Statistisk mekanik

Inom fysiken är statistisk mekanik ett matematiskt ramverk som tillämpar statistiska metoder och sannolikhetsteori på stora sammansättningar av mikroskopiska enheter. Den antar eller postulerar inte några naturlagar, utan förklarar naturens makroskopiska beteende utifrån beteendet hos sådana ensembler.

Statistisk mekanik uppstod ur utvecklingen av klassisk termodynamik , ett område för vilket den lyckades förklara makroskopiska fysikaliska egenskaper - såsom temperatur , tryck och värmekapacitet - i termer av mikroskopiska parametrar som fluktuerar kring medelvärden och kännetecknas av sannolikhetsfördelningar . Detta etablerade områdena statistisk termodynamik och statistisk fysik .

Grundandet av området för statistisk mekanik krediteras i allmänhet till tre fysiker:

• Ludwig Boltzmann , som utvecklade den grundläggande tolkningen av entropi i termer av en samling mikrotillstånd
• James Clerk Maxwell , som utvecklade modeller för sannolikhetsfördelning av sådana tillstånd
• Josiah Willard Gibbs , som myntade fältets namn 1884

Medan klassisk termodynamik i första hand sysslar med termodynamisk jämvikt , har statistisk mekanik applicerats i statistisk mekanik för icke-jämvikt på frågorna om mikroskopisk modellering av hastigheten för irreversibla processer som drivs av obalanser. Exempel på sådana processer är kemiska reaktioner och flöden av partiklar och värme. Fluktuations -förlustsatsen är den grundläggande kunskapen som erhålls genom att tillämpa statistisk mekanik i icke-jämvikt för att studera den enklaste icke-jämviktssituationen för ett jämviktsströmflöde i ett system med många partiklar.

Principer: mekanik och ensembler

Huvudartiklar: Mekanik och statistisk ensemble

Inom fysiken undersöks vanligtvis två typer av mekanik: klassisk mekanik och kvantmekanik . För båda typerna av mekanik är den matematiska standardmetoden att överväga två begrepp:

• Det mekaniska systemets fullständiga tillstånd vid en given tidpunkt, matematiskt kodad som en faspunkt (klassisk mekanik) eller en ren kvanttillståndsvektor (kvantmekanik).
• En rörelseekvation som för tillståndet framåt i tiden: Hamiltons ekvationer (klassisk mekanik) eller Schrödinger-ekvationen (kvantmekanik)

Med hjälp av dessa två begrepp kan tillståndet vid någon annan tidpunkt, dåtid eller framtid, i princip beräknas. Det finns emellertid en koppling mellan dessa lagar och vardagslivsupplevelser, eftersom vi inte finner det nödvändigt (inte ens teoretiskt möjligt) att exakt på mikroskopisk nivå veta de samtidiga positionerna och hastigheterna för varje molekyl samtidigt som vi utför processer i mänsklig skala ( till exempel när man utför en kemisk reaktion). Statistisk mekanik fyller denna frånkoppling mellan mekanikens lagar och den praktiska erfarenheten av ofullständig kunskap, genom att lägga till viss osäkerhet om vilket tillstånd systemet befinner sig i.

Medan vanlig mekanik bara tar hänsyn till beteendet hos ett enda tillstånd, introducerar statistisk mekanik den statistiska ensemblen , som är en stor samling virtuella, oberoende kopior av systemet i olika tillstånd. Den statistiska ensemblen är en sannolikhetsfördelning över alla möjliga tillstånd i systemet. Inom klassisk statistisk mekanik är ensemblen en sannolikhetsfördelning över faspunkter (till skillnad från en enda faspunkt i vanlig mekanik), vanligtvis representerad som en fördelning i ett fasrum med kanoniska koordinataxlar . Inom kvantstatistisk mekanik är ensemblen en sannolikhetsfördelning över rena tillstånd och kan kompakt sammanfattas som en densitetsmatris .

Som vanligt för sannolikheter kan ensemblen tolkas på olika sätt:

• en ensemble kan tas för att representera de olika möjliga tillstånd som ett enda system kan vara i ( epistemisk sannolikhet , en form av kunskap), eller
• medlemmarna i ensemblen kan förstås som systemens tillstånd i experiment som upprepas på oberoende system som har förberetts på ett liknande men ofullkomligt kontrollerat sätt ( empirisk sannolikhet ), inom gränsen för ett oändligt antal försök.

Dessa två betydelser är likvärdiga för många ändamål och kommer att användas omväxlande i den här artikeln.

