Kinematik

"Kinematic" omdirigerar här. För det australiska bandet, se Kinematic (band) .

Kinematik är ett underområde av fysiken , utvecklat inom klassisk mekanik , som beskriver rörelsen av punkter, kroppar (objekt) och system av kroppar (grupper av objekt) utan att beakta krafterna som får dem att röra sig. Kinematik, som ett studieområde, kallas ofta för "rörelsegeometrin" och ses ibland som en gren av matematiken . Ett kinematikproblem börjar med att beskriva systemets geometri och deklarera de initiala förhållandena för alla kända värden på position, hastighet och/eller acceleration av punkter inom systemet. Sedan, med hjälp av argument från geometri, kan positionen, hastigheten och accelerationen för alla okända delar av systemet bestämmas. Studiet av hur krafter verkar på kroppar faller inom kinetiken , inte kinematiken. För ytterligare detaljer, se analytisk dynamik .

Kinematik används inom astrofysik för att beskriva himlakroppars rörelse och samlingar av sådana kroppar. Inom maskinteknik , robotik och biomekanik används kinematik för att beskriva rörelsen av system som består av sammanfogade delar (multi-link system) som en motor , en robotarm eller det mänskliga skelettet .

Geometriska transformationer, även kallade stela transformationer , används för att beskriva rörelsen av komponenter i ett mekaniskt system , vilket förenklar härledningen av rörelseekvationerna. De är också centrala för dynamisk analys .

Kinematisk analys är processen för att mäta de kinematiska storheter som används för att beskriva rörelse. Inom ingenjörskonst, till exempel, kan kinematisk analys användas för att hitta rörelseomfånget för en given mekanism och, arbeta omvänt, använda kinematisk syntes för att designa en mekanism för ett önskat rörelseomfång. Dessutom tillämpar kinematik algebraisk geometri för att studera de mekaniska fördelarna med ett mekaniskt system eller mekanism.

Etymologi av termen

Termen kinematic är den engelska versionen av AM Ampères cinématique , som han konstruerade från grekiskan κίνημα kinema ("rörelse, rörelse"), självt härlett från κινεῖν kinein ("att röra sig").

Kinematic och cinématique är besläktade med det franska ordet cinéma, men ingetdera är direkt härlett från det. De har dock ett grundord gemensamt, eftersom film kom från den förkortade formen av cinématographe, "filmprojektor och kamera", återigen från det grekiska ordet för rörelse och från det grekiska γρᾰ́φω grapho ("att skriva " ) .

Kinematik för en partikelbana i en icke-roterande referensram

Kinematiska storheter av en klassisk partikel: massa m , position r , hastighet v , acceleration a .

Positionsvektor r , pekar alltid radiellt från origo.

Hastighetsvektor v , alltid tangent till rörelsebanan.

Accelerationsvektor a , inte parallell med den radiella rörelsen utan förskjuten av vinkel- och Coriolisaccelerationerna, inte heller tangent till banan utan förskjuten av centripetal- och radiella accelerationerna.

Kinematiska vektorer i plana polära koordinater. Lägg märke till att installationen inte är begränsad till 2-d rymd, utan ett plan i någon högre dimension.

Partikelkinematik är studiet av partiklars bana. Positionen för en partikel definieras som koordinatvektorn från ursprunget för en koordinatram till partikeln. Tänk till exempel på ett torn 50 m söder om ditt hem, där koordinatramen är centrerad i ditt hem, så att öst är i riktning mot x -axeln och norr är i riktning mot y -axeln, sedan koordinaten vektorn till basen av tornet är r = (0 m, −50 m, 0 m). Om tornet är 50 m högt, och denna höjd mäts längs z -axeln, är koordinatvektorn till toppen av tornet r = (0 m, −50 m, 50 m).

I det mest allmänna fallet används ett tredimensionellt koordinatsystem för att definiera positionen för en partikel. Men om partikeln är tvungen att röra sig inom ett plan räcker det med ett tvådimensionellt koordinatsystem. Alla observationer inom fysik är ofullständiga utan att beskrivas med avseende på en referensram.

Positionsvektorn för en partikel är en vektor ritad från referensramens ursprung till partikeln. Det uttrycker både punktens avstånd från origo och dess riktning från origo. I tre dimensioner kan positionsvektorn ${\bf {r}}$ uttryckas som

$$\mathbf {r} =(x,y,z)=x{\hat {\mathbf {i} } }+y{\hat {\mathbf {j} }}+z{\hat {\mathbf {k} }},$$

där $x$ , $y$ och $z$ är de kartesiska koordinaterna och ${\hat {\mathbf {i} }}$ , ${\hat {\mathbf {j} }}$ och ${\hat {\mathbf {k} }}$ är enhetsvektorerna längs $x$ , $y$ , och $z$ koordinataxlar, respektive. Storleken på positionsvektorn $\left|\mathbf {r} \right|$ ger avståndet mellan punkten $\mathbf {r}$ och origo.

$$|\mathbf {r} |={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$$

Riktningscosinuserna för positionsvektorn ger ett kvantitativt mått på riktningen . I allmänhet kommer ett objekts positionsvektor att bero på referensramen; olika ramar kommer att leda till olika värden för positionsvektorn.

En partikels bana är en vektorfunktion av tiden, ${\displaystyle \mathbf {r} (t)} ,$ som definierar kurvan som spåras av den rörliga partikeln, given av

$$\mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\mathbf {i } }}+y(t){\hat {\mathbf {j} }}+z(t){\hat {\mathbf {k} }},$$

där $x(t)$ , $y(t)$ och $z(t)$ beskriver varje koordinat för partikelns position som en funktion av tid.

