positiv semidefinit. Kraften av begränsning som får det begränsade systemet Sc _att - ett system som kan ha en singulär massmatris M - uppfylla de pålagda begränsningarna är dessutom uttryckligen given av

$\mathbf {Q} _{c}=\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{1/2}(\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2})^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{ \mathbf {b} }).$

Icke idealiska begränsningar

När som helst under rörelsen kan vi överväga att störa systemet med en virtuell förskjutning δ r som överensstämmer med systemets begränsningar. Förskjutningen tillåts vara antingen reversibel eller irreversibel. Om förskjutningen är irreversibel, utför den virtuellt arbete . Vi kan skriva förskjutningens virtuella arbete som

$W_{c}(t)=\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }(q,{\ punkt {q}},t)\delta \mathbf {r} (t)$

Vektorn $\mathbf {C} (q,{\dot {q}},t)$ beskriver det virtuella verkets icke-idealitet och kan vara relaterad till t.ex. till friktions- eller dragkrafter (sådana krafter är hastighetsberoende). Detta är en generaliserad D'Alemberts princip , där den vanliga formen av principen har försvinnande virtuellt arbete med $\mathbf {C} (q,{\dot {q}}, t)=0$ .

Udwadia–Kalaba-ekvationen modifieras av en ytterligare icke-ideal begränsningsterm till

$\mathbf {M} {\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} +\mathbf {M} ^{1/2}\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} ) +\mathbf {M} ^{1/2}\left[\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right]\mathbf {M} ^{-1/2}\mathbf {C}$

Exempel

Omvänt Kepler-problem

Metoden kan lösa det omvända Kepler-problemet att bestämma kraftlagen som motsvarar banorna som är koniska sektioner . Vi ser att det inte finns några yttre krafter (inte ens gravitationen) och begränsar istället partikelrörelsen att följa formens banor

$r=\varepsilon x+\ell$

där $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ , $\varepsilon$ är excentriciteten och ${\textstyle \ell }$ är semi-latus rektum. Att differentiera två gånger med avseende på tid och ordna om något ger en begränsning

$(xr\varepsilon){\ddot {x}}+y{\ddot {y}} =-{\frac {(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})^{2}}{r^{2}}}$

Vi antar att kroppen har en enkel, konstant massa. Vi antar också att vinkelmomentet kring fokuset bevaras som

$m(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})=L$

med tidsderivata

$x{\ddot {y}}-y{\ddot {x}}=0$

Vi kan kombinera dessa två begränsningar i matrisekvationen

${\begin{pmatrix}xr\varepsilon &y\\y&-x\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {L^{2}}{m^{ 2}r^{2}}}\\0\end{pmatrix}}$

Begränsningsmatrisen har invers

${\begin{pmatrix}xr\varepsilon &y\\y&-x\end{pmatrix }}^{-1}={\frac {1}{\ell r}}{\begin{pmatrix}x&y\\y&-(xr\varepsilon )\end{pmatrix}}$

Kraften av tvång är därför den förväntade, centrala omvända kvadratlagen

$_ \displaystyle \mathbf {F} _{c}=m\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} ={\frac {m}{\ell r}}{\begin{pmatrix}x&y\\ y&-(xr\varepsilon )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\\0\end{pmatrix }}=-{\frac {L^{2}}{m\ell r^{2}}}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}}$

Lutande plan med friktion

Betrakta ett litet block med konstant massa på ett lutande plan i en vinkel $\alpha$ över horisontalplanet. Begränsningen att blocket ligger på planet kan skrivas som

$y=x\tan \alpha$

Efter att ha tagit två tidsderivator kan vi sätta detta i en standardform för restriktionsmatrisekvationer

${\begin{pmatrix}-\tan \alpha &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\ {\ddot {y}}\end{pmatrix}}=0$

Begränsningsmatrisen har pseudoinvers

${\begin{pmatrix}-\tan \alpha &1\end{pmatrix}}^{+}=\cos ^{ 2}\alpha {\begin{pmatrix}-\tan \alpha \\1\end{pmatrix}}$

Vi tillåter att det finns glidfriktion mellan blocket och det lutande planet. Vi parametriserar denna kraft med en standardfriktionskoefficient multiplicerad med normalkraften

$\mathbf {C} =-\mu mg\cos \alpha \operatörsnamn {sgn} {\dot {y}} {\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}$

Medan tyngdkraften är reversibel, är friktionskraften det inte. Därför kommer det virtuella arbetet associerat med en virtuell förskjutning att bero på C . Vi kan sammanfatta de tre krafterna (extern, idealisk begränsning och icke-ideal begränsning) enligt följande:

$\mathbf {F} _{\text{ext}}=\mathbf {Q} =-mg{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix }}$

$\mathbf {F} _{c,i}=-\mathbf {A} ^{+}\mathbf {A} \mathbf {Q} =mg\cos ^{2}\alpha {\ start{pmatrix}-\tan \alpha \\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\tan \alpha &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix }}=mg{\begin{pmatrix}-\sin \alpha \cos \alpha \\\cos ^{2}\alpha \end{pmatrix}}$

$\mathbf {F} _{c,ni}=(\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{+}\mathbf {A} )\mathbf {C} =-\mu mg\cos \alpha \operatörsnamn {sgn} {\dot {y}}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-\cos ^{2} \alpha {\begin{pmatrix}-\tan \alpha \\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\tan \alpha &1\end{pmatrix}}\right]=-\mu mg\cos \alpha \operatörsnamn {sgn} {\dot {y}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\alpha \\\sin \alpha \cos \alpha \end{pmatrix}}$

Genom att kombinera ovanstående finner vi att rörelseekvationerna är

${ \displaystyle {\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {F} _ {\text{ext}}+\mathbf {F} _{c,i}+\mathbf {F} _{c,ni}\right)=-g\left(\sin \alpha +\mu \cos \ alpha \operatörsnamn {sgn} {\dot {y}}\right){\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}}$

Detta är som en konstant nedåtgående acceleration på grund av gravitationen med en liten modifiering. Om blocket rör sig uppåt i det lutande planet, ökar friktionen den nedåtgående accelerationen. Om blocket rör sig nedför det lutande planet, minskar friktionen den nedåtgående accelerationen.