Hur sannolikheten än tolkas, utvecklas varje tillstånd i ensemblen över tiden enligt rörelseekvationen. Således utvecklas också ensemblen själv (sannolikhetsfördelningen över tillstånd), eftersom de virtuella systemen i ensemblen kontinuerligt lämnar ett tillstånd och går in i ett annat. Ensemblens utveckling ges av Liouville-ekvationen (klassisk mekanik) eller von Neumann-ekvationen (kvantmekanik). Dessa ekvationer härleds helt enkelt genom tillämpningen av den mekaniska rörelseekvationen separat på varje virtuellt system som ingår i ensemblen, med sannolikheten för att det virtuella systemet bevaras över tiden när det utvecklas från tillstånd till tillstånd.

En speciell klass av ensemble är de ensembler som inte utvecklas över tiden. Dessa ensembler är kända som jämviktsensembler och deras tillstånd är känt som statistisk jämvikt . Statistisk jämvikt uppstår om ensemblen för varje tillstånd i ensemblen också innehåller alla sina framtida och tidigare tillstånd med sannolikheter lika med sannolikheten att vara i det tillståndet. Studiet av jämviktsensembler av isolerade system är i fokus för statistisk termodynamik. Icke-jämviktsstatistisk mekanik tar upp det mer allmänna fallet med ensembler som förändras över tiden, och/eller ensembler av icke-isolerade system.

Statistisk termodynamik

Det primära målet för statistisk termodynamik (även känd som statistisk jämviktsmekanik) är att härleda den klassiska termodynamiken hos material i termer av egenskaperna hos deras beståndsdelar och interaktionerna mellan dem. Med andra ord ger statistisk termodynamik en koppling mellan de makroskopiska egenskaperna hos material i termodynamisk jämvikt , och de mikroskopiska beteenden och rörelserna som förekommer inuti materialet.

Medan den egentliga statistiska mekaniken involverar dynamik, fokuseras här uppmärksamheten på statistisk jämvikt (steady state). Statistisk jämvikt betyder inte att partiklarna har slutat röra sig ( mekanisk jämvikt ), snarare bara att ensemblen inte utvecklas.

Grundläggande postulat

Ett tillräckligt (men inte nödvändigt) villkor för statistisk jämvikt med ett isolerat system är att sannolikhetsfördelningen endast är en funktion av bevarade egenskaper (total energi, totala partikelantal, etc.). Det finns många olika jämviktsensembler som kan övervägas, och endast några av dem motsvarar termodynamik. Ytterligare postulat är nödvändiga för att motivera varför ensemblen för ett givet system bör ha en eller annan form.

Ett vanligt tillvägagångssätt som finns i många läroböcker är att ta det lika a priori sannolikhetspostulatet . Detta postulat säger det

För ett isolerat system med en exakt känd energi och exakt känd sammansättning kan systemet hittas med lika stor sannolikhet i vilket mikrotillstånd som helst som överensstämmer med den kunskapen.

Det lika a priori sannolikhetspostulatet ger därför en motivering för den mikrokanoniska ensemble som beskrivs nedan. Det finns olika argument för det lika a priori sannolikhetspostulatet:

• Ergodisk hypotes : Ett ergodiskt system är ett som utvecklas över tiden för att utforska "alla tillgängliga" tillstånd: alla de med samma energi och sammansättning. I ett ergodiskt system är den mikrokanoniska ensemblen den enda möjliga jämviktsensemblen med fixerad energi. Detta tillvägagångssätt har begränsad tillämpbarhet, eftersom de flesta system inte är ergodiska.
• Principen om likgiltighet : I avsaknad av ytterligare information kan vi bara tilldela lika sannolikheter för varje kompatibel situation.
• Maximal informationsentropi : En mer utarbetad version av principen om likgiltighet säger att den korrekta ensemblen är den ensemble som är kompatibel med den kända informationen och som har den största Gibbs-entropin ( informationsentropin ).