Tillryggalagd sträcka är alltid större än eller lika med förskjutningen.

Hastighet och hastighet

hastighet är en vektorkvantitet som beskriver partikelns riktning såväl som storleken på rörelsen . Mer matematiskt är förändringshastigheten för en punkts positionsvektor i förhållande till tiden punktens hastighet. Betrakta förhållandet som bildas genom att dividera skillnaden mellan två positioner av en partikel med tidsintervallet. Detta förhållande kallas medelhastigheten över det tidsintervallet och definieras som

$$\mathbf {v} _{\rm {avg}}={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}\ ,$$

där $\Delta \mathbf {r}$ är förändringen i positionsvektorn under tidsintervallet $\Delta t$ . I gränsen som tidsintervallet $\Delta t$ närmar sig noll, närmar sig medelhastigheten den momentana hastigheten, definierad som tidsderivatan av positionsvektorn,

$$\mathbf {v} =\lim _{\Delta t \to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }} ={\dot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\dot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\dot {z}}{\hat { \mathbf {k} }},$$

där punkten anger en derivata med avseende på tid (t.ex. ${\displaystyle {\dot {x}}=dx/dt} )$ . Således är en partikels hastighet tidshastigheten för förändring av dess position. Dessutom är denna hastighet tangent till partikelns bana vid varje position längs dess väg. Observera att i en icke-roterande referensram betraktas inte derivatorna av koordinatriktningarna eftersom deras riktningar och storlek är konstanter.

hastighet är storleken på dess hastighet . Det är en skalär mängd:

$$v=|\mathbf {v} |={\frac {ds}{dt}},$$

där $s$ är båglängden uppmätt längs partikelns bana. Denna båglängd måste alltid öka när partikeln rör sig. Därför $ds/dt$ icke-negativ, vilket innebär att hastigheten också är icke-negativ.

Acceleration

Hastighetsvektorn kan ändras i storlek och riktning eller båda samtidigt. Således står accelerationen för både förändringshastigheten för storleken på hastighetsvektorn och hastigheten för riktningsändringen för den vektorn. Samma resonemang som används med avseende på positionen för en partikel för att definiera hastighet, kan appliceras på hastigheten för att definiera acceleration. acceleration är den vektor som definieras av hastighetsvektorns förändringshastighet . Medelaccelerationen för en partikel över ett tidsintervall definieras som förhållandet.

$${\overline {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}\ ,$$

där Δ v är skillnaden i hastighetsvektorn och Δ t är tidsintervallet.

Partikelns acceleration är gränsen för medelaccelerationen när tidsintervallet närmar sig noll, vilket är tidsderivatan,

$$\mathbf {a} =\lim _{\ Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\dot {\mathbf {v} }}={\dot {v}}_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+{\dot {v}}_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+{ \dot {v}}_{z}{\hat {\mathbf {k} }}$$

eller

$$\mathbf {a} ={\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\ddot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\ddot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}$$

Således är acceleration den första derivatan av hastighetsvektorn och den andra derivatan av positionsvektorn för den partikeln. Observera att i en icke-roterande referensram betraktas inte derivatorna av koordinatriktningarna eftersom deras riktningar och storlek är konstanter.

Storleken på ett föremåls acceleration är storleken | en | av dess accelerationsvektor. Det är en skalär mängd:

$$|\mathbf {a} |=|{\dot {\mathbf {v} }}|={\frac {dv}{dt}}.$$

Relativ position vektor

En relativ positionsvektor är en vektor som definierar positionen för en punkt relativt en annan. Det är skillnaden i position för de två punkterna. Positionen för en punkt A i förhållande till en annan punkt B är helt enkelt skillnaden mellan deras positioner

$\mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}$

vilket är skillnaden mellan komponenterna i deras positionsvektorer.

Om punkt A har positionskomponenter $\mathbf {r} _{A}=\left(x_{A},y_{A},z_{A}\ höger)$

Om punkt B har positionskomponenter $\mathbf {r} _{B}=\left(x_{B},y_{B},z_{B}\ höger)$

då är positionen för punkt A relativt punkt B skillnaden mellan deras komponenter: $\mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}=\left(x_{A}-x_{B},y_{A}- y_{B},z_{A}-z_{B}\right)$

Relativ hastighet

Huvudartikel: Relativ hastighet

Relativa hastigheter mellan två partiklar i klassisk mekanik.

Hastigheten för en punkt i förhållande till en annan är helt enkelt skillnaden mellan deras hastigheter

$$\mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}$$

vilket är skillnaden mellan komponenterna i deras hastigheter.

Om punkt A har hastighetskomponenter $\mathbf {v} _{A}=\left(v_{A_{x}},v_{A_{ y}},v_{A_{z}}\right)$ och punkt B har hastighetskomponenter ${\displaystyle \mathbf {v} _{B}= \left(v_{B_{x}},v_{B_{y}},v_{B_{z}}\right)} så är hastigheten för punkt A$ relativt punkt B skillnaden mellan deras komponenter: $\mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}=\left(v_{A_{x}}-v_{B_{x}},v_{A_{y}}-v_{B_{y }},v_{A_{z}}-v_{B_{z}}\right)$

Alternativt skulle samma resultat kunna erhållas genom att beräkna tidsderivatan för den relativa positionsvektorn rB _/A .

I fallet där hastigheten är nära ljusets hastighet c (vanligtvis inom 95%) , används ett annat schema för relativ hastighet som kallas snabbhet , som beror på förhållandet v till c , i speciell relativitet .