Andra grundläggande postulat för statistisk mekanik har också föreslagits. Till exempel visar nyare studier att teorin om statistisk mekanik kan byggas utan lika a priori sannolikhetspostulat. En sådan formalism är baserad på den grundläggande termodynamiska relationen tillsammans med följande uppsättning postulat:

1. Sannolikhetstäthetsfunktionen är proportionell mot någon funktion av ensembleparametrarna och slumpvariablerna.
2. Termodynamiska tillståndsfunktioner beskrivs av ensemblemedelvärden av slumpvariabler.
3. Entropin som definieras av Gibbs entropiformel matchar entropin som definieras i klassisk termodynamik .

där det tredje postulatet kan ersättas med följande:

3. Vid oändlig temperatur har alla mikrotillstånd samma sannolikhet.

Tre termodynamiska ensembler

Huvudartiklar: Ensemble (matematisk fysik) , Microcanonical ensemble , Canonical ensemble och Grand canonical ensemble

Det finns tre jämviktsensembler med en enkel form som kan definieras för vilket isolerat system som helst avgränsat inuti en ändlig volym. Dessa är de mest diskuterade ensemblerna inom statistisk termodynamik. I den makroskopiska gränsen (definierad nedan) motsvarar de alla klassisk termodynamik.

Mikrokanonisk ensemble

beskriver ett system med en exakt given energi och fast sammansättning (precis antal partiklar). Den mikrokanoniska ensemblen innehåller med lika stor sannolikhet varje möjligt tillstånd som är förenligt med den energin och sammansättningen.

Canonical ensemble

beskriver ett system av fixerad sammansättning som är i termisk jämvikt med ett värmebad med en exakt temperatur . Den kanoniska ensemblen innehåller tillstånd av varierande energi men identisk sammansättning; de olika tillstånden i ensemblen tilldelas olika sannolikheter beroende på deras totala energi.

Grand canonical ensemble

beskriver ett system med icke-fixerad sammansättning (osäkra partikelantal) som är i termisk och kemisk jämvikt med en termodynamisk reservoar. Reservoaren har en exakt temperatur och exakta kemiska potentialer för olika typer av partiklar. Den stora kanoniska ensemblen innehåller tillstånd av varierande energi och varierande antal partiklar; de olika tillstånden i ensemblen tilldelas olika sannolikheter beroende på deras totala energi och totala partikelantal.

För system som innehåller många partiklar (den termodynamiska gränsen ) tenderar alla tre ensemblerna ovan att ge identiskt beteende. Det är då helt enkelt en fråga om matematisk bekvämlighet vilken ensemble som används. Gibbs sats om ensemblers likvärdighet utvecklades till teorin om koncentration av mätfenomen, som har tillämpningar inom många vetenskapsområden, från funktionsanalys till metoder för artificiell intelligens och big data -teknologi.

Viktiga fall där de termodynamiska ensemblerna inte ger identiska resultat inkluderar:

• Mikroskopiska system.
• Stora system i fasövergång.
• Stora system med långväga interaktioner.

I dessa fall måste den korrekta termodynamiska ensemblen väljas eftersom det finns observerbara skillnader mellan dessa ensembler inte bara i storleken på fluktuationer, utan också i genomsnittliga kvantiteter såsom fördelningen av partiklar. Den korrekta ensemblen är den som motsvarar det sätt som systemet har förberetts och karaktäriserats på – med andra ord den ensemble som speglar kunskapen om det systemet.

Termodynamiska ensembler

	Mikrokanoniskt	Kanonisk	Grand canonical
Fasta variabler	$E,N,V$	$T,N,V$	$T,\mu ,V$
Mikroskopiska egenskaper	Antal mikrotillstånd	Kanonisk partitionsfunktion	Grand partitionsfunktion
	$W$	$Z=\sum _{k}e^{-E_{k}/k_{B}T}$	${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{k}e^{-(E_{k}-\mu N_{$
Makroskopisk funktion	Boltzmann entropi	Helmholtz fri energi	Stor potential
	$S=k_{B}\log W$	$F=-k_{B}T\log Z$	$\Omega =-k_{B}T\log {\mathcal {Z}}$

Beräkningsmetoder

När den karakteristiska tillståndsfunktionen för en ensemble har beräknats för ett givet system, är det systemet "löst" (makroskopiska observerbara objekt kan extraheras från den karakteristiska tillståndsfunktionen). Att beräkna den karakteristiska tillståndsfunktionen för en termodynamisk ensemble är dock inte nödvändigtvis en enkel uppgift, eftersom det innebär att överväga alla möjliga tillstånd i systemet. Medan vissa hypotetiska system har lösts exakt, är det mest allmänna (och realistiska) fallet för komplext för en exakt lösning. Det finns olika tillvägagångssätt för att approximera den verkliga ensemblen och möjliggöra beräkning av genomsnittliga kvantiteter.

Exakt

Det finns vissa fall som tillåter exakta lösningar.

• För mycket små mikroskopiska system kan ensemblerna beräknas direkt genom att helt enkelt räkna upp alla möjliga tillstånd i systemet (med exakt diagonalisering i kvantmekanik, eller integral över hela fasutrymmet i klassisk mekanik).
• Vissa stora system består av många separerbara mikroskopiska system, och vart och ett av delsystemen kan analyseras oberoende. I synnerhet har idealiserade gaser av icke-interagerande partiklar denna egenskap, vilket möjliggör exakta härledningar av Maxwell-Boltzmann-statistik , Fermi-Dirac-statistik och Bose-Einstein-statistik .
• Ett fåtal stora system med interaktion har lösts. Genom att använda subtila matematiska tekniker har exakta lösningar hittats för några leksaksmodeller . Några exempel inkluderar Bethe ansatz , square-lattice Ising-modellen i nollfält, hård hexagonmodell .

Monte Carlo

Huvudartikel: Monte Carlo-metoden

Ett ungefärligt tillvägagångssätt som är särskilt väl lämpat för datorer är Monte Carlo-metoden , som undersöker bara några av de möjliga tillstånden i systemet, med tillstånden slumpmässigt valda (med en rimlig vikt). Så länge som dessa tillstånd utgör ett representativt urval av hela uppsättningen av tillstånd i systemet, erhålls den ungefärliga karakteristiska funktionen. I takt med att fler och fler slumpmässiga urval tas med, reduceras felen till en godtyckligt låg nivå.

• Metropolis –Hastings-algoritmen är en klassisk Monte Carlo-metod som ursprungligen användes för att prova den kanoniska ensemblen.
• Path integral Monte Carlo , används också för att prova den kanoniska ensemblen.

Övrig

• använder tillvägagångssätt som klusterexpansion störningsteori för att inkludera effekten av svaga interaktioner, vilket leder till en virial expansion .
• För täta vätskor är ett annat ungefärligt tillvägagångssätt baserat på reducerade fördelningsfunktioner, i synnerhet den radiella fördelningsfunktionen .
• Molekylär dynamik datorsimuleringar kan användas för att beräkna mikrokanoniska ensemblemedelvärden i ergotiska system. Med inkluderandet av en anslutning till ett stokastiskt värmebad kan de också modellera kanoniska och stora kanoniska förhållanden.
• Blandade metoder som involverar statistiska mekaniska resultat utan jämvikt (se nedan) kan vara användbara.

Icke-jämviktsstatistisk mekanik

Se även: Termodynamik i icke-jämvikt

Många fysikaliska fenomen involverar kvasi-termodynamiska processer utanför jämvikt, till exempel:

• värmetransport av inre rörelser i ett material , driven av en temperaturobalans,
• elektriska strömmar som bärs av rörelser av laddningar i en ledare, drivna av en spänningsobalans,
• spontana kemiska reaktioner drivna av en minskning av fri energi,
• friktion , förlust , kvantdekoherens ,
• system som pumpas av yttre krafter ( optisk pumpning , etc.),
• och irreversibla processer i allmänhet.

Alla dessa processer sker över tiden med karakteristiska hastigheter. Dessa priser är viktiga inom teknik. Området för icke-jämviktsstatistisk mekanik handlar om att förstå dessa icke-jämviktsprocesser på mikroskopisk nivå. (Statistisk termodynamik kan endast användas för att beräkna det slutliga resultatet, efter att de yttre obalanserna har tagits bort och ensemblen har slagit sig tillbaka till jämvikt.)

I princip kan icke-jämviktsstatistisk mekanik vara matematiskt exakt: ensembler för ett isolerat system utvecklas över tiden enligt deterministiska ekvationer som Liouvilles ekvation eller dess kvantekvivalent, von Neumann-ekvationen . Dessa ekvationer är resultatet av att tillämpa de mekaniska rörelseekvationerna oberoende på varje tillstånd i ensemblen. Tyvärr ärver dessa ensembleevolutionsekvationer mycket av komplexiteten i den underliggande mekaniska rörelsen, och därför är exakta lösningar mycket svåra att få fram. Dessutom är ensemblens evolutionsekvationer helt reversibla och förstör inte information (ensemblens Gibbs-entropi är bevarad). För att göra framsteg i modellering av irreversibla processer är det nödvändigt att överväga ytterligare faktorer förutom sannolikhet och reversibel mekanik.

Icke-jämviktsmekanik är därför ett aktivt område av teoretisk forskning eftersom giltighetsintervallet för dessa ytterligare antaganden fortsätter att utforskas. Några tillvägagångssätt beskrivs i följande underavsnitt.