Relativ acceleration

Accelerationen av en punkt C i förhållande till en annan punkt B är helt enkelt skillnaden mellan deras accelerationer.

$$\mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}$$

vilket är skillnaden mellan komponenterna i deras accelerationer.

Om punkt C har accelerationskomponenter $\mathbf {a} _{C}=\left(a_{C_{x}},a_{C_{ y}},a_{C_{z}}\right)$ och punkt B har accelerationskomponenter ${\displaystyle \mathbf {a} _{B}= \left(a_{B_{x}},a_{B_{y}},a_{B_{z}}\right)} då är accelerationen av punkt$ C relativt punkt B skillnaden mellan deras komponenter: $\mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}=\left(a_{C_{x}}-a_{B_{x}},a_{C_{y}}-a_{B_{y }},a_{C_{z}}-a_{B_{z}}\right)$

Alternativt skulle samma resultat kunna erhållas genom att beräkna den andra tidsderivatan av den relativa positionsvektorn rB _/A .

Om vi ​​antar att startvillkoren för positionen, $\mathbf {r} _{0}$ och hastighet $\mathbf {v} _{0}$ vid tidpunkten $t=0$ är kända, ger den första integrationen partikelns hastighet som en funktion av tiden.

$$\mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {a} \,d\tau =\mathbf {v} _{ 0}+\mathbf {a} t.$$

En andra integration ger sin väg (bana),

$$\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {v} (\tau )\,d\tau =\mathbf { r} _{0}+\int _{0}^{t}\left(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} \tau \right)d\tau =\mathbf {r} _ {0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}.$$

Ytterligare samband mellan förskjutning, hastighet, acceleration och tid kan härledas. Eftersom accelerationen är konstant,

$$\mathbf {a} ={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {v} -\ mathbf {v} _{0}}{t}}$$

kan ersättas i ovanstående ekvation för att ge:

$$\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+\left({\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\ höger)t.$$

Ett samband mellan hastighet, position och acceleration utan explicit tidsberoende kan fås genom att lösa medelaccelerationen för tid och ersätta och förenkla

$$t={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{\mathbf {a} }}$$

$$\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}\right)\cdot {\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\ ,$$

där $\cdot$ betecknar punktprodukten , vilket är lämpligt eftersom produkterna är skalärer snarare än vektorer.

$$2\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v } _{0}|^{2}.$$

Prickprodukten kan ersättas med cosinus för vinkeln α mellan vektorerna (se Geometrisk tolkning av prickprodukten för mer detaljer) och vektorerna efter deras storlek, i vilket fall:

$$2\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha =|\mathbf {v} |^{ 2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.$$

I fallet med acceleration alltid i rörelseriktningen och rörelseriktningen ska vara i positiv eller negativ, vinkeln mellan vektorerna ( α ) är 0, så $\cos 0=1$ , och

$$|\mathbf {v} |^{2}=|\mathbf {v} _{0}|^{2}+2\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {r } -\mathbf {r} _{0}\right|.$$

Detta kan förenklas med hjälp av notationen för storleken på vektorerna $|\mathbf {a} |=a,|\mathbf {v} |=v,|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|=\Delta r$ där $\Delta r$ kan vara vilken kurva som helst när den konstanta tangentiella accelerationen appliceras längs den banan [ , så

$$v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta r.$$

Detta reducerar de parametriska rörelseekvationerna för partikeln till ett kartesiskt förhållande mellan hastighet och position. Denna relation är användbar när tiden är okänd. Vi vet också att ${\textstyle \Delta r=\int v\,dt}$ eller $\Delta r$ är arean under en hastighet-tid-graf.

Hastighet Tid fysik graf

Vi kan ta $\Delta r$ genom att lägga till det övre området och det nedre området. Det nedre området är en rektangel, och arean av en rektangel är $A\cdot B$ där $A$ är bredden och $B$ är höjden. I det här fallet $A=t$ och $B=v_{0}$ (observera att $A$ här skiljer sig från accelerationen $a$ ) . Det betyder att det nedre området är $tv_{0}$ . Låt oss nu hitta det övre området (en triangel). Arean av en triangel är ${\textstyle {\frac {1}{2}}BH}$ där $B$ är basen och $H$ är höjden. I det här fallet är $B=t$ och $H=at$ eller ${\textstyle A={\frac {1}{2}}BH={\frac {1}{2}}att={\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {at ^{2}}{2}}}$ . Att lägga till $v_{0}t$ och ${\textstyle {\frac {at^{2}}{2}}}$ resulterar i ekvationen $\Delta r$ resulterar i ekvationen ${\textstyle \Delta r=v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}}$ . Denna ekvation är tillämplig när sluthastigheten v är okänd.

Figur 2: Hastighet och acceleration för olikformig cirkulär rörelse: hastighetsvektorn är tangentiell till omloppsbanan, men accelerationsvektorn är inte radiellt inåt på grund av sin tangentiella komponent a θ som ökar _{rotationshastigheten} : d ω /d t = | a _θ |/ R .

Partikelbanor i cylindrisk-polära koordinater

Se även: Generaliserade koordinater , Krökta koordinater , Ortogonala koordinater och Frenet-Serret-formler

Det är ofta bekvämt att formulera banan för en partikel r ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) med hjälp av polära koordinater i X - Y - planet. I det här fallet tar dess hastighet och acceleration en bekväm form.