Stokastiska metoder

Ett tillvägagångssätt för statistisk mekanik utan jämvikt är att införliva stokastiskt (slumpmässigt) beteende i systemet. Stokastiskt beteende förstör information som finns i ensemblen. Även om detta är tekniskt felaktigt (bortsett från hypotetiska situationer som involverar svarta hål , kan ett system i sig inte orsaka förlust av information), men slumpen läggs till för att återspegla att information av intresse omvandlas med tiden till subtila korrelationer inom systemet, eller till korrelationer mellan systemet och miljön. Dessa korrelationer uppträder som kaotiska eller pseudoslumpmässiga influenser på variablerna av intresse. Genom att ersätta dessa korrelationer med slumpmässighet kan beräkningarna göras mycket enklare.

• Boltzmann transportekvation : En tidig form av stokastisk mekanik dök upp redan innan termen "statistisk mekanik" hade myntats, i studier av kinetisk teori . James Clerk Maxwell hade visat att molekylära kollisioner skulle leda till till synes kaotiska rörelser inuti en gas. Ludwig Boltzmann visade därefter att, genom att ta detta molekylära kaos för givet som en fullständig randomisering, skulle partiklarnas rörelser i en gas följa en enkel Boltzmann-transportekvation som snabbt skulle återställa en gas till ett jämviktstillstånd (se H-satsen ) .

  Boltzmanns transportekvation och relaterade tillvägagångssätt är viktiga verktyg i statistisk mekanik som inte är jämvikt på grund av sin extrema enkelhet. Dessa approximationer fungerar bra i system där den "intressanta" informationen omedelbart (efter bara en kollision) förvrängs till subtila korrelationer, vilket i huvudsak begränsar dem till förtärda gaser. Boltzmann-transportekvationen har visat sig vara mycket användbar i simuleringar av elektrontransport i lätt dopade halvledare (i transistorer ), där elektronerna verkligen är analoga med en förtärnad gas.

  En kvantteknik relaterad till tema är slumpmässig fasapproximation .
• BBGKY-hierarki : I vätskor och täta gaser är det inte giltigt att omedelbart kassera korrelationerna mellan partiklar efter en kollision. BBGKY -hierarkin (Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon-hierarkin) ger en metod för att härleda ekvationer av Boltzmann-typ men också för att förlänga dem bortom fallet med utspädd gas, för att inkludera korrelationer efter några kollisioner.
• Keldysh-formalism (alias NEGF—icke-jämviktsgröna funktioner): En kvantansats för att inkludera stokastisk dynamik finns i Keldysh-formalismen. Detta tillvägagångssätt används ofta i elektroniska kvanttransportberäkningar.
• Stokastiska Liouville-ekvationen .

Nära-jämviktsmetoder

En annan viktig klass av icke-jämviktsstatistiska mekaniska modeller handlar om system som endast är mycket obetydligt störda från jämvikt. Med mycket små störningar kan responsen analyseras i linjär responsteori . Ett anmärkningsvärt resultat, som formaliserats av fluktuations-förlustsatsen , är att svaret från ett system när det är nära jämvikt är exakt relaterat till de fluktuationer som uppstår när systemet är i total jämvikt. I huvudsak slappnar ett system som är något borta från jämvikt – vare sig det är placerat där av yttre krafter eller av fluktuationer – mot jämvikt på samma sätt, eftersom systemet inte kan se skillnad eller "vet" hur det kom att vara borta från jämvikt.

Detta ger en indirekt väg för att erhålla siffror som ohmsk konduktivitet och termisk konduktivitet genom att extrahera resultat från statistisk jämviktsmekanik. Eftersom statistisk jämviktsmekanik är matematiskt väldefinierad och (i vissa fall) mer lättillgänglig för beräkningar, kan fluktuations-förledningskopplingen vara en bekväm genväg för beräkningar i statistisk mekanik nära jämvikt.

Några av de teoretiska verktyg som används för att skapa denna koppling inkluderar:

• Fluktuation–förlustsats
• Onsager ömsesidiga relationer
• Grön-Kubo relationer
• Landauer–Büttiker formalism
• Mori-Zwanzigs formalism

Hybridmetoder

En avancerad metod använder en kombination av stokastiska metoder och linjär responsteori. Som ett exempel, ett tillvägagångssätt för att beräkna kvantkoherenseffekter ( svag lokalisering , konduktansfluktuationer ) i konduktansen i ett elektroniskt system är användningen av Green-Kubo-relationerna, med inkluderandet av stokastisk defasning genom interaktioner mellan olika elektroner med hjälp av Keldysh-metoden.