Kom ihåg att banan för en partikel P definieras av dess koordinatvektor r mätt i en fast referensram F . När partikeln rör sig spårar dess koordinatvektor r ( t ) dess bana, som är en kurva i rymden, given av:

$$\mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\mathbf {i } }}+y(t){\hat {\mathbf {j} }}+z(t){\hat {\mathbf {k} }},$$

där i , j och k är enhetsvektorerna längs X- , Y- och Z -axlarna för referensramen F respektive.

Betrakta en partikel P som rör sig endast på ytan av en cirkulär cylinder r ( t ) = konstant, det är möjligt att rikta in Z -axeln för den fasta ramen F med cylinderns axel. Sedan kan vinkeln θ runt denna axel i X - Y -planet användas för att definiera banan som,

$$\mathbf {r} (t)=R\cos (\theta (t)){\hat {\mathbf {i} }}+R\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {j} }}+z(t){\hat {\ mathbf {k} }}$$

där det konstanta avståndet från centrum betecknas som R , och θ = θ ( t ) är en funktion av tiden.

De cylindriska koordinaterna för r ( t ) kan förenklas genom att introducera de radiella och tangentiella enhetsvektorerna,

$$\mathbf {e} _{r}=\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {i} }}+\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf { j} }},\quad \mathbf {e} _{\theta }=-\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {i}}}+\cos(\theta (t)){ \hat {\mathbf {j} }}.$$

och deras tidsderivator från elementär kalkyl:

$${\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{r}={\dot {\mathbf {e} }}_{ r}={\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }$$

$${\frac {d}{dt}}{\dot {\mathbf {e} }}_{r}={ \ddot {\mathbf {e} }}_{r}={\ddot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }-{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{r }$$

$${\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{\theta }={\dot {\mathbf {e} }} _{\theta }=-{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{r}$$

$${\frac {d}{dt}}{\dot {\mathbf {e} }}_{\theta }={\ddot {\mathbf {e} }}_{\theta }=-{\ ddot {\theta }}\mathbf {e} _{r}-{\dot {\theta }}^{2}\mathbf {e} _{\theta }.$$

Med denna notation tar r ( t ) formen,

$$\mathbf {r} (t)=R\mathbf {e} _{r}+z(t){\hat {\mathbf {k} }}.$$

I allmänhet är banan r ( t ) inte begränsad till att ligga på en cirkulär cylinder, så radien R varierar med tiden och partikelns bana i cylindriskt-polära koordinater blir:

$$\mathbf {r} (t)=R(t)\mathbf {e} _{r}+z(t){\hat {\mathbf {k} }}.$$

Där R , θ och z kan vara kontinuerligt differentierbara funktioner av tid och funktionsbeteckningen tas bort för enkelhetens skull. Hastighetsvektorn v _P är tidsderivatan av banan r ( t ), vilket ger:

$$\mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}}\left(R\mathbf {e} _{r}+z{\hat {\mathbf {k} }}\ höger)={\dot {R}}\mathbf {e} _{r}+R{\dot {\mathbf {e} }}_{r}+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}={\dot {R}}\mathbf {e} _{r}+R{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\dot {z}} {\hat {\mathbf {k} }}.$$

På liknande sätt ges accelerationen a _P , som är tidsderivatan av hastigheten v _P , av:

$$\mathbf {a} _{P}={\frac {d}{dt}}\left({\dot {R}}\mathbf {e} _{r}+R{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}\right)=\left({\ddot {R}}-R{\dot {\theta }}^{2}\right)\mathbf {e} _{r}+\left(R{\ddot {\theta }}+2{\dot {R}}{\dot {\theta } }\right)\mathbf {e} _{\theta }+{\ddot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}.$$

Termen $-R{\dot {\theta }}^{2}\mathbf {e} _{r}$ verkar mot banans krökningscentrum vid den punkten på bana, kallas vanligen centripetalaccelerationen. Termen $2{\dot {R}}{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }$ kallas Coriolisaccelerationen.

Konstant radie

Om partikelns bana är begränsad till att ligga på en cylinder, är radien R konstant och hastighets- och accelerationsvektorerna förenklas. Hastigheten för v _P är tidsderivatan av banan r ( t ),

$$\mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}}\left(R\mathbf {e} _{r}+z{\hat {\mathbf {k} }}\ höger)=R{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}.$$

Plana cirkulära banor

Varje partikel på hjulet färdas i en plan cirkulär bana (Kinematics of Machinery, 1876).

Ett specialfall av en partikelbana på en cirkulär cylinder uppstår när det inte finns någon rörelse längs Z -axeln:

$$\mathbf {r} (t)=R\mathbf {e} _{r}+z_{0}{\hat {\mathbf {k} } },$$

₀ där R och z är konstanter. I detta fall ges hastigheten v _{P av:}

$$\mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}} \left(R\mathbf {e} _{r}+z_{0}{\hat {\mathbf {k}}}\right)=R{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\ theta }=R\omega \mathbf {e} _{\theta },$$

där $\omega ={\dot {\theta }}$ är vinkelhastigheten för enhetsvektorn e _θ runt cylinderns z -axel.

Accelerationen a _P för partikeln P ges nu av:

$$\mathbf {a} _{P}={\frac {d}{dt}}\left(R{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }\right)=- R{\dot {\theta }}^{2}\mathbf {e} _{r}+R{\ddot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }.$$

Komponenterna

$$a_{r}=-R{\dot {\theta }}^{2},\quad a_{\theta }=R{\ ddot {\theta }},$$

kallas de radiella respektive tangentiella komponenterna för acceleration.

Notationen för vinkelhastighet och vinkelacceleration definieras ofta som

$$\omega ={\dot {\theta }},\quad \alpha ={\ddot {\theta }},$$

så de radiella och tangentiella accelerationskomponenterna för cirkulära banor skrivs också som

$$a_{r}=-R\omega ^{2},\quad a_{\theta }=R\alpha .$$

Punktbanor i en kropp som rör sig i planet

Rörelsen av komponenter i ett mekaniskt system analyseras genom att fästa en referensram på varje del och bestämma hur de olika referensramarna rör sig i förhållande till varandra. Om delarnas strukturella styvhet är tillräcklig, kan deras deformation försummas och stela transformationer kan användas för att definiera denna relativa rörelse. Detta reducerar beskrivningen av rörelsen hos de olika delarna av ett komplicerat mekaniskt system till ett problem att beskriva geometrin för varje del och geometrisk association av varje del i förhållande till andra delar.

Geometri är studiet av egenskaperna hos figurer som förblir desamma medan rymden transformeras på olika sätt - mer tekniskt är det studiet av invarianter under en uppsättning transformationer. Dessa transformationer kan orsaka förskjutning av triangeln i planet, samtidigt som vertexvinkeln och avstånden mellan hörn lämnas oförändrade. Kinematik beskrivs ofta som tillämpad geometri, där rörelsen av ett mekaniskt system beskrivs med hjälp av styva transformationer av euklidisk geometri.

Koordinaterna för punkter i ett plan är tvådimensionella vektorer i R ² (tvådimensionellt rymd). Stela transformationer är de som bevarar avståndet mellan två punkter. Uppsättningen av stela transformationer i ett n -dimensionellt utrymme kallas den speciella euklidiska gruppen på R ⁿ , och betecknas SE( n ) .

Förskjutningar och rörelse

Rörelsen för var och en av komponenterna i Boulton & Watt Steam Engine (1784) modelleras av en kontinuerlig uppsättning stela förskjutningar.

Positionen för en komponent i ett mekaniskt system i förhållande till en annan definieras genom att införa en referensram, säg M , på en som rör sig i förhållande till en fast ram, F, på den andra. Den stela transformationen, eller förskjutningen, av M relativt F definierar den relativa positionen för de två komponenterna. En förskjutning består av kombinationen av en rotation och en translation .

Mängden av alla förskjutningar av M relativt F kallas konfigurationsutrymmet för M. En jämn kurva från en position till en annan i detta konfigurationsutrymme är en kontinuerlig uppsättning förskjutningar, kallad rörelsen av M relativt F. Rörelsen av en kroppen består av en kontinuerlig uppsättning rotationer och translationer.

Matrisrepresentation

Kombinationen av en rotation och translation i planet R ² kan representeras av en viss typ av 3×3-matris känd som en homogen transformation. Den 3×3 homogena transformationen är konstruerad från en 2×2 rotationsmatris A ( φ ) och 2×1 translationsvektorn d = ( d _x , d _y ), som:

$$[T(\phi ,\mathbf {d} )]={\begin{bmatrix}A(\phi )&\mathbf {d} \\\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}.$$

Dessa homogena transformer utför stela transformationer på punkterna i planet z = 1, det vill säga på punkter med koordinaterna r = ( x , y , 1).

I synnerhet, låt r definiera koordinaterna för punkter i en referensram M som sammanfaller med en fast ram F . Sedan, när origo för M förskjuts av translationsvektorn d i förhållande till origo för F och roteras med vinkeln φ i förhållande till x-axeln för F , ges de nya koordinaterna i F för punkter i M av:

$$\mathbf {P} =[T(\phi ,\mathbf {d} )]\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\ \sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.$$

Homogena transformer representerar affina transformationer . Denna formulering är nödvändig eftersom en translation inte är en ^linjär transformation av R2 . Med användning av projektiv geometri ^, så att R2 betraktas som en delmängd av R3 , blir translationer emellertid affina linjära transformationer ^.

Ren översättning

Om en stel kropp rör sig så att dess referensram M inte roterar ( θ = 0) i förhållande till den fasta ramen F , kallas rörelsen ren translation. I det här fallet är banan för varje punkt i kroppen en förskjutning av banan d ( t ) för ursprunget till M, det vill säga:

$$\mathbf {r} (t)=[T(0,\mathbf {d} (t))]\mathbf {p} =\mathbf {d} (t)+\mathbf {p} .$$

ges hastigheten och accelerationen för varje punkt P i kroppen av:

$$\mathbf {v} _{P}={ \dot {\mathbf {r} }}(t)={\dot {\mathbf {d} }}(t)=\mathbf {v} _{O},\quad \mathbf {a} _{P} ={\ddot {\mathbf {r} }}(t)={\ddot {\mathbf {d} }}(t)=\mathbf {a} _{O},$$

där punkten anger derivatan med avseende på tid och v _O och a _O är hastigheten respektive accelerationen för ursprunget för den rörliga ramen M . Kom ihåg att koordinatvektorn p i M är konstant, så dess derivata är noll.

Rotation av en kropp runt en fast axel

Huvudartikel: Rotation runt en fast axel

Figur 1: Vinkelhastighetsvektorn Ω pekar uppåt för moturs rotation och nedåt för medurs rotation, enligt högerregeln . Vinkelpositionen θ ( t ) ändras med tiden med en hastighet ω ( t ) = d θ /d t .

Rotations- eller vinkelkinematik är beskrivningen av ett föremåls rotation. I det följande begränsas uppmärksamheten till enkel rotation kring en axel med fast orientering. Z - axeln har valts för enkelhetens skull.