Tillämpningar utanför termodynamiken

Ensemblen formalism kan också användas för att analysera generella mekaniska system med osäkerhet i kunskap om ett systems tillstånd. Ensembler används också i:

• spridning av osäkerhet över tid,
• regressionsanalys av gravitationsbanor ,
• ensembleprognos av väder,
• dynamik i neurala nätverk ,
• avgränsade rationella potentiella spel i spelteori och ekonomi.

Analytiska och beräkningstekniker härledda från statistisk fysik av störda system, kan utvidgas till storskaliga problem, inklusive maskininlärning, t.ex. för att analysera viktutrymmet hos djupa neurala nätverk . Statistisk fysik finner alltså tillämpningar inom området medicinsk diagnostik .

Historia

publicerade den schweiziska fysikern och matematikern Daniel Bernoulli Hydrodynamica som lade grunden för den kinetiska teorin om gaser . I detta arbete framförde Bernoulli argumentet, som fortfarande används än idag, att gaser består av ett stort antal molekyler som rör sig i alla riktningar, att deras påverkan på en yta orsakar det gastryck som vi känner och att det vi upplever som värme är helt enkelt den kinetiska energin i deras rörelse.

År 1859, efter att ha läst en artikel om diffusion av molekyler av Rudolf Clausius , formulerade den skotske fysikern James Clerk Maxwell Maxwell-fördelningen av molekylära hastigheter, vilket gav andelen molekyler med en viss hastighet inom ett specifikt område. Detta var den första statistiska lagen någonsin i fysiken. Maxwell gav också det första mekaniska argumentet att molekylära kollisioner innebär en utjämning av temperaturer och därmed en tendens till jämvikt. Fem år senare, 1864, Ludwig Boltzmann , en ung student i Wien, över Maxwells tidning och ägnade mycket av sitt liv åt att utveckla ämnet ytterligare.

Statistisk mekanik inleddes på 1870-talet med Boltzmanns arbete, varav mycket publicerades kollektivt i hans 1896 föreläsningar om gasteori . Boltzmanns originalartiklar om statistisk tolkning av termodynamik, H-satsen , transportteorin , termisk jämvikt , ekvationen för gasernas tillstånd och liknande ämnen, upptar cirka 2 000 sidor i Wienakademins och andra samhällens arbete. Boltzmann introducerade begreppet en statistisk jämviktsensemble och undersökte också för första gången statistisk mekanik för icke-jämvikt, med sin H -sats .

Termen "statistisk mekanik" myntades av den amerikanske matematiska fysikern J. Willard Gibbs 1884. "Probabilistisk mekanik" kan idag tyckas vara en mer passande term, men "statistisk mekanik" är fast förankrad. Kort före sin död publicerade Gibbs 1902 Elementary Principles in Statistical Mechanics, en bok som formaliserade statistisk mekanik som ett helt allmänt tillvägagångssätt för att ta itu med alla mekaniska system - makroskopiska eller mikroskopiska, gasformiga eller icke-gasformiga. Gibbs metoder härleddes ursprungligen från ramverket klassisk mekanik , men de var av sådan allmänhet att de befanns anpassa sig lätt till den senare kvantmekaniken och fortfarande utgör grunden för statistisk mekanik till denna dag.

Se även

• Termodynamik : icke-jämvikt , kemisk
• Mekanik : klassisk , kvant
• Sannolikhet , statistisk ensemble
• Numeriska metoder: Monte Carlo-metoden , molekylär dynamik
• Statistisk fysik
• Kvantstatistisk mekanik
• Lista över anmärkningsvärda läroböcker i statistisk mekanik
• Lista över viktiga publikationer inom statistisk mekanik
• Laplace transformation

externa länkar

• Philosophy of Statistical Mechanics artikel av Lawrence Sklar för Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Sklogwiki - Termodynamik, statistisk mekanik och datorsimulering av material. SklogWiki är särskilt inriktat på vätskor och mjukt kondenserat material.
• Termodynamik och statistisk mekanik av Richard Fitzpatrick
• Föreläsningsanteckningar i statistisk mekanik och mesoskopik av Doron Cohen
• på YouTube undervisad av Leonard Susskind .
• Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics), 2008. denna wikisida är nere; se denna artikel i webbarkivet 2012 28 april .