Placera

Detta tillåter beskrivningen av en rotation som vinkelpositionen för en plan referensram M relativt ett fixerat F kring denna delade z -axel. Koordinaterna p = ( x , y ) i M är relaterade till koordinaterna P = (X, Y) i F genom matrisekvationen:

$$\mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} ,$$

var

$$[A(t ) )]={\begin{bmatrix}\cos(\theta (t))&-\sin(\theta (t))\\\sin(\theta (t))&\cos(\theta (t)) \end{bmatrix}},$$

är rotationsmatrisen som definierar vinkelpositionen för M relativt F som en funktion av tiden.

Hastighet

Om punkten p inte rör sig i M , ges dess hastighet i F av

$$\mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {A}}(t)]\mathbf {p} .$$

Det är bekvämt att eliminera koordinaterna p och skriva detta som en operation på banan P ( t ),

$$\mathbf {v} _{P}=[{\dot {A}}(t)] [A(t)^{-1}]\mathbf {P} =[\Omega ]\mathbf {P} ,$$

var matrisen

$$[\Omega ]={\begin{bmatrix}0&-\omega \\\omega &0\end{bmatrix}},$$

är känd som vinkelhastighetsmatrisen för M relativt F . Parametern ω är tidsderivatan av vinkeln θ , det vill säga:

$$\omega ={\frac {d\theta }{dt}}.$$

Acceleration

Accelerationen av P ( t ) i F erhålls som tidsderivatan av hastigheten,

$$\mathbf {A} _{P}={\ddot {P}}(t)=[{\dot { \Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ]{\dot {\mathbf {P} }},$$

som blir

$$\mathbf {A} _{P}=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ] [\Omega ]\mathbf {P} ,$$

var

$$[{\dot {\Omega }}]={\begin{bmatrix}0&-\alpha \\\alpha &0\end{bmatrix}},$$

är vinkelaccelerationsmatrisen för M på F , och

$$\alpha ={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}.$$

Beskrivningen av rotation involverar då dessa tre kvantiteter:

• Vinkelposition : det orienterade avståndet från ett valt ursprung på rotationsaxeln till en punkt på ett objekt är en vektor r ( t ) som lokaliserar punkten. Vektorn r ( t ) har någon projektion (eller, ekvivalent, någon komponent) r _⊥ ( t ) på ett plan vinkelrätt mot rotationsaxeln. Då vinkelpositionen för den punkten vinkeln θ från en referensaxel (typiskt den positiva x -axeln) till vektorn r _⊥ ( t ) i en känd rotationskänsla (typiskt givet av högerregeln ) .
• Vinkelhastighet : vinkelhastigheten ω är den hastighet med vilken vinkelpositionen θ ändras med avseende på tiden t :
  $$\omega ={\frac {d\theta }{dt}}$$
  Vinkelhastigheten representeras i figur 1 av en vektor Ω som pekar längs rotationsaxeln med magnituden ω och avkänningen bestäms av rotationsriktningen som ges av högerregeln .
• Vinkelacceleration : storleken på vinkelaccelerationen α är den hastighet med vilken vinkelhastigheten ω ändras med avseende på tiden t :
  $$\alpha ={\frac {d\omega }{dt}}$$

Ekvationerna för translationell kinematik kan enkelt utvidgas till plan rotationskinematik för konstant vinkelacceleration med enkla variabla utbyten:

$$\omega _{\mathrm {f} }=\omega _{\mathrm {i} }+\alpha t\!$$

$$\theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }=\omega _{\mathrm {i} } t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}$$

$$\theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }={\tfrac {1}{2} }(\omega _{\mathrm {f} }+\omega _{\mathrm {i} })t$$

$$\omega _{\mathrm {f} }^{2}=\omega _{\mathrm {i} }^{2}+2\alpha (\theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }).$$

Här är θi och θf de initiala respektive slutliga vinkelpositionerna, ωi _och ωf är respektive initiala och slutliga vinkelhastigheter, och α är den _{konstanta vinkelaccelerationen .} Även om position i rymden och hastighet i rymden båda är sanna vektorer (i termer av deras egenskaper under rotation), liksom vinkelhastighet, är vinkeln i sig inte en sann vektor.

Punktbanor i kroppen som rör sig i tre dimensioner

Viktiga formler inom kinematik definierar hastigheten och accelerationen av punkter i en rörlig kropp när de spårar banor i tredimensionellt rymd. Detta är särskilt viktigt för en kropps massacentrum, som används för att härleda rörelseekvationer med antingen Newtons andra lag eller Lagranges ekvationer .

Placera

För att definiera dessa formler definieras rörelsen av en komponent B i ett mekaniskt system av uppsättningen rotationer [A( t )] och translationer d ( t ) sammansatta till den homogena transformationen [T( t )]=[A ( t ), d ( t )]. Om p är koordinaterna för en punkt P i B uppmätt i den rörliga referensramen M , så ges banan för denna punkt som spåras i F av:

$$\mathbf {P} (t)=[T(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix }A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.$$

Denna notation skiljer inte mellan P = (X, Y, Z, 1) och P = (X, Y, Z), vilket förhoppningsvis är tydligt i sammanhanget.

Denna ekvation för banan för P kan inverteras för att beräkna koordinatvektorn p i M som:

$$\mathbf {p} =[T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)={\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}= {\begin{bmatrix}A(t)^{\text{T}}&-A(t)^{\text{T}}\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{ \begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}.$$

Detta uttryck använder det faktum att transponeringen av en rotationsmatris också är dess invers, det vill säga:

$$[A(t)]^{\text{T}}[A(t)]=I.\!$$

Hastighet

Hastigheten för punkten P längs dess bana P ( t ) erhålls som tidsderivatan av denna positionsvektor,

$$\mathbf {v} _{P}=[{\dot {T}}(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\ end{bmatrix}}=\left({\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}\right) {\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\mathbf {d} }}( t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.$$

Punkten anger derivatan med avseende på tid; eftersom p är konstant är dess derivata noll.

Denna formel kan modifieras för att erhålla hastigheten för P genom att arbeta på dess bana P ( t ) mätt i den fasta ramen F. Att ersätta den inversa transformationen med p i hastighetsekvationen ger:

$${\begin{aligned}\mathbf {v} _{P}&=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t )\\[4pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&\mathbf {d} \\0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\ mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\ 0&0\end{bmatrix}}A^{-1}{\begin{bmatrix}1&-\mathbf {d} \\0&A\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\ \1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{-1}&-{\dot {A}}A^{-1}\ mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\ [4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{\text{T}}&-{\dot {A}}A^{\text{T}}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[6pt]\ mathbf {v} _{P}&=[S]\mathbf {P} .\end{aligned}}$$

Matrisen [ S ] ges av:

$$[S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\ \0&0\end{bmatrix}}$$

var

$$[\Omega ]={\dot {A}}A^{\text{T}},$$

är vinkelhastighetsmatrisen.

Multiplicera med operatorn [ S ] har formeln för hastigheten v _P formen:

$$\mathbf {v} _{P}=[\Omega ](\mathbf {P} -\ mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }}=\omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {v} _{O},$$

där vektorn ω är den vinkelhastighetsvektor som erhålls från komponenterna i matrisen [Ω]; vektorn

$$\mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,$$

är positionen för P relativt origo O för den rörliga ramen M ; och

$$\mathbf {v} _{O}={\dot {\mathbf {d} }},$$

är hastigheten för ursprunget O .

Acceleration

Accelerationen av en punkt P i en rörlig kropp B erhålls som tidsderivatan av dess hastighetsvektor:

$$\mathbf {A} _{P}={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}}\left([S]\ mathbf {P} \right)=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S]{\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {S}}]\mathbf { P} +[S][S]\mathbf {P} .$$

Denna ekvation kan först utökas genom beräkning

$$[{\dot {S}}]={ \begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega {\dot {\mathbf {d}}}+{\ddot {\mathbf { d} }}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega \mathbf {v } _{O}+\mathbf {A} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}$$

och

$$[S]^{2}={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +\mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}^{2 }={\begin{bmatrix}\Omega ^{2}&-\Omega ^{2}\mathbf {d} +\Omega \mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}.$$

Formeln för accelerationen A _P kan nu erhållas som:

$$\mathbf {A} _{P}={\dot {\Omega }}(\mathbf {P} - \mathbf {d} )+\mathbf {A} _{O}+\Omega ^{2}(\mathbf {P} -\mathbf {d} ),$$

eller

$$\mathbf {A} _{P}=\alpha \times \mathbf {R} _{P/O} +\omega \times \omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {A} _{O},$$

där a är vinkelaccelerationsvektorn erhållen från derivatan av vinkelhastighetsmatrisen;

$$\mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,$$

är den relativa positionsvektorn (positionen för P i förhållande till origo O för den rörliga ramen M ); och

$$\mathbf {A} _{O}={\ddot {\mathbf {d} }}$$

är accelerationen av ursprunget för den rörliga ramen M .

Kinematiska begränsningar

Kinematiska begränsningar är begränsningar för rörelsen av komponenter i ett mekaniskt system. Kinematiska begränsningar kan anses ha två grundläggande former, (i) begränsningar som uppstår från gångjärn, glidare och kamleder som definierar systemets konstruktion, kallade holonomiska begränsningar , och (ii) begränsningar som läggs på systemets hastighet som t.ex. knivseggsbegränsningen av skridskor på ett plant plan, eller rullning utan att glida av en skiva eller sfär i kontakt med ett plan, som kallas icke-holonomiska begränsningar . Följande är några vanliga exempel.

Kinematisk koppling

En kinematisk koppling begränsar exakt alla 6 frihetsgraderna.

Rullar utan att glida

Ett föremål som rullar mot en yta utan att glida följer villkoret att dess masscentrums hastighet är lika med tvärprodukten av dess vinkelhastighet med en vektor från kontaktpunkten till masscentrum:

$${\boldsymbol {v}}_{G}(t)={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{G/O}.$$

För ett föremål som inte tippar eller vänder, reduceras detta till $v=r\omega$ .

Otöjbar sladd

Detta är fallet när kroppar är förbundna med en idealiserad sladd som förblir i spänning och inte kan ändra längd. Begränsningen är att summan av längderna för alla segment av sladden är den totala längden, och följaktligen är tidsderivatan av denna summa noll. Ett dynamiskt problem av denna typ är pendeln . Ett annat exempel är en trumma som vrids av tyngdkraften på en fallande vikt fäst vid fälgen med den outtöjbara linan. Ett jämviktsproblem (dvs inte kinematiskt) av denna typ är kontaktledningen .

Kinematiska par

Huvudartikel: Kinematiskt par

Reuleaux kallade de ideala kopplingarna mellan komponenter som bildar en maskin kinematiska par . Han skiljde mellan högre par som sades ha linjekontakt mellan de två länkarna och lägre par som har areakontakt mellan länkarna. J. Phillips visar att det finns många sätt att konstruera par som inte passar denna enkla klassificering.

Nedre par

Ett lägre par är en idealisk led, eller holonomisk begränsning, som upprätthåller kontakt mellan en punkt, linje eller plan i en rörlig solid (tredimensionell) kropp till en motsvarande punktlinje eller ett plan i den fasta solida kroppen. Det finns följande fall:

• Ett roterande par, eller gångjärnsled, kräver att en linje, eller axel, i den rörliga kroppen förblir linjär med en linje i den fasta kroppen, och ett plan vinkelrätt mot denna linje i den rörliga kroppen upprätthåller kontakt med ett liknande vinkelrät plan i den fasta kroppen. Detta sätter fem begränsningar på länkarnas relativa rörelse, som därför har en frihetsgrad, vilket är ren rotation kring gångjärnets axel.
• En prismatisk led, eller glidare, kräver att en linje, eller axel, i den rörliga kroppen förblir linjär med en linje i den fasta kroppen, och ett plan parallellt med denna linje i den rörliga kroppen upprätthåller kontakt med ett liknande parallellt plan i den fasta kroppen. Detta ålägger fem begränsningar för länkarnas relativa rörelse, som därför har en frihetsgrad. Denna frihetsgrad är rutschkanans avstånd längs linjen.
• En cylindrisk fog kräver att en linje, eller axel, i den rörliga kroppen förblir linjär med en linje i den fasta kroppen. Det är en kombination av en roterande led och en glidled. Denna led har två frihetsgrader. Den rörliga kroppens position definieras av både rotationen runt och glidningen längs axeln.
• En sfärisk led, eller kulled, kräver att en punkt i den rörliga kroppen håller kontakt med en punkt i den fasta kroppen. Denna led har tre frihetsgrader.
• En plan fog kräver att ett plan i den rörliga kroppen håller kontakt med ett plan i den fasta kroppen. Denna led har tre frihetsgrader.

Högre par

Generellt sett är ett högre par en begränsning som kräver en kurva eller yta i den rörliga kroppen för att upprätthålla kontakt med en kurva eller yta i den fasta kroppen. Till exempel är kontakten mellan en kam och dess följare ett högre par som kallas en kamled . På liknande sätt är kontakten mellan de evolventa kurvorna som bildar de ingripande tänderna på två kugghjul kamleder.

Kinematiska kedjor

Illustration av en fyrstavslänk från Kinematics of Machinery, 1876

Stela kroppar ("länkar") förbundna med kinematiska par ("fogar") är kända som kinematiska kedjor . Mekanismer och robotar är exempel på kinematiska kedjor. Frihetsgraden för en kinematisk kedja beräknas från antalet länkar och antalet och typen av leder med hjälp av mobilitetsformeln . Denna formel kan också användas för att räkna upp topologierna för kinematiska kedjor som har en given frihetsgrad, vilket är känt som typsyntes i maskinkonstruktion.

Exempel

De plana en-frihetsgradslänkarna sammansatta av N -länkar och j - gångjärn eller glidförband är:

• N = 2, j = 1: ett tvåstångslänkage som är spaken;
• N = 4, j = 4: fyrstavskopplingen ;
• N = 6, j = 7: en sexstavslänkning . Denna måste ha två länkar ("ternära länkar") som stödjer tre leder. Det finns två distinkta topologier som beror på hur de två ternära länkarna är sammankopplade. I Watt-topologin har de två ternära länkarna en gemensam fog; i Stephenson-topologin har de två ternära länkarna inte en gemensam led och är sammankopplade med binära länkar.
• N = 8, j = 10: åttastavslänkning med 16 olika topologier;
• N = 10, j = 13: tiostavslänkning med 230 olika topologier;
• N = 12, j = 16: tolvstavslänkning med 6 856 topologier.

För större kedjor och deras länktopologier, se RP Sunkari och LC Schmidt , "Structural synthesis of planar kinematic chains by adapting a Mckay-type algorithm", Mechanism and Machine Theory #41, s. 1021–1030 (2006).

Se även

• Absement
• Acceleration
• Affin geometri § Kinematik
• Analytisk mekanik
• Tillämpad mekanik
• Himmelsk mekanik
• Centripetal kraft
• Klassisk mekanik
• Distans
• Dynamik (fysik)
• Fiktiv kraft
• Framåt kinematik
• Fyrstavs länkage
• Invers kinematik
• Jerk (fysik)
• Keplers lagar
• Kinematisk koppling
• Kinematiskt diagram
• Kinematisk syntes
• Kinetik (fysik)
• Rörelse (fysik)
• Orbital mekanik
• Statik
• Hastighet
• Integral kinematik
• Chebychev–Grübler–Kutzbach-kriteriet

Vidare läsning

•   Koetsier, Teun (1994), "§8.3 Kinematics", i Grattan-Guinness, Ivor (red.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, vol. 2, Routledge , s. 994–1001, ISBN 0-415-09239-6
•   Moon, Francis C. (2007). The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux, Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century . Springer. ISBN 978-1-4020-5598-0 .
• Eduard Study (1913) DH Delphenich översättare, "Foundations and goals of analytical kinematics" .

externa länkar

• Java-applet för 1D-kinematik
• Physclips: Mekanik med animationer och videoklipp från University of New South Wales.
• Kinematic Models for Design Digital Library (KMODDL) , med filmer och foton av hundratals fungerande modeller av mekaniska system vid Cornell University och ett e-boksbibliotek med klassiska texter om mekanisk design och ingenjörskonst.
• Micro-tums positionering med kinematiska komponenter